Ответы на вопросы к коллоквиуму №2 (магнетизм). 1. Взаимодействие токов

• Название: 1. Взаимодействие токов
• Анкор: Ответы на вопросы к коллоквиуму №2 (магнетизм).doc
• Дата: 17.01.2018
• Размер: 1.04 Mb.
• Имя файла: Ответы на вопросы к коллоквиуму №2 (магнетизм).doc
• Тип: Документы; #14423
• Категория: Физика
• страница: 7 из 7

6. Теорема о циркуляции вектора H

Интеграл - называется циркуляцией вектора напряженности. Т.о. теорема оциркуляции : циркуляция вектора напряженности электростатического поля равна нулю. Из теоремы о циркуляции следует, что силовые линии не могут быть замкнутыми: они начинаются и кончаются на зарядах или уходят в бесконечность. Физический смысл теоремы о циркуляции заключается в том, что электрическое поле - потенциально.

Заряд Q ₀, находящийся в электростатическом поле, обладает потенциальной энергией W. Как известно, работа консервативных сил совершается за счет убыли потенциальной энергии. Поэтому работу сил элктростатического поля можно представить как разность потенциальных энергий, которыми обладает точечный заряд Q ₀ в начальной и конечной точках :

.

(18)

Отсюда следует, что потенциальная энергия заряда Q ₀ , находящегося на расстоянии r от заряда Q равна:

.

(19)

Отношение W/Q₀ не зависит от величины Q₀ и является поэтому энергетической характеристикой электростатического поля, называемой потенциалом:

.

7. Закон электромагнитной индукции

Эл. ток в цепи возможен, если на свободные заряды проводника действуют сторонние силы. Работа этих сил по перемещению единичного положительного заряда вдоль замкнутого контура называется ЭДС. При изменении магнитного потока через поверхность, ограниченную контуром, в контуре появляются сторонние силы, действие которых характеризуется ЭДС индукции.
Учитывая направление индукционного тока, согласно правилу Ленца:





ЭДС индукции в замкнутом контуре равна скорости изменения магнитного потока через поверхность, ограниченную контуром, взятой с противоположным знаком.

Почему "-" ? - т.к. индукционный ток противодействует изменению магнитного потока, ЭДС индукции и скорость изменения магнитного потока имеют разные знаки.

Если рассматривать не единичный контур, а катушку, где N- число витков в катушке:



Величину индукционного тока можно рассчитать по закону Ома для замкнутой цепи

,
где R - сопротивление проводника.

8. **Первая пара уравнений Максвелла (инт. и дифф. вид)

Первая пара уравнений Максвелла в интегральной форме

Первая пара: 

,

.

9. **Вторая пара уравнений Максвелла (инт. и дифф. вид)

Вторая пара уравнений Максвелла в интегральной форме



Вторая пара: 

,

.

Здесь

.

10. Уравнения электростатики

· Напряженность электрического поля

E=F/Q,

где F — сила, действующая на точечный положительный заряд Q, помещенный в данную точку поля.

· Сила, действующая на точечный заряд Q, помещенный в электрическое поле,

F=QE.

· Поток вектора напряженности Е электрического поля:

а) через произвольную поверхность S, помещенную в неоднородное поле,

 или ,

где a — угол между вектором напряженности Е и нормалью n к элементу поверхности; dS — площадь элемента поверхности; E_n — проекция вектора напряженности на нормаль;

б) через плоскую поверхность, помещенную в однородное электрическое поле,

Ф_E=ЕScosa.

· Поток вектора напряженности Е через замкнутую поверхность

,

где интегрирование ведется по всей поверхности.

· Теорема Остроградского — Гаусса. Поток вектора напряженности Е через любую замкнутую поверхность, охватывающую заряды Q_l, Q₂, . . ., Q_n,

,

где   — алгебраическая сумма зарядов, заключенных внутри замкнутой поверхности; п — число зарядов.

· Напряженность электрического поля, создаваемого точечным зарядом Q на расстоянии r от заряда,

.

Напряженность электрического поля, создаваемого металлической сферой радиусом R, несущей заряд Q, на расстоянии r от центра сферы:

а) внутри сферы (r<.R)

E=0;

б) на поверхности сферы (r=R)

;

в) вне сферы (r>R)

.

