Численные методы. Номер 1.. 1. Приближенное вычисление определенных интегралов приближенное вычисление интеграла по формулам трапеций и Симпсона, оценка погрешностей вычисления Формула трапеций имеет вид
 Скачать 4.47 Mb.
|
|
ТЕМА 5. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Метод ЭЙЛЕРА 2 Задание 10. С помощью метода Эйлера получить приближенное решение уравнения 2 x y y , удовлетворяющего условию y(0)=1 на промежутке изменениях. Решить данное уравнение аналитически и сравнить точное и приближенное решения. 2 Эйлер Леонард XVIII в, математик, механики физик. Метод был предложен Эйлером и носит его имя. Встречается под названием схема ломаных 43 Решение. В Microsoft Excel в столбце А записываем номера точек, в которых будет определяться решение. В соседнем столбце (В) записываем соответствующие значения аргументах. В ячейку Св первой строке заносим начальное значение функции у. В следующей строке столбца С записываем формулу вычисления функции по методу Эйлера, которую можно увидеть в строке формул на рис. 1. Формулу копируем на диапазон значений аргумента С4:С13 (рис. 5.1). Числа в столбце С являются численным решением задачи. Рис. 5.1. Решение дифференциального уравнения по методу Эйлера Уравнение задания 10 имеет аналитическое решение 2 х. Для сопоставления вычислим точное значение решения дифференциального уравнения (ytochn) в ячейках D4:D13 при тех же значениях аргументах, в которых получили численное решение (рис. 5.2). Рис. 5.2. Точное решение дифференциального уравнения 44 Представим графически полученные численное (диапазон ячеек С4:С13) и аналитическое решения (диапазон ячеек D4:D13 ) (рис. 5.3). Рис. 5.3. Сопоставление точного (уточни приближенного (у) решений В заданиях поданной теме предложены дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными, те. уравнения того типа, которые решаются аналитически. Например, найти решение уравнения 0 y y x с начальными условиями y(1)=2. Группируем слева от знака равенства члены, содержащие y, справа – x. Это уравнение можно проинтегрировать, те. x dx y dy . Получается C x y ln Выражаем явно неизвестную функцию y через x x C y . Неизвестная постоянная С определяется с использованием начального условия, те. 1 2 C . Откуда имеем СИ точное решение В пакете MathCAD имеется несколько функций для решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Одна из них - функция для решения обыкновенных дифференциальных уравнений – odesolve. Она имеет три аргументах аргумент искомой функции f(x), b – конецинтервала интегрирования, n – число шагов интегрирования. Решение с использованием этой функции происходит последующей схеме Вводится слово given, указывающее на то, что далее следует решаемое дифференциальное уравнение и его начальные условия Вводится решаемое дифференциальное уравнение. Для записи знака производной используется комбинация клавиши. Возможно написание уравнения с использованием дифференциала. Тогда знак дифференциала выбирается с палитры Calculus. Далее вводится начальное условие. При записи уравнения, равно как и начального условия, ставится жирный знак равенства с панели Булева алгебра (Boolean); Вводится встроенная функция odesolve(x,b,n) c присвоением ей уникального имении численными значениями b и n. Задаются значения аргумента, в которых нужно узнать решение. Для вывода результата работы функции odesolve(x,b,n) набирается имя и ставится знак равенства. Полученное решение можно вывести в виде таблицы. Для этого присвоить переменной х значения, соответствующие желаемому диапазону изменения функции f(x), ввести имя, 45 присвоенное функции odesolve, нажать клавишу равно для получения решения в виде таблицы (рис. 5. 