6. Электрические цепи однофазного
переменного тока 6.1. Основные определения
Переменным называется электрический ток, величина и направление которого изменяются во времени.
Область применения переменного тока намного шире, чем постоянного. Это объясняется тем, что напряжение переменного тока можно легко понижать или повышать с помощью трансформатора, практически в любых пределах. Переменный ток легче транспортировать на большие расстояния. Но физические процессы, происходящие в цепях переменного тока, сложнее, чем в цепях постоянного тока из-за наличия переменных магнитных и электрических полей.
Значение переменного тока в рассматриваемый момент времени называют мгновенным значением и обозначают строчной буквой i.
Мгновенный ток называется периодическим, если значения его повторяются через одинаковые промежутки времени
Наименьший промежуток времени, через который значения переменного тока повторяются, называется периодом.
Период T измеряется в секундах. Периодические токи, изменяющиеся по синусоидальному закону, называются синусоидальными.
Мгновенное значение синусоидального тока определяется по формуле
где Im - максимальное, или амплитудное, значение тока.
Аргумент синусоидальной функции  называют фазой; величину φ, равную фазе в момент времени t = 0, называют начальной фазой. Фаза измеряется в радианах или градусах. Величину, обратную периоду, называют частотой. Частота f измеряется в герцах.
В Западном полушарии и в Японии используется переменный ток частотой 60 Гц, в Восточном полушарии - частотой 50 Гц.
Величину  называют круговой, или угловой, частотой. Угловая частота измеряется в рад/c.
Если у синусоидальных токов начальные фазы при одинаковых частотах одинаковы, говорят, что эти токи совпадают по фазе. Если неодинаковы по фазе, говорят, что токи сдвинуты по фазе. Сдвиг фаз двух синусоидальных токов измеряется разностью начальных фаз
С помощью осциллографа можно измерить амплитудное значение синусоидального тока или напряжения.
Амперметры и вольтметры электромагнитной системы измеряют действующие значения переменного тока и напряжения.
Действующим значением переменного тока называется среднеквадратичное значение тока за период. Действующее значение тока (для синусоиды  )
 .
Аналогично определяются действующие значения ЭДС и напряжений
 .
Действующие значения переменного тока, напряжения, ЭДС меньше максимальных в √2 раз.
Законы Ома и Кирхгофа справедливы для мгновенных значений токов и напряжений.
Закон Ома для мгновенных значений:
 . (6.1)
Законы Кирхгофа для мгновенных значений:
 . (6.2)
 . (6.3)
6.2. Изображения синусоидальных функций времени
в векторной форме
При расчете электрических цепей часто приходится складывать или вычитать величины токов или напряжений, являющиеся синусоидальными функциями времени. Графические построения или тригонометрические преобразования в этом случае могут оказаться слишком громоздкими.
Задача упрощается, если представить наши синусоидальные функции в векторной форме. Имеем синусоидальную функцию  . Известно, что проекция отрезка, вращающегося вокруг оси с постоянной угловой скоростью, на любую линию, проведенную в плоскости вращения, изменяется по синусоидальному закону.
Пусть отрезок прямой длиной Im начинает вращаться вокруг оси 0 из положения, когда он образует с горизонтальной осью угол φ, и вращается против часовой стрелки с постоянной угловой скоростью ω. Проекция отрезка на вертикальную ось в начальный момент времени  . Когда отрезок повернется на угол α1, проекция его  . Откладывая углы α1, α2, ... на горизонтальной оси, а проекции отрезка прямой - на вертикальной оси, получим ряд точек синусоиды (рис. 6.1).
Пусть даны два синусоидальных тока:  и
 .
Нужно сложить эти токи и получить результирующий ток:
Рис. 6.1
Представим синусоидальные токи i1 и i2 в виде двух радиус - векторов, длина которых равна в соответствующем масштабе I1m и I2m. Эти векторы расположены в начальный момент времени под углами φ1 и φ2 относительно горизонтальной оси. Сложим геометрически отрезки I1m и I2m. Получим отрезок, длина которого равна амплитудному значению результирующего тока I3m. Отрезок расположен под углом φ3 относительно горизонтальной оси. Все три отрезка вращаются вокруг оси 0 с постоянной угловой скоростью ω. Проекции отрезков на вертикальную ось изменяются по синусоидальному закону. Будучи остановленными для рассмотрения, данные отрезки образуют векторную диаграмму (рис. 6.2).
Векторная диаграмма - это совокупность векторов, изображающих синусоидальные напряжения, токи и ЭДС одинаковой частоты.
 Необходимо отметить, что напряжение, ток и ЭДС - это скалярные, а не векторные величины.
