3кр. 1 В магазин поступило 30 холодильников, пять из них имеют заводской дефект. Случайным образом выбирается один холодильник. Какова вероятность того, что он будет без дефекта

Название	1 В магазин поступило 30 холодильников, пять из них имеют заводской дефект. Случайным образом выбирается один холодильник. Какова вероятность того, что он будет без дефекта
Дата	06.05.2022
Размер	239 Kb.
Формат файла
Имя файла	3кр.doc
Тип	Контрольная работа #515767

Контрольная работа №3

1)В магазин поступило 30 холодильников, пять из них имеют заводской дефект. Случайным образом выбирается один холодильник. Какова вероятность того, что он будет без дефекта?

Решение:

Всего различных способов выбрать холодильник равно 30. Значит, число всевозможных исходов равно n=30. Из них в 25 случаях можно выбрать качественный холодильник. Значит, число благоприятных исходов равно: m=25.

Согласно классическому определению вероятности, вероятность искомого события равна:

P = m/n=25/30=5/6

2) На пяти одинаковых карточках написаны буквы Б, Е, Р, С, Т. Эти карточки наудачу расположены вряд. Какова вероятность того, что получится слово «БРЕСТ»?

Решение:

Вероятность того, что на первом месте окажется буква «Б» (событие А) равно:

Вероятность того, что второй карточкой будет карточка с буквой «Р» (событие B):

И так далее:

Событие С – на третьем месте находится карточка с буквой «Е»:

Событие D – на четвертом месте находится карточка с буквой «C»:

Событие E – на пятом месте находится карточка с буквой «Т».

Событие E – достоверное, так как карточка с буквой «Т» последняя, поэтому:

Так как события A, B, C, D, E независимы, то вероятность того, что с первого раза получится слово «Брест»:

3) На станцию прибыли 10 вагонов разной продукции. Вагоны помечены номерами от одного до десяти. Найти вероятность того, что, среди пяти выбранных для контрольного вскрытия вагонов окажутся вагоны с номерами 2 и 5?

Решение. Событие

– среди пяти выбранных для контрольного вскрытия вагонов окажутся вагоны с номерами 2 и 5.

Воспользуемся формулой

.

Общее число возможных комбинаций для контрольного вскрытия равно числу сочетаний из 10 по 5, т.е.

. Число исходов, благоприятствующих данному событию, будет равно числу таких комбинаций, в которых две цифры будут 2 и 5, а остальные будут составлять сочетания, число которых равно

. Тогда искомая вероятность будет равна

4) Трое рабочих изготавливают однотипные изделия. Первый рабочий изготовил 40 изделий, второй – 35, третий – 25. Вероятность брака у первого рабочего 0,03, у второго – 0,02, у третьего – 0,01. Взятое наугад изделие оказалось бракованным. Определить вероятность того, что это изделие сделал второй рабочий

Решение: Введем обозначения:

- изделие изготовил

рабочий,

А – изделие оказалось бракованным, тогда:

P(H₁)=40/(40+35+25)=0.4;
P(H₂)=35/(40+35+25)=0.35;
P(H₃)=25/(40+35+25)=0.25;

P(A|H₁)=0.03; P(A|H₂)=0.02; P(A|H₃)=0.01;

По формуле полной вероятности:

P(A)=∑Pi•P(A|Hi)=0.4•0.03+0.35•0.02+0.25•0.01=0.0215

Искомую вероятность находим по формуле Байеса:

P(H₂|A)=0.35•0.02/0.0215≈0.326

6) Завод отправил на базу 500 доброкачественных изделий. Вероятность того, что в пути изделие будет повреждено, равна 0.002. Найти вероятность повреждения ровно трех изделий

Решение:

Используем формула Пуассона где μ = n p

По условию, n = 500, р = 0,002, m = 3. Тогда

и искомая вероятность

.

7) Решение. Пусть случайная величина Х - число баз, на которых искомый товар отсутствует в данный момент, р=0.2 - вероятность того, что требуемого сорта товар отсутствует на базе, q = 1-p =0.8 - вероятность того, что требуемый сорт товара присутствует на базе.
Значения Х : 0 , 1, 2, 3

Вероятности :

Вероятность того, что на 3 базах товар отсутствует (Х=0):

Вероятность того, что на одной из трех баз товар отсутствует:

Аналогично:

Проверка:

Искомый закон распределения:

х	0	1	2	3
p	0,512	0,384	0,096	0,008

Математическое ожидание:

Найдем наибольшее значение линейной функции графическим методом.

L =

x₁

+ 2 x₂

при следующих ограничениях

2 x₁	+ x₂	4
x₁	+ 3 x₂	12
x₁	+ x₂	6

Решение :

В первую очередь, найдем область допустимых значений, т.е. точки x₁ и x₂ , которые

удовлетворяют системе ограничений. По условию задачи x₁

0, x₂

0 ,т.е. мы

рассматриваем только те точки , которые принадлежат первой четверти.

Рассмотрим неравенство 1 системы ограничений.

2 x₁

+ x₂

 Построим прямую.

Заменим знак неравенства на знак равенства .