4). Решение можно также вывести графически, что более наглядно. Рис. 5.4. Решение дифференциального уравнения функцией odesolve ВАРИАНТЫ ПО ТЕМЕ 5. Решить задачу Коши для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка )) ( , ( x y x f x y . Найти точное и численное решения уравнения на заданном промежутке изменения аргумента при заданном начальном условии. Численное решение уравнения найти методом Эйлера и оценить погрешность. Решение выполнить в Microsoft Excel. Решить уравнение в пакете Mathcad, используя функцию odesolve. В отчете привести точное (аналитическое) решение уравнения формулу Эйлера численного решения уравнения численное решение по формуле Эйлера и значения точного решения в этих же точках в Microsoft Excel; графики точного и численного решений Microsoft Excel; оценку максимальной погрешности численного решения описание функции odesolve; решение, полученное в пакете Mathcad с использованием функции odesolve. Номер варианта Уравнение Промежуток интегрирования Начальное условие 1. 0 3 y x y x [-1, 1.2] 9 , 1 ) 1 ( y 2. 2 2x y y x [1.25, 3.5] 8 1 ) 25 1 ( y 3. x y y x [0.8, 3.2] 2 ) 8 0 ( y 46 4. x y y x [1.5, 2.9] 4 1 ) 5 1 ( y 5. 1 5 2 y x y x [1, 2.85] 93 1 ) 1 ( y 6. 0 3 3 y y x x [1.3, 3.5] 5 , 2 ) 3 1 ( y 7. y x y 2 x [0.7, 2.9] 49 1 ) 7 0 ( y 8. x y y 56 , 0 x [0.8, 2.5] 5 1 ) 8 0 ( y 9. 0 8 2 1 2 2 xy y x x [1.7, 2.5] 85 1 ) 7 1 ( y 10. 0 9 1 1 2 2 xy y x x [0.8, 1.5] 5 1 ) 8 Метод Рунге-Кутта 3 Погрешность метода Эйлера велика, поэтому на практике чаще используется метод Рунге-Кутта. Существуют формулы Рунге-Кутта нескольких видов. Мы будем производить расчеты формулами четвертого порядка, которые имеют вид 6 2 2 4 3 2 1 1 k k k k y y k k (5.1), где k k y x f h k , 1 , 2 , 2 1 2 k y h x f h k k k , 2 , 2 2 3 k y h x f h k k k , 3 4 , k y h x f h k k k (5.2) В формулах (5.1, 5.2) использованы обозначения h – шаг изменения аргументах правая часть решаемого дифференциального уравнения. При вычислении значения функции в точке х (y k+1 ) последовательно вычисляются значения вспомогательных коэффициентов k 1 , k 2 , k 3 , Метод Рунге-Кутта является более трудоемким, чем метод Эйлера. На каждом шаге вычислительного процесса требуется четырехкратное вычисление правой части дифференциального уравнения. Тем не менее, этот метод является самым распространенным методом решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Задание 11.. С помощью метода Рунге-Кутта получить приближенное решение уравнения x y y sin 8 0 1 , удовлетворяющего условию y(0)=1.6 на промежутке изменениях. Решение в табличном процессоре Microsoft Excel В столбец А заносим значения аргументах, при которых вычисляется численное решение уравнения ух (рис. 5.5). К. Рунге и МВ. Кутта - немецкие математики XIX в 47 Рис. 5.5. Первый этап вычисления решения методом Рунге-Кутта В соседнем столбце (В) во второй строке записываем заданное значение функции у рис. 6). В соседних четырех столбцах (С) производим вычисление вспомогательных коэффициентов k 1 , k 2 , k 3 , k 4 по формулам (5.2) (рис. 5.6). Рис. 5.6. Вычисление коэффициентов по формулам (3) В столбец F1 заносим значение шага изменения аргумента, который входит вовсе формулы. На основе вычисленных значений вспомогательных коэффициентов, по формуле (5.1) определяем значение функции при значении аргументах. Далее выделяем диапазон ячеек с формулами Си производим копирование формул на диапазон изменения аргументах до строки 12 (рис. 5.7). 