Мы представляем их на векторной диаграмме в виде не пространственных, а временных радиус - векторов, вращающихся с одинаковой угловой скоростью.
Изображать на векторной диаграмме два вектора, вращающихся с различной угловой скоростью, бессмысленно.
Рис. 6.2
Положительным считается направление вращения векторов против часовой стрелки.
Векторные диаграммы используются для качественного анализа электрических цепей, а также при решении некоторых электротехнических задач.
6.3. Изображение синусоидальных функций времени
в комплексной форме
При расчетах цепей синусоидального тока используют символический метод расчета или метод комплексных амплитуд. В этом методе сложение двух синусоидальных токов заменяют сложением двух комплексных чисел, соответствующих этим токам.
Из курса математики известно, что комплексное число может быть записано в показательной или алгебраической форме:
где с - модуль комплексного числа;
φ- аргумент;
a - вещественная часть комплексного числа;
b - мнимая часть;
j - мнимая единица, j = √-1.
С помощью формулы Эйлера можно перейти от показательной формы записи к алгебраической.
 
От алгебраической формы записи переходят к показательной форме с помощью формул:
 
Комплексное число может быть представлено в виде радиус - вектора в комплексной плоскости. Вектор длиной, равной модулю c, расположен в начальный момент времени под углом φ относительно вещественной оси (рис.6.3).
 Умножим комплексное число на множитель  .
Радиус - вектор на комплексной плоскости повернется на угол β.
Множитель называется поворотным.
Рис.6.3
Если  , то вектор, умноженный на  , превратится во вращающийся со скоростью ω радиус - вектор.
Выражение  называется комплексной функцией времени.
Применительно к напряжению, получим  - комплексную функцию времени для напряжения.
 - комплексная амплитуда напряжения (исходное положение вектора в комплексной плоскости). Определим, чему равна мнимая часть комплексной функции времени для напряжения.
Мгновенное синусоидальное напряжение (ток, ЭДС) является мнимой частью соответствующей комплексной функции времени.
Замечание. В электротехнике над символами, изображающими комплексные напряжения, токи, ЭДС, принято ставить точку.
Синусоидальные функции времени могут быть представлены векторами в комплексной плоскости, вращающимися против часовой стрелки с постоянной угловой скоростью ω. Проекция вектора на мнимую ось изменяется по синусоидальному закону.
Пример.
 
Сложение синусоидальных токов заменим сложением комплексных амплитуд, соответствующих этим токам.
 
Амплитуда результирующего тока  , начальная фаза -  .
Мгновенное значение результирующего тока
 .
Законы Ома и Кирхгофа в комплексной форме:
 - закон Ома; (6.4)
 - первый закон Кирхгофа; (6.5)
 - второй закон Кирхгофа. (6.6)
3. Анализ электрических цепей постоянного тока
с одним источником энергии 3.1. Расчет электрических цепей постоянного тока
с одним источником методом свертывания
В соответствии с методом свертывания, отдельные участки схемы упрощают и постепенным преобразованием приводят схему к одному эквивалентному (входному) сопротивлению, включенному к зажимам источника. Схема упрощается с помощью замены группы последовательно или параллельно соединенных сопротивлений одним, эквивалентным по сопротивлению. Определяют ток в упрощенной схеме, затем возвращаются к исходной схеме и определяют в ней токи.
Рассмотрим схему на рис. 3.1. Пусть известны величины сопротивлений R1, R2, R3, R4, R5, R6, ЭДС Е. Необходимо определить токи в ветвях схемы.
Рис. 3.1 Рис. 3.2
Сопротивления R4 и R5 соединены последовательно, а сопротивление R6 - параллельно с ними, поэтому их эквивалентное сопротивление
После проведенных преобразований схема принимает вид, показанный на рис. 3.2, а эквивалентное сопротивление всей цепи
Ток I1 в неразветвленной части схемы определяется по формуле:
Найдем токи I2 и I3 в схеме на рис. 3.2 по формулам:
I3 = I1 - I2 - формула получается из уравнения, составленного по первому закону Кирхгофа:
I1 - I2 - I3 = 0.
Переходим к исходной схеме на рис. 3.1 и определим токи в ней по формулам:
I6 = I3 - I4 (в соответствии с первым законом Кирхгофа I3 - I4 - I6 =0).
3.2. Расчет электрических цепей постоянного тока
с одним источником методом подобия
или методом пропорциональных величин
Возьмем электрическую схему на рис. 3.1, зададимся произвольным значением тока  в сопротивлении R6, наиболее удаленном от источника питания. По заданному току и сопротивлению R6 определим напряжение  . Далее определим:
 ,  ,
 , ,
 ;  .
Находим значение ЭДС
 .
Найденное значение ЭДС  отличается от заданной величины ЭДС Е.
