методичка по КП. 3. Метод наименьших квадратов и специальные интерполяционные многочлены

• Название: 3. Метод наименьших квадратов и специальные интерполяционные многочлены
• Анкор: методичка по КП
• Дата: 18.05.2023
• Размер: 2.21 Mb.
• Имя файла: 3-3.7.doc
• Тип: Задача; #1142690
• страница: 4 из 6

3.4. Чувствительность интерполяционного многочлена к погрешностям входных данных

Помимо погрешности от приближенной замены на возникает еще дополнительная погрешность, связанная с тем, что значения интерполируемой функции тоже задаются с погрешностью. Пусть заданные в узлах значения содержат погрешности . Тогда содержат погрешность - Лагранжев базис.

Пусть известно, что верхняя граница погрешности равна , то есть Тогда для верхней границы соответствующей погрешности многочлена справедлива оценка

^_. (3.4.1)

В задаче интерполирования константа Лебега играет роль абсолютного числа обусловленности, то есть в самом неблагоприятном случае погрешность входных данных при интерполяции может возрасти в раз. Величина зависит от расположения узлов интерполяции. Например, если в качестве узлов интерполяции взяты нули многочленов Чебышева, то

. (3.4.2)

Если же узлы равноотстоящие, то и уже при обусловленность задачи резко ухудшается. Из этого следует важный практический вывод: в вычисленияхне следует использовать интерполяционные многочлены высокой степени с равноотстоящими узлами.

3.5. Многочлены Чебышева

Система функций , заданных на , называется ортогональной на , если

(3.5.1)

Система функций , заданных на , называется ортогональной на с весом , если

(3.5.2)

Функция называется весовой функцией для системы . Если , то система функций называется ортонормированной.

В качестве примера системы функций, ортогональной с весом, приведем многочлены Чебышева, которые известны еще и тем, что являются полиномами, наименее уклоняющимися от нуля. Эти многочлены определяют разными способами. Например:

(3.5.3)

2. Являются решениями следующего дифференциального уравнения:

(3.5.4)

3. Определяются из формулы Родрига¹

(3.5.5)

4. Определяются рекуррентно:

(3.5.6)

Иногда в качестве полиномов Чебышева берут функции

. (3.5.7)

(3.5.8)

Многочлены Чебышева обладают множеством замечательных свойств.

Теорема 3.4. Полиномы Чебышева образуют на отрезке ортогональную систему с весом то есть

(3.5.9)

Действительно,






1







-1 1

и так далее.

-1
Теорема 3.5. При четном многочлен содержит только четные степени и является четной функцией, а при нечетном многочлен содержит только нечетные степени и является нечетной функцией.

Теорема 3.6. При старший коэффициент многочлена равен , то есть

Теорема 3.7. При многочлен имеет ровно действительных корней, расположенных на отрезке и вычисляемых по формуле

(3.5.10)

Теорема 3.8. При справедливо равенство . Если , то этот максимум достигается ровно в точках, которые находятся по формуле

(3.5.11)

При этом , то есть максимумы и минимумы многочлена Чебышева чередуются.

Теоремы 3.7 и 3.8 легко доказываются с помощью формулы (3.5.7).

Назовем величину уклонением многочлена от нуля. Тогда справедлива следующая, доказанная П.Л. Чебышевым в 1854 г. теорема.

Теорема 3.9. Среди всех многочленов фиксированной степени со старшим коэффициентом , равным единице, наименьшее уклонение от нуля, равное , имеет многочлен

Последнее свойство имеет особую ценность для приложений. Действительно, тогда для любого многочлена отличного от , справедливо неравенство

. (3.5.12)

В силу формул (3.5.10) и (3.5.11) нули и точки экстремума полинома можно построить следующим образом: разделив полуокружность, опирающуюся на отрезок на частей, спроецируем полученные точки на диаметр. Нумеруя проекции слева направо, получим, что все проекции с нечетными номерами являются нулями полинома , а с четными – его точками экстремума. Из геометрических соображений вытекает, что как нули, так и точки экстремума полинома сгущаются к концам отрезка .