48 Рис. 5.7. Решение методом Рунге-Кутта На рис. 5.8 представлен фрагмент таблицы Microsoft Excel с решением в режиме отображения формул. Полученное решение можно представить графически. На основе данных в столбцах Аи В строится диаграмма категории – точечная. Результат построения представлен на рис. 5.9. Рис. 5.9. Графическое представление решения Рис. 5.8. Таблица с вычислениями в режиме отображения формул Решение в пакете MathCAD В пакете MathCAD, кроме функции odesolve, имеется функция rkfixed для решения обыкновенных дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений методом Рунге-Кутта. Эта функция имеет пять аргументов Имя переменной с начальным условием Левый конец промежутка интегрирования Правый конец промежутка интегрирования Число точек деления промежутка интегрирования Имя функции, где описана правая часть дифференциального уравнения. На рис. 5.10 приведено решение задания 2 с использованием функции rkfixed. Рис. 10. Задание исходных данных и решение дифференциального уравнения Результат вычислений заносится пакетом в матрицу, где первый столбец – значения аргументах, второй – значения функции при этих значениях аргумента (рис. 5.11). Рис. 5.11. Решение уравнения с использованием функции rkfixed Полученное решение может быть представлено графически средствами пакета рис. 5.12). Для этого нужно построить график зависимости решения от аргументах, те. показать зависимость величин, расположенных во втором столбце, от значений аргумента, расположенных в первом столбце. Так как отсчет в MathCAD начинается с нуля, нужно по оси абсцисс отложить значения нулевого столбца, по оси ординат – первого. Выделение го столбца матрицы M в MathCAD производится оператором M . Это достигается с помощью кнопки панели Матрицы или одновременным нажатием клавиш M Ctrl ^ n. Решение можно показать графически, т.к. решение является матрицей, где в нулевом столбце – значения аргумента, в первом столбце – значения функции (рис. 5.12). Рис. 5.12. Графическое представление решения ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЯ ПО ТЕМЕ 5 С помощью метода Рунге-Кутта получить численное решение обыкновенного дифференциального уравнения на промежутке изменениях, удовлетворяющее условию y(a)=y 0 . Сравнить с решением уравнения методом Эйлера. Решить данное уравнение в пакетах Microsoft Excel и В отчете привести формулу Рунге-Кутта; решение по формуле Рунге-Кутта в Microsoft Excel в табличной и графической форме решение по формуле Эйлера в Microsoft Excel в табличной и графической форме максимальную разность результатов описание функции решения обыкновенного дифференциального уравнения методом Рунге-Кутта rkfixed; решение, полученное в пакете Mathcad с использованием функций rkfixed и odesolve; Вариант Уравнение Начальное условие Промежуток интегрирования х, 2.96] 2 x x x y y sin cos х 1] 3 2 5 , 1 sin 2 , 1 1 y x y y y(0,1)=-0,8 х 2.4] 4 e y x y cos y(1.4)=2.5 х, 2.7] 5 3 1 sin y x y y(0.1)=0.8 х, 1.8] 6 2 2 cos y e x y y y(1)=0.84 х, 2.6]. 7 ` 2 4 cos 2 y x ctg y x y y(0)=-0,8 х 2.3] 8 y x y x x y ln 5 , 0 1 cos 2 y(3)=1,5 х, 3.6] 9 7 cos y x y y(0.5)=0.6 х, 2] 10 y x y 2 cos 71 6 y(1.48)=2.9 х, ТЕМА 6. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ СИСТЕМЫ ДВУХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА. МЕТОД ЭЙЛЕРА При нахождении численного решения системы к каждому из них применяют формулу Эйлера или Рунге-Кутта. Рассмотрим решение системы двух обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, используя формулу Эйлера. Применяем ее к каждому из уравнений системы Рассмотрим решение системы двух дифференциальных уравнений )) ( ), ( , ( ) ( )) ( ), ( , ( 2 1 x z x y x f dx x dz x z x y x f dx x dy (6.1) где y(x), z(x) – неизвестные функции от независимой переменной х, подлежащие определению, f 1 (x,y(x),z(x)), f 2 (x, y(x),z(x)) – известные функции, заданные и непрерывные. Для нахождения решения применим методы численного