Вычислим коэффициент подобия  . Умножим на него полученные при расчете значения токов и напряжений, находим действительные значения токов цепи.
6.4. Сопротивление в цепи синусоидального тока
Если напряжение  подключить к сопротивлению R, то через него протекает ток
 (6.7)
Анализ выражения (6.7) показывает, что напряжение на сопротивлении и ток, протекающий через него, совпадают по фазе.
Формула (6.7) в комплексной форме записи имеет вид
(6.8)
где  и  - комплексные амплитуды тока и напряжения.
Комплексному уравнению (6.8) соответствует векторная диаграмма (рис. 6.4).
 Из анализа диаграммы следует, что векторы напряжения и тока совпадают по направлению.
Сопротивление участка цепи постоянному току называется омическим, а сопротивление того же участка переменному току - активным сопротивлением.
Рис.6.4
Активное сопротивление больше омического из-за явления поверхностного эффекта. Поверхностный эффект заключается в том, что ток вытесняется из центральных частей к периферии сечения проводника.
6.5. Индуктивная катушка в цепи синусоидального тока
Сначала рассмотрим идеальную индуктивную катушку, активное сопротивление которой равно нулю. Пусть по идеальной катушке с индуктивностью L протекает синусоидальный ток . Этот ток создает в индуктивной катушке переменное магнитное поле, изменение которого вызывает в катушке ЭДС самоиндукции
 (6.9)
Эта ЭДС уравновешивается напряжением, подключенным к катушке: u = eL = 0.
 (6.10)
Таким образом, ток в индуктивности отстает по фазе от напряжения на 90o из-за явления самоиндукции.
Уравнение вида (6.10) для реальной катушки, имеющей активное сопротивление R, имеет следующий вид:
 (6.11)
Анализ выражения (6.11) показывает, что ЭДС самоиндукции оказывает препятствие (сопротивление) протеканию переменного тока, из-за чего ток в реальной индуктивной катушке отстает по фазе от напряжения на некоторый угол φ (0o < φ < 90o), величина которого зависит от соотношения R и L. Выражение (6.11) в комплексной форме записи имеет вид:
 (6.12)
где ZL - полное комплексное сопротивление индуктивной катушки  ;
ZL - модуль комплексного сопротивления;
 - начальная фаза комплексного сопротивления;
 - индуктивное сопротивление (фиктивная величина, характеризующая реакцию электрической цепи на переменное магнитное поле).
Полное сопротивление индуктивной катушки или модуль комплексного сопротивления
 .
Комплексному уравнению (6.12) соответствует векторная диаграмма (рис.6.5).
Рис. 6.5
Из анализа диаграммы видно, что вектор напряжения на индуктивности опережает вектор тока на 90o.
В цепи переменного тока напряжения на участках цепи складываются не арифметически, а геометрически.
Если мы поделим стороны треугольника напряжений на величину тока Im, то перейдем к подобному треугольнику сопротивлений (рис. 6.6).
 Из треугольника сопротивлений получим несколько формул:
 ;  ;
Рис. 6.6
 ;
 ;  .
6.6. Емкость в цепи синусоидального тока
Если к конденсатору емкостью C подключить синусоидальное напряжение, то в цепи протекает синусоидальный ток
 ;
 . (6.13)
Из анализа выражений 6.13 следует, что ток опережает напряжение по фазе на 90o.
Выражение (6.13) в комплексной форме записи имеет вид:
 , (6.14)
где  - емкостное сопротивление, фиктивная расчетная величина, имеющая размерность сопротивления.
Если комплексное сопротивление индуктивности положительно
 , то комплексное сопротивление емкости отрицательно
 .
На рис. 6.7 изображена векторная диаграмма цепи с емкостью.
Вектор тока опережает вектор напряжения на 90o.
Рис. 6.7
6.7. Последовательно соединенные реальная индуктивная
катушка и конденсатор в цепи синусоидального тока
Катушка с активным сопротивлением R и индуктивностью L и конденсатор емкостью С включены последовательно (рис.6.8). В схеме протекает синусоидальный ток
 .
Определим напряжение на входе схемы.
В соответствии со вторым законом Кирхгофа,
 (6.15)
Подставим эти формулы в уравнение (6.15). Получим:
 (6.16)
 Из выражения (6.16) видно: напряжение в активном сопротивлении совпадает по фазе с током, напряжение на индуктивности опережает по фазе ток на 90o, напряжение по емкости отстает по фазе от тока на 90o.
Запишем уравнение (6.16) в комплексной форме:
 (6.17)
Рис. 6.8
Поделим левую и правую части уравнения (6.17) на √2.
