методичка по КП. 3. Метод наименьших квадратов и специальные интерполяционные многочлены

• Название: 3. Метод наименьших квадратов и специальные интерполяционные многочлены
• Анкор: методичка по КП
• Дата: 18.05.2023
• Размер: 2.21 Mb.
• Имя файла: 3-3.7.doc
• Тип: Задача; #1142690
• страница: 6 из 6

3.7. Ряд Фурье¹ по многочленам Чебышева

Функциональный ряд вида - система базисных функций, называется рядом Фурье функции на отрезке по системе функций с весом на , если коэффициенты вычисляются по формулам вида (3.7.1)

Так как для полиномов Чебышева весовая функция равна: на ,

то (3.7.2)

Пример. Разложить в ряд Фурье по полиномам Чебышева функцию на отрезке .

Функция - четная, поэтому, как во всяком ряду Фурье, нечетные коэффициенты будут равны нулю, четные же можно сдвоить, уменьшив при этом интервал интегрирования вдвое. Тогда Вычислим коэффициенты разложения:











Итак,

Пример. По равномерной (а) и специальной (б) таблице значений функции найти и оценить погрешность. Использовать формулы Ньютона с разделенными разностями.
(а)

	0.1	0.6	1.1	1.6	2.1
	-1.000000	-0.221849	0.041393	0.204120	0.322219

(б)

	0.148944	0.512215	1.1	1.687785	2.051057
	-0.826977	-0.290548	0.041393	0.227317	0.311978

Так как таблицы короткие, то по ним можно вычислить разделенные разности лишь до четвертого порядка. Точки аргумента в таблице (б) - это нули многочлена Чебышева пятой степени, то есть точки, где , приведенные к отрезку по формуле
1







0.1 1.1 2.1 -1 1

-1 -1
Действительно,



Согласно теории, в случае расположения узлов интерполяции в нулях многочлена
Чебышева гарантирована минимальная погрешность интерполяции, равная , в отличие от обычной интерполяции по формуле Ньютона с разделенными разностями, где погрешность равна:

Построим для случаев (а) и (б) таблицы разделенных разностей.
(а)

0	0.1	-1.000000
			1.556302
1	0.6	-0.221849		-1.029818
			0.526484		0.552525
2	1.1	0.041393		-0.201030		-0.239005
			0.325454		0.074516
3	1.6	0.204120		-0.089256
			0.236198
4	2.1	0.322219

(б)

0	0.148944	-0.826977
			1.476663
1	0.512215	-0.290548		-0.958862
			0.564732		0.485784
2	1.100000	0.041393		-0.211318		-0.213107
			0.316313		0.080431
3	1.687785	0.227317		-0.087547
			0.233051
4	2.051057	0.311978

Вычисления по этим таблицам дают:

(а)



(б)


Истинное значение таким образом, предельная погрешность в случае (а) достигает а в случае (б) то есть на порядок меньше.

Так как таблица разностей очень короткая, а вблизи точки меняется быстро (см. график функции ), то попытка оценить погрешность по известным формулам не даст достоверного результата, то есть погрешность будет слишком завышена. Действительно, Так же, огрубляя оценку и вспоминая график










0.1 2.1 0.1 0.6 1.1 1.6 2.1
функции , будем иметь где Тогда Аналогично для случая (б) Оба результата не реальны.

1 Иорген Педерсен Грам (1850-1916 ) - датский математик.

 Карл Вейерштрасс (1815-1897) – немецкий математик.

^ Карл Давид Тольме Рунге (1856-1927) - немецкий физик и математик.

 Жорж Фабер (1877-1966) - швейцарский математик.

^ Пафнутий Львович Чебышев (1821-1894) – русский математик и механик.

^ Анри Леон Лебег (1875-1941) - французский математик.

1 Родриг; Бенжамен Оленд Родригес (1794-1851) - французский математик и экономист.

1 Жан Батист Жозеф Фурье (1768-1830) - французский математик.