· Принцип суперпозиции (наложения) электрических полей, согласно которому напряженность Е результирующего поля, созданного двумя (и более) точечными зарядами, равна векторной (геометрической) сумме напряженностей складываемых полей:

Е=E₁+Е₂+...+Е_n.

В случае двух электрических полей с напряженностями Е₁ и Е₂ модуль вектора напряженности

,

где a — угол между векторами E₁ и E₂.

· Напряженность поля, создаваемого бесконечно длинной равномерно заряженной нитью (или цилиндром) нарасстоянии r от ее оси,

, где t — линейная плотность заряда.

Линейная плотность заряда есть величина, равная отношению заряда, распределенного по нити, к длине нити (цилиндра):



· Напряженность поля, создаваемого бесконечной равномерно заряженной плоскостью,

 

где s — поверхностная плотность заряда.

Поверхностная плотность заряда есть величина, равная отношению заряда, распределенного по поверхности, к площади этой поверхности:

.

· Напряженность поля, создаваемого двумя параллельными бесконечными равномерно и разноименно заряженными плоскостями, с одинаковой по модулю поверхностной плотностью о заряда (поле плоского конденсатора)

.

Приведенная формула справедлива для вычисления напряженности поля между пластинами плоского конденсатора (в средней части его) только в том случае, если расстояние между пластинами много меньше линейных размеров пластин конденсатора.

· Электрическое смещение D связано с напряженностью E электрического поля соотношением

D=e₀eE.

Это соотношение справедливо только дляизотропных диэлектриков.

· Поток вектора электрического смещения выражается аналогично потоку вектора напряженности электрического поля:

а) в случае однородного поля поток сквозь плоскую поверхность

;

б) в случае неоднородного поля и произвольной поверхности

,

где D_n — проекция вектора D на направление нормали к элементу поверхности, площадь которой равна dS.

· Теорема Остроградского — Гаусса. Поток вектора электрического смещения сквозь любую замкнутую поверхность, охватывающую заряды Q₁,Q₂, ...,Q_n,

,

где п—число зарядов (со своим знаком), заключенных внутри замкнутой поверхности.

· Циркуляция вектора напряженности электрического поля есть величина, численно равная работе по перемещению единичного точечного положительного заряда вдоль замкнутого контура. Циркуляция выражается интегралом по замкнутому контуру , гдеE_l—проекция вектора напряженности Е в данной точке контура на направление касательной к контуру в той же точке.

В случае электростатического поля циркуляция вектора напряженности равна нулю:

.

11. Уравнения магнитостатики

В векторном анализе теоремой Стокса называется формула

∮ B→dl→ = ∫ rotB→dS→,

(34.1)

где интегрирование в правой части выполняется по произвольной поверхности, натянутой на замкнутую кривую, по которой вычисляется контурный интеграл в левой части, причем направление обхода контура связано правилом правого винта с направлением элемента поверхности dS→. В таком виде теорема Стокса справедлива для любого вектора B→, в общем случае никак не связанного с магнитным полем. Чтобы доказать теорему (34.1), нужно ввести какое-нибудь определение оператора ротора rot. Однако и само равенство (34.1) можно принять в качестве инвариантного, т.е. не зависящего от выбора системы координат, определения rot.

Действительно, рассмотрим какой-нибудь контур вблизи заданной точки пространства (например, вблизи начала координат), столь малый, что изменением rotB→ на размерах площадки ΔS→, натянутой на контур, можно пренебречь. Тогда из (34.1) имеем:

∮ B→dl→ = rotB→ΔS→.