Получим уравнение для комплексов действующих значений токов и напряжений
 , (6.18)
где  - комплексное сопротивление цепи;
 - модуль комплексного сопротивления, или полное сопротивление цепи;
 - начальная фаза комплексного сопротивления.
При построении векторных диаграмм цепи рассмотрим три случая.
XL > XC, цепь носит индуктивный характер. Векторы напряжений на индуктивности и емкости направлены в противоположные стороны, частично компенсируют друг друга. Вектор напряжения на входе схемы опережает вектор тока (рис.6.9).
Индуктивное сопротивление меньше емкостного. Вектор напряжения на входе схемы отстает от вектора тока. Цепь носит емкостный характер (рис.6.10).
Индуктивное и емкостное сопротивления одинаковы. Напряжения на индуктивности и емкости полностью компенсируют друг друга. Ток в цепи совпадает по фазе с входным напряжением. В электрической цепи наступает режим резонансного напряжения (рис.6.11).
Ток в резонансном режиме достигает максимума, так как полное сопротивление (z) цепи имеет минимальное значение.
Условие возникновения резонанса:  , отсюда резонансная частота равна
 .
Из формулы следует, что режима резонанса можно добиться следующими способами:
изменением частоты;
изменением индуктивности;
изменением емкости.
В резонансном режиме входное напряжение равно падению напряжения в активном сопротивлении. На индуктивности и емкости схемы могут возникнуть напряжения, во много раз превышающие напряжение на входе цепи. Это объясняется тем, что каждое напряжение равно произведению тока I0 (а он наибольший), на соответствующее индуктивное или емкостное сопротивление (а они могут быть большими).
 .
Рис. 6.9 Рис. 6.10 Рис. 6.11
6.8. Параллельно соединенные индуктивность, емкость
и активное сопротивление в цепи синусоидального тока
К схеме на рис. 6.12 подключено синусоидальное напряжение  . Схема состоит из параллельно включенных индуктивности, емкости и активного сопротивления.
Определим ток на входе схемы.
В соответствии с первым законом Кирхгофа:
 , (6.19)
 где 
 - активная проводимость.
Рис. 6.12  
Подставим эти формулы в уравнение (6.19). Получим:
 , (6.20)
где  - индуктивная проводимость;
 - емкостная проводимость.
Из уравнения (6.20) видно, что ток в ветви с индуктивностью отстает по фазе от напряжения на 90o, ток в ветви с активным сопротивлением совпадает по фазе с напряжением, ток в ветви с емкостью опережает по фазе напряжение на 90o.
Запишем уравнение (6.20) в комплексной форме.
 , (6.21)
где  - комплексная проводимость;
 - полная проводимость;
 - начальная фаза комплексной проводимости.
Построим векторные диаграммы, соответствующие комплексному уравнению (6.21).
Рис. 6.13 Рис. 6.14 Рис. 6.15
В схеме на рис. 6.12 может возникнуть режим резонанса токов. Резонанс токов возникает тогда, когда индуктивная и емкостная проводимости одинаковы. При этом индуктивный и емкостный токи, направленные в противоположные стороны, полностью компенсируют друг друга. Ток в неразветвленной части схемы совпадает по фазе с напряжением.
Из условия возникновения резонанса тока  получим формулу для резонансной частоты тока
 .
В режиме резонанса тока полная проводимость цепи  - минимальна, а полное сопротивление  - максимально. Ток в неразветвленной части схемы  в резонансном режиме имеет минимальное значение. В идеализированном случае R = 0,
 и  .
Ток в неразветвленной части цепи I = 0. Такая схема называется фильтр - пробкой.
Комплексная проводимость индуктивной ветви
где  - активная проводимость индуктивной катушки;
 - полное сопротивление индуктивной катушки;
 - индуктивная проводимость катушки;
 - емкостная проводимость второй ветви.
В режиме резонансов токов справедливо уравнение:
 или 
Из этого уравнения получим формулу для резонанса частоты
 (6.22)
На рисунке 6.16 изображена векторная диаграмма цепи в резонансном режиме.
 Вектор тока I2 опережает вектор напряжения на 90o. Вектор тока I1 отстает от вектора напряжения на угол φ,
где  .
Разложим вектор тока I1 на две взаимно перпендикулярные составляющих, одна из них, совпадающая с вектором напряжения, называется активной составляющей тока Iа1, другая - реактивной составляющей тока Iр1.
Рис. 6.16
В режиме резонанса тока реактивная составляющая тока Iр1 и емкостный ток I2 , направленные в противоположные стороны, полностью компенсируют друг друга, активная составляющая тока Iа1 совпадает по фазе с напряжением (рис. 6.17). Ток I в неразветвленной части схемы совпадает по фазе с напряжением.
 Рис. 6.17 |
Скачать 263 Kb.