методичка по КП. 3. Метод наименьших квадратов и специальные интерполяционные многочлены
 Скачать 2.21 Mb.
|
3.6. Решение задачи минимизации оценки погрешностиПредположим, что значение заданной на отрезке  функции  можно вычислить в произвольной точке  . Однако по некоторым причинам целесообразнее заменить прямое вычисление функции вычислением значений ее интерполяционного многочлена. Для такой замены необходимо один раз получить таблицу значений в выбранных точках  . При этом естественно стремиться к такому выбору узлов интерполяции, который позволит сделать минимальной величину  .Пусть о функции известно лишь то, что она непрерывно дифференцируема  раз на отрезке . Тогда (3.6.1)Найдем теперь набор узлов интерполяции  , при котором  . Пусть сначала  В этом случае величина (3.6.1) будет минимальна, если будет минимальна  . Но этим свойством обладают полиномы Чебышева, следовательно,  , и набор узлов определен  . Это нули многочлена  . При таком выборе , (3.6.2)причем любой другой выбор узлов дает большее значение верхней границы погрешности. Для формулы Тейлора, например,  , то есть в  раз хуже.Перейдем теперь к отрезку . Его можно преобразовать к стандартному отрезку  следующей заменой:  . В этом случае (3.6.3)Тогда  (3.6.4)и минимум этой величины достигается при значениях  , совпадающих с нулями многочлена . Таким образом, решение поставленной задачи дает выбор узлов (3.6.5)и ему соответствует минимальное значение верхней границы погрешности интерполяции, равное:  (3.6.6) |