(34.2)

Поскольку левая часть последнего уравнения есть скаляр, а ΔS→ есть вектор, то и rotB→ является вектором. Все компоненты этого вектора можно определить, ориентируя нормаль ΔS→∕ΔS к площадке ΔS попеременно вдоль каждой из координатных линий xi, как показано на рис. ??. При этом значение i-той компоненты вектора rotB→ есть предел

(rotB→)i = limΔSi→0 ∮ iB→dl→ ΔSi

(34.3)

при стремлении величины площади ΔSi контура i к нулю. В декартовой системе координат индекс i пробегает значения x, y, z. Рассматривая маленькие прямоугольники, лежащие соответственно в координатных плоскостях yz, zx, zyнетрудно записать выражение для ротора в декартовой системе координат: (rotB→)x = ∂By ∂z −∂Bz ∂y , (rotB→)y = ∂Bz ∂x −∂Bx ∂z , (34.4) (rotB→)z = ∂Bx ∂y −∂By ∂x . Тем же способом можно найти выражение для ротора вектора в произвольной ортогональной системе координат (см. задачу ??). Таким образом, выполнение равенства для малого контура тривиальным образом следует из определения ротора произвольного вектора в произвольной системе координат. Обобщение равенства (34.1) на случай контура произвольного размера далее проводится точно так, как мы доказывали теорему Стокса в предыдущем параграфе 33. Доказательство строится на том факте, что при при объединении двух контуров, контурные интегралы по общим участкам взаимно сокращаются.

Применим теперь равенство (34.1) к теореме Стокса (33.3) и преобразуем контурный интеграл в левой части к интегралу по поверхности, натянутой на этот контур.

∫ rotB→dS→ = 4π c I .

Правую часть полученного уравнения также преобразуем к поверхностному интегралу, выразив полный ток I через сечение контура через плотность тока j→:

∫ rotB→dS→ = 4π c j→dS→.

Поскольку последнее равенство, должно выполняться для произвольных, в том числе и бесконечно малых площадок, из него следует равенство подынтегральных выражений в правой и левой частях уравнения:

rotB→ = 4π c j→.

(34.5)

Полученное векторное уравнения содержит 3 скалярных уравнения для определения 3-х компонент вектора B→, что вполне достаточно. Однако решение уравнения (34.5) неоднозначно. В этом легко убедиться, если заметить, что к найденному (каким-либо образом) решению B→ можно прибавить градиент ∇χ произвольной скалярной функции χ, но левая часть уравнения (34.5) при этом не изменится, так как rot∇χ = 0.

Еще одно уравнение, необходимое для устранения этой неоднозначности, найдем, вычислив дивергенцию вектора B→. Она равна нулю:

divB→ = 0.

(34.6)

Чтобы убедиться в этом достаточно вычислить дивергенцию магнитного поля dB→, создаваемое элементом тока di→; равенство (34.5) будет следствием принципа суперпозиции. Согласно (32.1),

dB→ = 1 c [di→,r→] r3 .

Таким образом, необходимо проверить, что div[di→,r→∕r3] = 0. Здесь дифференцированию подлежит только второй сомножитель r→∕r3 векторного произведения; его можно записать в виде градиента функции 1∕r: r→∕r3 = −∇(1∕r). Если теперь записать рассматриваемое выражение в виде смешанного произведения ∇⋅[∇(1∕r),di→] и сделать в нём циклическую перестановку множителей, получим выражение di→⋅[∇,∇(1∕r)] = di→⋅rot∇(1∕r), которое очевидным образом равно нулю, поскольку ротор градиента произвольной скалярной функции равен нулю тождественно. Тем самым, справедливость уравнения (34.6) доказана. Совместно с уравнением (34.5) оно составляет замкнутую систему уравнений магнитостатики, однозначно определяющую магнитное поле заданной системы токов (при заданных граничных условиях).

Из уравнения (34.6) следует, что поток магнитного поля через произвольную замкнутую поверхность равен нулю:

∮ B→dS→ = 0.

(34.7)

Чтобы доказать это, достаточно проинтегрировать обе части уравнения (34.6) по объему, ограниченному поверхностью:

∫ divB→dV = 0.

а затем преобразовать объемный интеграл в левой части к поверхностному интегралу при помощи теоремы Остроградского-Гаусса (6.1).

12. Уравнения Максвелла для электромагнитных волн (инт. и дифф. вид)

Выпишем здесь еще раз систему уравнений Максвелла в дифференциальной форме вместе с материальными уравнениями



Применим систему уравнений Максвелла к однородной ( ε = const, μ = const), нейтральной ( ρ = 0), непроводящей ( σ = 0) среде. Уравнения Максвелла примут следующий вид.

Первая пара:



Вторая пара:



Наша задача - получить волновые уравнения для векторов  и , решениями которых будут уравнения электромагнитной волны