методичка по КП. 3. Метод наименьших квадратов и специальные интерполяционные многочлены
 Скачать 2.21 Mb.
|
|
Выпишем формулу (2.12.5) при  . Получим   По имеющейся таблице и по только что написанной формуле можно получить значение функции только для  . Тогда  и  По данной таблице можно получить еще два значения функции для  , так как вклад последнего члена формулы для  меньше  , поэтому для четвертые разности не понадобятся (их нет для значений ). Структура формулы для для этих значений не изменится, только разности, входящие в формулу, сдвинутся по таблице для  вверх, а для  - вниз на одну позицию (для они обведены пунктиром): 3. Метод наименьших квадратов и специальные интерполяционные многочлены3.1. Постановка задачи и вывод формул метода наименьших квадратовЗадача наименьших квадратов возникает в самых различных областях науки и техники, например, к ней приходят при статистической обработке экспериментальных данных. Пусть функция  задана таблицей приближенных значений  , полученных с ошибками  Предположим, что для аппроксимации функции используется линейная модель:   где  - заданные базисные функции,  - параметры модели, являющиеся одновременно коэффициентами обобщенного многочлена. Часто используется одна из наиболее простых моделей  - полиномиальная модель.В случае, когда уровень неопределенности исходных данных высок, нет смысла требовать точного совпадения значений обобщенного многочлена  в точках  с заданными значениями  , то есть использовать интерполяцию. Кроме того, при интерполяции происходит повторение ошибок наблюдений, в то время как при обработке экспериментальных данных желательно сглаживание ошибок. Тем не менее нужно потребовать, чтобы  (3.1.1)Эта же система в матричной форме имеет вид  (3.1.2)Существуют разные дополнительные критерии, позволяющие решить эту систему, так как в общем случае при  она, вообще говоря, несовместна. Выбор  , позволяющий наилучшим образом удовлетворить (3.1.2) в методе наименьших квадратов, состоит в том минимизируется среднее квадратическое уклонение (3.1.3)Итак, линейная задача метода наименьших квадратов состоит в следующем. Надо найти обобщенный многочлен  , для которого среднеквадратическое уклонение  Этот многочлен называется многочленом наилучшего среднего квадратического приближения. Так как набор функций  всегда заранее определен, задача заключается в нахождении вектора  при условии Для решения нашей задачи воспользуемся общим приемом дифференциального исчисления, а именно выпишем необходимые условия экстремума функции нескольких переменных (приравняем частные производные нулю): (3.1.4)Тогда получим  Изменим в первом слагаемом порядок суммирования: (3.1.5)Уравнение (3.1.5) называется нормальной системой метода наименьших квадратов. Если вернуться к обозначениям формулы (3.1.2), то, как нетрудно видеть, систему (3.1.5) можно записать в виде  (3.1.6)Матрица  называется матрицей Грама1. Если еще ввести вектор  , то система (3.1.6) перепишется в виде  - система линейных уравнений относительно вектора . Можно показать, что если среди точек  нет совпадающих и  , то определитель системы (3.1.6) отличен от нуля, и, следовательно, эта система имеет единственное решение:  Обобщенный полином с такими коэффициентами будет обладать минимальным средним квадратическим отклонением  . Если  , то обобщенный многочлен, если система функций  степенная, совпадает с полиномом Лагранжа для системы точек , причем  При построение такого точного интерполяционного многочлена невозможно. Таким образом, аппроксимация функций представляет собой более общий процесс, чем интерполирование.Если  , то нормальная система (3.1.5) принимает следующий вид: (3.1.7)Запишем систему (3.1.7) в развернутом виде в двух наиболее простых случаях при  и  В случае, когда приближение осуществляется многочленом первой степени  , уравнения метода наименьших квадратов имеют следующий вид:    (3.1.8)- нормальная система для в развернутом виде. Пусть теперь Аналогично получим     (3.1.9)- нормальная система для  в развернутом виде для квадратичного сглаживания.Метод вычисления параметров  с помощью решения нормальной системы кажется весьма привлекательным. Действительно, задача сводится к стандартной системе линейных алгебраический уравнений с квадратной матрицей. Однако вычислительная практика показывает, что без специального выбора базисных функций уже при  нормальная система обычно оказывается плохо обусловленной. Причина в том, что система базисных функций, будучи формально независимой, на практике часто близка к линейно зависимой. Особенно этим «грешит» система степенных функций  , широко применяемая при аппроксимации алгебраическими многочленами. Лучший результат получается, если использовать систему ортогональных на отрезке  функций. Пример такой системы на  дает система многочленов Чебышева  .В настоящее время в вычислительной практике нормальная система, как правило, не используется. Применяются другие, более надежные методы, например метод сингулярного разложения матрицы  . Пример. Пусть функция задана следующей таблицей:
Используя метод наименьших квадратов, аппроксимируем ее многочленами первой и второй степени и найдем соответствующие средние квадратические уклонения  .Вычисления, которые нужно провести, расположим по схеме, приведенной в такой таблице:
а) Линейная модель   Таким образом, линейная модель имеет вид  б) Квадратичная модель    Отсюда  - вид квадратичной модели. Обе модели значительно отличаются друг от друга. Сравним исходные данные для  с соответствующими значениями  , полученными из обеих моделей, и вычислим 
Таким образом,  Следовательно, данным для в исходной таблице очень хорошо соответствует квадратичная модель. Линейная модель не адекватна исходным данным и должна быть отвергнута. |