решения. В частности, возможно применение как метода Эйлера, таки метода Рунге-Кутта для решения систем. Для этого каждому уравнению системы применяем формулу Эйлера ) , , ( ) , , ( 2 1 1 1 n n n n n n n n z y x f h z z z y x f h y y (6.2). Задание 12. Найти решение системы двух обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка z y z x e y z y 2 2 2 2 2 (6.3) при изменении аргумента на промежутке x [0,1] при начальных условиях y(0)=0.5, z(0)=1. Решение. Применим формулы Эйлера (6.2) к каждому уравнению системы. Для данной задачи получим n n k n n z y n n z y h z z x e h y y n n 2 1 1 2 2 2 2 (6.4) Решение системы двух обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка в табличном процессоре Microsoft Excel Впервой строчке столбцов А, В, С напишем названия величин, которые расположим в этих столбцах (x, y, z). В столбце А запишем значения аргументах с выбранным шагом (в данном примере равном 0,1). Во второй строчке столбцов В и С запишем заданные начальные условия x z x y 0 0 , . В третьей строчке столбцов В и С напишем формулы Эйлера для данной задачи (10). Выделим диапазон ячеек с формулами Эйлера и скопируем его на диапазон ячеек с значениями аргумента (рис. 6.1). Рис. 6.1. Решение системы по формуле Эйлера в режиме отображения чисел На рис. 6.2 приведен фрагмент таблицы Microsoft Excel в режиме отображения формул. Выделяем столбцы, содержащие значения аргумента, функций y, z и строим диаграмму типа точечная. Рис. 6.2. Решение системы по формуле Эйлера в режиме отображения формул Представим полученное решение графически (рис. 6.3). Рис. 6.3. Графическое представление решения Решение системы двух обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка в пакете MathCad Функция rkfixed, предназначенная для решения дифференциального уравнения первого порядка методом Рунге-Кутта, может быть применена для решения системы двух обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Для этого ее аргументы записывают в векторном виде. Пусть q – вектор, первая компонента которого содержит функцию у системы, вторая – функцию z системы, то есть z y q . Тогда начальные условия задачи запишем 1 5 0 q . Первое уравнение системы – первая компонента переменной, содержащей уравнения системы, второе уравнение – вторая компонента, то есть 1 2 0 2 2 ) , ( 2 1 2 0 q q x e q x D q q . Обращение к функции и решение приведено на рис. 6.4. Рис. 6.4. Решение в пакете Mathcad Построим графическое представление полученного решения (рис. 6.5). Надо помнить, что функция выводит решение в таблице, где аргумент записан в первом столбце матрицы решения, первая искомая функция – во втором, вторая – в третьем столбцах матрицы. Значит, на графике надо по оси абсцисс откладывать числа из нулевого столбца матрицы (mathcad считает от нуля, по оси ординат – значения первого и второго столбцов. Для выделения столбца в пакете mathcad используются угловые скобки как надстрочный символ. Чтобы его набрать, можно воспользоваться кнопкой панели Матрицы. Рис. 6.5. Решение системы в пакете Mathcad Видно, что решения, полученные в разными методами, несколько различаются. Это вызвано тем, что в разных пакетах использованы разные методы. ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ ПО ТЕМЕ 6 Найти численное решение задачи Коши для системы двух обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка ) ), ( , ( , , x z x y x g dx x dz x z x y x f dx x dy на промежутке изменениях, удовлетворяющее условиями в Microsoft Excel методом Эйлера. Решить систему уравнений в пакете Mathcad, используя функцию rkfixed. В отчете привести формулу Эйлера нахождения численного решения системы двух дифференциальных уравнений первого порядка |