Финансовые задачи. ФИНАНСОВЫЕ ЗАДАЧИ. 2. Кредиты 1 Погашение кредита равными долями
 Скачать 1.35 Mb.
|
3. Вклады3.1 Сравнение выгодыВ задачах этого типа нужно представить себе весь процесс, «вжиться» в ситуацию и понять на каком этапе один вариант начинает перевешивать другой. Задача 1 В начале 2018 года Юрий приобрел ценную бумагу стоимостью 25000 рублей. В конце каждого года цена бумаги увеличивается на 3000 рублей. В начале любого года Юрий может продать бумагу и сразу положить вырученные деньги на банковский счет. В этом случае каждый год сумма на счете будет расти на 10 %. Через сколько лет Юрий должен продать ценную бумагу, чтобы через 5 лет после ее покупки сумма на его банковском счете была наибольшей? Решение У Юрия альтернатива: либо получать ежегодно по 3000 руб., либо попытаться превысить это доход за счет процентов, начисляемых банком. Может оказаться, что в определенный момент проценты на вклад будут больше дохода в 3000 руб., но возможен и вариант, что стабильный доход в 3000 руб. будет выгоднее в течение указанного в условии промежутка времени. Пусть через N лет после покупки ценной бумаги Юрий решается ее продать. К тому времени стоимость бумаги будет составлять 19000 + N*3000 руб. Сколько Юрий заработает на процентах на следующий год? 0,1*(19000 +N*3000). Вот эту величину и нужно сравнить с 3000 руб., которые Юрий рискнул потерять. 0,1*(19000 + N*3000) > 3000 N > (30000 – 19000)/3000 N > 3,3 Так как N – целое число, то Юрию будет достаточно 4 года. Ответ: 4 Задача 2 Компания «Омега» работает с двумя банками под разные проценты годовых. В начале года она положила 60% прибыли в банк «Альфа», а оставшуюся часть - в банк «Бета». К концу 1 года сумма этих вкладов достигла 590 тыс. руб., а к концу 2-го года - 701 тыс. руб. Если бы компания первоначально положила 60% своей прибыли в банк «Бета», а оставшуюся часть в банк «Альфа», то по окончании 1-го года сумма вкладов стала бы равной 610 тыс. руб. Какова была бы сумма вкладов в этом случае к концу 2-го года? Решение Пусть S – сумма прибыли, которой распоряжается компания. Тогда в банк «Альфа» она положила 0,6S, а в банк «Бета» - 0,4S. Во втором случае деньги бы распределились 0,4S и 0,6S соответственно. Пусть x – проценты банка «Альфа», а y – проценты банка «Бета».  Тогда получим систему уравнений:0,6*Sx + 0,4*Sy = 590 0,6*Sx2 + 0,4*Sy2 = 701 0,4*Sx + 0,6*Sy = 610 Получили систему из трех уравнений с тремя неизвестными. Следовательно, система решаема. Как именно решать – дело вкуса, приведу вариант, который мне кажется менее трудозатратным. Алгоритм: Складываем (1) и (3): Sx + Sy = 1200 Выражаем Sx через Sy: Sx = 1200 – Sy и подставляем в (1): 0,6*(1200 - Sy) + 0,4Sy = 590 Находим Sy = 650. Соответственно, Sx = 1200 – 650 =550 (2) представляем в виде 0,6*x*Sx + 0,4*y*Sy = 701 и подставляем найденные Sx и Sy. В итоге получим y = 13x/11 Теперь y, Sx и Sy ставим в (1). Получаем 0,6*550*x +0,4*650*y = 701. Находим x=1,1, y=1,3 Интересующая нас сумма вкладов к концу 2 года при альтернативном выборе 0,4Sx2 + 0,6Sy2. Подставив все найденные значения, получим 749 (тыс. руб.). Ответ: 749000 Задачи для самостоятельной работы
3.2 Изменяющиеся процентыЗадача 1 В январе 2016 года предприниматель положил в банк некоторую сумму под х% годовых. Через год, в январе 2017 года, он снял 1/5 положенных денег, а оставшиеся деньги оставил в банке под у%. Известно, что (х+у)=30%. Каков должен быть х, чтобы в январе 2018 года сумма на счету предпринимателя была максимальной? Решение Рассмотрим, что происходит с суммой вклада S: 1 января 2017 года банк начислил х% за год хранения и сумма на вкладе стала S*(1 + x/100) Предприниматель снял 1/5 первоначальных денег, то есть осталось: S*(1 + x/100) – 1/5S 1 января 2018 года банк начислил у% за год хранения: (S*(1 + x/100) -1/5S)*( 1 + у/100) Подставим у=30-х и после упрощения получим: S*(4/5 + х/100)*(130-х)/100 = S*(80+х)(130-х)/50000 Данное выражение является квадратной функцией от переменной х. Возьмем производную, приравняем ее к нулю и найдем точку максимума: -2х+50=0 => X=25 Ответ: 25% Задачи для самостоятельной работы
