Численные методы. 6 Теория погрешностей Понятие абсолютной и относительной погрешности, значащей и верной цифр
 Скачать 0.63 Mb.
|
|
Уточнение корней методом итераций. При решении системы уравнений методом итераций, она представляется в виде  . Если за начальное приближение корней принять пару  , то итерационный процесс выглядит, как: ,  …  .Если итерационный процесс сходится, т.е. существуют пределы  ,  , то эти пределы являются решением исходной системы уравнений.Для метода итераций справедлива следующая теорема: Пусть в некоторой замкнутой окрестности  имеется одна (и только одна) пара корней  ,  . Если: 1) функции  ,  определены и непрерывно дифференцируемы, 2) начальные приближения и все последующие приближения принадлежат окрестности R, 3) в окрестности R выполняется условие  ,  ,то процесс итерации сходится. Уточнение корней методом Ньютона. Для удобства обозначений перепишем систему в виде:  . Пусть  - приближенные значения корней системы при  тогда для точных корней можно записать  ,  . Используя разложение Тейлора для функции многих переменных около и ограничиваясь линейными слагаемымипо и  , запишем: ,  .Если рассматривать эти уравнения, как систему линейных уравнений относительно и , то ее определитель .По правилу Крамера вычисляем:  ,   .В итоге итерационные формулы принимаю вид:  ,  , где и определяются предыдущими соотношениями. Итерационный процесс продолжается до выполнения условия:  6.5. Интерполирование функций Постановка задачи В некоторой ограниченной области значений  на плоскости (x,y) заданы n+1 точка: {x0, y0; x1,y1; … xn,yn}, (где xiрасположены в порядке возрастания) отражающие в дискретном виде функциональную зависимость y от x. Эти точки называются узлами интерполяции. Решить задачу интерполирования, это значит найти значение y(x) для промежуточных значений x. Задача интерполирования решается путем построения интерполяционной функции F(x), такой, что  ,  , … , . Иначе говоря – проходящей через все узлы интерполяции. После этого искомое значение y(x) вычисляется как значение F(x).Если приближенное значение зависимости ищется за пределами области, т.е. при  , то это называют экстраполирование.Полиномиальная интерполяция Если в качестве интерполяционной функции строится алгебраический многочлен – полином, то говорят о полиномиальной интерполяции. Согласно теореме единственности, через  точку можно провести только один полином n-ой степени. Этот полином может иметь различную форму записи. Различают записи с помощью формул Ньютона и Лагранжа.Полином Лагранжа. Наиболее общим вариантом интерполяционного полинома является полином Ланранжа. Он может быть получен при переменном шаге по x между узлами интерполяции. Не допускается лишь совпадение x-координат узлов. Для построения интерполяционного полинома Лагранжа используется базис, составленный из полиномов n-ой степени:  (x) (i=0,n), удовлетворяющих условиям:  ;  при  . Pi(x) имеет следующий вид: .Интерполяционный полином Лагранжа  строится в виде: ,Нетрудно показать, что он проходит через все узлы интерполяции:  .Полином можно записать в общем виде:  .Иногда его записывают как  , где  , .
П
роизведение последнего столбца таблицы дает  .Вычисление  приведено ниже.Окончательно  .В случае равноотстоящих узлов интерполяционную формулу Лагранжа можно преобразовать к следующей форме:  , где  ,  ,  .Интерполяционные полиномы Ньютона. Полиномиальная интерполяция по Ньютону производится при равноотстоящих по x узлах интерполяции. Первая интерполяционная формула Ньютона строится в виде:  ,где коэффициенты  определяются из соотношения  , ( ).При нахождении коэффициентов используется понятие конечной разности. Для функции  :  первая конечная разность, вторая конечная разность. В узловых точках имеем:  ,  .Аналогично для конечных разностей высших порядков  .Итоговая формула, которая называется первой интерполяционной формулой Ньютона (в случае равноотстоящих узлов) имеет вид:  ,где  , h шаг (расстояние между соседними точками). При малых q членами высоких порядков в формуле можно пренебречь, поэтому первую формулу Ньютон обычно используют в случае, когда x близка к х0.Ниже в таблице приведен пример таблично заданной функции и ее конечных разностей (до третьего порядка). Используя данную таблицу и формулу Ньютона (ограничиваясь членами третьего порядка по q) можно вычислить функцию, например, в точке  .
 ,  .Примечание. При вычислениях, в качестве х0 лучше выбирать ближайшую точку к х. Например, для точки  удобней выбрать  , тогда соответственно  ,  …При вычислениях значений функции, близких к концу таблицы, первая формула Ньютона может оказаться мало пригодной из-за того, что члены высоких порядков велики и их нельзя сократить. В этом случае используют вторую формулу Ньютона, которая получается, если полином искать в виде:  Вторая интерполяционная формула Ньютона имеет вид:  ,где  .Вычислим функцию в точке  , тогда  ,  ,  ,  ,  … и, в результате (с точностью до третьего порядка по q)  .Сплайн интерполяция Сплайн функция сплайн кусочно-полиномиальная функция, проходящая через заданное множество узлов интерполяции и имеющая в данной области некоторое количество непрерывных производных. В вычислительной практике распространено использование кубических сплайнов. Приближение функции  с помощью кубического сплайна  должно удовлетворять следующим условиям: 1)  функция многочлен третьей степени; 2) функции ,  ,  непрерывны на заданном отрезке ; 3)  , согласно условию интерполирования.Для любого  задается функция  в виде многочлена третьей степени: ,где  коэффициенты, подлежащие определению.С учетом выше перечисленных условий, а так же двух дополнительных (для концов заданного отрезка)  ,  , коэффициенты записываются: ,  ; ,  ,  ; , ,  .Здесь  ,  .В образованной системе уравнений, коэффициенты  можно определить из последней строки методом прогонки. Остальные коэффициенты выражаются через найденные. Рассмотрим метод прогонки для нахождения коэффициентов . Последнее уравнение системы это уравнение (при ) вида: , ,где  ,  ,  ,  .Если привести это уравнение к виду:  ,  , то ,  , .В двух последних строках заключена суть метода прогонки: сначала находятся все коэффициенты  (необходимо знать  ), затем находятся значения  (необходимо знать  ). Так как  , а  , то  . С другой стороны  .Ниже приведен пример вычисления коэффициентов полинома для функции заданной таблично. Этот же пример использован при рассмотрении полиномиальной интерполяции Лагранжа.
Сначала вычисляются прогоночные коэффициенты.
Затем вычисляются коэффициенты  , и все остальные коэффициенты полинома.
Для того, чтобы вычислить функцию в точке  , необходимо вычислить полином в этой точке. , что с точностью до трех знаков после запятой совпадает с раннее вычисленным значением по интерполяционной формуле Лагранжа. Ниже этот же пример решен с помощью системы MathCAD.
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