2 x₁

+ x₂

Преобразуем уравнение следующим образом .

x₁	+	x₂	= 4

1/2		1

Каждый член уравнения разделим на 4 .

x₁	+	x₂	= 1

2		4

На оси X₁ рисуем точку с координатой 2 .
На оси X₂ рисуем точку с координатой 4 .
Соединяем полученные точки и получаем необходимую прямую.

2 x₁

+ x₂

x₂

-2 x₁

+ 4

Знак неравенства больше или равно нуля, следовательно, нас интересуют точки лежащие выше построенной нами прямой.

Точки принадлежащие области допустимых значений:

A (2 , 0)

B (0 , 4)

Рассмотрим неравенство 2 системы ограничений.

x₁

+ 3 x₂

 Построим прямую.

Заменим знак неравенства на знак равенства .

x₁

+ 3 x₂

Преобразуем уравнение следующим образом .

x₁	+	x₂	= 12

1		1/3

Каждый член уравнения разделим на 12 .

x₁	+	x₂	= 1

12		4

На оси X₁ рисуем точку с координатой 12 .
На оси X₂ рисуем точку с координатой 4 .
Соединяем полученные точки и получаем необходимую прямую.

x₁

+ 3 x₂

3 x₂

- x₁

+ 12

x₂

-1/3 x₁

+ 4

Знак неравенства меньше или равно нуля, следовательно, нас интересуют точки лежащие ниже построенной нами прямой.

Точки принадлежащие области допустимых значений:

A (2 , 0)

C (12 , 0)

B (0 , 4)

Рассмотрим неравенство 3 системы ограничений.

x₁

+ x₂

 Построим прямую.

Заменим знак неравенства на знак равенства .

x₁

+ x₂

Преобразуем уравнение следующим образом .

x₁	+	x₂	= 6

1		1

Каждый член уравнения разделим на 6 .

x₁	+	x₂	= 1

6		6

Точки принадлежащие области допустимых значений:

A (2 , 0)

D (6 , 0)

B (0 , 4)

E (3 , 3)

Вернемся к нашей исходной функции L .

L =

x₁

+ 2 x₂

Допустим значение функции L равно 1 (абсолютно произвольно выбранное число), тогда

1 =

x₁

+ 2 x₂

Данное уравнение является уравнением прямой на плоскости. Из курса аналитической геометрии известно, что данная прямая перпендикулярна вектору , координатами которого являются коэффициенты функции, а именно вектору

		= (1 ,2).
	ON

Следовательно, с геометрической точки зрения, наша исходная функция L изображается как множество прямых перпендикулярных вектору

		= (1 ,2).
	ON

Построим вектор		= (1 , 2)
	ON

На рисунке правее, вектор		изображен красным цветом.
	ON

Вектор		нарисован не в масштабе,
	ON

исключительно для большей наглядности.

Причем очевидно, что значение функции будет возрастать

при перемещении прямой в направлении вектора		.
	ON

Диапазон перемещения прямой НЕ от точки O до точки N, а именно, в направлении от точки O к точке N.

Будем перемещать прямую, перпендикулярную вектору		,
	ON

до тех пор, пока она полностью не пройдет область допустимых решений.

В нашем случае, касание прямой, перед выходом из области допустимых решений, произойдет в точке E (3 , 3) . В данной точке значение функции будет наибольшим.

Ответ :

Наибольшее значение функция достигает при
x₁ = 3
x₂ = 3.

Значение функции : L = 9

9)Решение:

Прямая задача линейного программирования имеет вид:

F(X)=1X₁+2X₂+3X₃ (max)

Ограничения:

-1X₁	-	2X₂	-	3X₃	≥	8
2X₁	+	3X₂	-	1X₃	≤	10
3X₁	-	1X₂	-	2X₃	=	9

X₁	≥	0
X₂	≥	0
X₃	≥	0

Так как в прямой задаче требуется найти максимум фунции, то приведем первоначальное условие к виду
{F(x) = С^T x| Ax≤B, x_i ≥0, i = 1,m}
Для тостижения нужного вида домножим 1-e неравенство на -1

1X₁+2X₂+3X₃≥-8

В результате получим следующие матрицы:

Следовательно, двойственная задача линейного программирования будет иметь вид:

F(Y)=-8Y₁+10Y₂+9Y₃ (min)

Ограничения:

1Y₁	+	2Y₂	+	3Y₃	≥	1
2Y₁	+	3Y₂	-	1Y₃	≥	2
3Y₁	-	1Y₂	-	2Y₃	≥	3

Y₁	≥	0
Y₂	≥	0

10) Решение:

Проверяем, имеет ли платежная матрица седловую точку. Если да, то выписываем решение игры в чистых стратегиях.

Считаем, что игрок I выбирает свою стратегию так, чтобы получить максимальный свой выигрыш, а игрок II выбирает свою стратегию так, чтобы минимизировать выигрыш игрока I.

Игроки	B₁	B₂	B₃	B₄	a = min(Ai)
A₁	10	8	7	6	6
A₂	12	2	11	5	2
A₃	14	10	1	4	1
A₄	16	15	13	3	3
b = max(Bi )	16	15	13	6	0

Находим гарантированный выигрыш, определяемый нижней ценой игры a = max(a_i) = 6, которая указывает на максимальную чистую стратегию A₁.

Верхняя цена игры b = min(b_j) = 6.

Седловая точка (1, 4) указывает решение на пару альтернатив (A1,B4). Цена игры равна 6.