4. Задачи на оптимальный выбор4.1 ПроизводительностьЗадача 1 У фермера есть два одинаковых поля по 10 га каждое. На каждом можно выращивать картофель и кукурузу, причем какую площадь занять под каждую культуру, фермер решает сам. Урожайность картофеля на 1 поле составляет 400 ц/га, а на 2 поле – 300 ц./га. Урожайность кукурузы на 1 поле составляет 300 ц/га, а на 2 поле – 400 ц/га. Картофель фермер продает по 5000 руб./ц, а кукурузу – по 6000 руб./ц. Какой максимальный доход может получить фермер? Решение Доход находится в прямой пропорциональной зависимости от площади, урожайности и цены, то есть Д = П*У*Ц. Обозначим х и у – площади, отведенные под картофель на 1 и 2 поле соответственно. Тогда под кукурузу будет отведено (10-х) и (10-у) гектаров соответственно. Занесем все данные в таблицы для 1-го и 2-го поля: 1 поле
Доход с первого поля будет равен сумме доходов от продажи картофеля и кукурузы, то есть Д1=400*х*5000 + (10-х)*300*6000 2 поле
Доход со второго поля тоже будет равен сумме доходов от продажи картофеля и кукурузы, то есть Д2=300*у*5000 + (10-у)*400*6000 Общий доход с двух полей, таким образом, Д=Д1+Д2=400*х*5000 + (10-х)*300*6000 + 300*у*5000 + (10-у)*400*6000 = 2*105*х – 9*105*у + 42*106 Очевидно, данное выражение максимально при наибольшем х и наименьшем у. Следовательно, х=10, у=0 (то есть все 1 поле засеваем картофелем, а 2 поле – кукурузой). Осталось посчитать доход: Д=2*105*10 + 42*106 =44*106 руб. Ответ: 44000000 руб. Задача 2 В Шахтерске и Кузнецке имеется по 250 рабочих. Они готовы трудиться по 5 часов в сутки на добыче алюминия или никеля. В Шахтерске один рабочий добывает за 1 час 0,2 кг алюминия или 0,1 кг никеля. В Кузнецке для добычи х кг алюминия требуется х2 человеко-часов, а для добычи у кг никеля требуется у2 человеко-часов. Какую наибольшую массу металлов можно добыть в двух городах за сутки, если для промышленности неважно, что использовать – никель или алюминий? Решение В Шахтерске с выбором все просто: поскольку успешнее добывается алюминий, то всех рабочих и направляем на его добычу. За 5 часов работы 250 рабочих добудут 250*5*0,2=250 кг. В Кузнецке зависимость иная: для добычи 1 кг нужен 1 рабочий/час, для 2 кг – 4 рабочих/час, для 3 кг – 9 и т.д. Пусть на добыче алюминия будет работать t человек. Тогда на добычу никеля выйдут (250-t) человек. За 5 часов работы будет добыто √(5t) + √(5*(250-t). Введем функцию Z(t)= √(5t) + √(5*(250-t). Найдем ее производную и приравняем к 0. Z’(t)= 5/(2√(5t)) - 5/(2√(5(250-t))) = 0 t=125 Таким образом, в Кузнецке на никель и алюминий выйдут по 125 человек. Общая добыча в 2 городах составит: 250 + √(5*125) + √(5*(250-125) = 250+25+25 = 300 кг. Ответ: 300 Задачи для самостоятельной работы
4.2 ОкупаемостьЗадача 1 Строительство нового завода стоит 115 млн рублей. Затраты на производство x тыс. единиц продукции на таком заводе равны (0,5х2+х+9) млн рублей в год. Если продукцию завода продать по цене р тыс. рублей за единицу, то прибыль фирмы (в млн рублей) за один год составит рх – 0,5(х2+х+9). Когда завод будет построен, фирма будет выпускать продукцию в таком количестве, чтобы прибыль была наибольшей. При каком наименьшем значении p строительство завода окупится не более чем за 5 лет? Решение Прибыль за 1 год рх – 0,5(х2+х+9) = -0,5х2 +х*(р-1) – 9. Получили функцию F(х), которая показывает зависимость годовой прибыли от количества продукции. Чтобы найти наибольшее значение прибыли, возьмем производную: F’(x)=-x + p – 1, то есть при х=p-1 прибыль максимальна и равна (p-1)2/2 – 9. За пять лет прибыль составит 5*((p-1)2/2 – 9). Эта цифра должна быть не менее 115 тыс.руб. Получим: 5*((p-1)2/2 – 9)≥115 (p-1)2)≥64 Решая квадратное уравнение, получим 2 корня: р=-7 и р=9. Неравенству удовлетворяют интервалы р≥9 и р≤-7. Цена может быть только положительной величиной, поэтому оставляем только интервал р≥9. Очевидно, что минимальная цена р=9. Ответ: 9 Задачи для самостоятельной работы
5. Пример оформления 17 задачи на экзаменационном бланкеВ феврале 2018 года на Независимой диагностике (ЕГЭ математика, профильный уровень) это оформление задачи не вызвало нареканий у проверяющих. Соответственно, рекомендую и вам, уважаемые читатели, придерживаться стиля оформления с таблицей и кратким пояснением. Задача Дмитрий думает, на сколько лет взять кредит в банке под 20% годовых: на 2 или на 4 года. Условия кредита: выплачивать ежегодно равными платежами. Сумма кредита 2013000 руб. Какова будет переплата Дмитрия, если он возьмет кредит на 4 года?  ОтветыОтветы к задачам для самостоятельной работы
|