Численные методы. 6 Теория погрешностей Понятие абсолютной и относительной погрешности, значащей и верной цифр
 Скачать 0.63 Mb.
|
|
6.6. Линейная аппроксимация по МНК Пусть зависимоcтьy от xзадана в дискретной форме: {x1, y1; x2,y2; … xn,yn}. По этим данным можно построить такую аппроксимирующую функцию, график которой будет располагаться между узлами интерполяции близко к ним, но не обязательно точно проходить через все узлы. Такая зависимость носит сглаживающий характер и строится, например, для того, чтобы описать экспериментальные данные с помощью функции заданного вида. Необходимо определить лишь параметры этой функции. Для решения такой задачи используется метод наименьших квадратов - МНК. Его суть заключается в минимизации полной квадратичной невязки между построенной функцией и значениями yiв узловых точках:   где F(x) – искомая аппроксимирующая функция. Часто в качестве приближения, строящегося по МНК, берутся полиномы степени l,  , где l<n-1. В простейшем случае строится полином первой степени, т.е. линейная функция: F(x)=ax+b. Коэффициенты a и b находятся с помощью метода наименьших квадратов по следующим формулам: ,  .Для нахождения коэффициентов, можно использовать стандартные функции системы MathCAD и Excel. В MathCAD имеется функция line(vx, vy), которая возвращает линейные коэффициенты по значениям векторных аргументов vxи vy. В Excel имеется функция ЛИНЕЙН, у которой также имеются два аргумента, состоящих из диапазонов ячеек. На первом месте диапазон ячеек соответствующий ординате. После ввода этой функции (например, «=ЛИНЕЙН(F10:F12;E1:E3)» ) выводится только один линейный коэффициент. Для вывода обоих коэффициентов необходимо выделить две ячейки (включая первую слева) потом нажать «F2», а затем комбинацию клавиш «crtl», «shift», «enter». 6.7. Решение систем линейных уравнений (СЛУ) Систему линейных уравнений  удобно представлять в матричной форме  , где  матрица системы,  вектор столбец свободных членов.Система имеет единственное решение, если ее определитель  . Для решения системы используют прямые методы (формулы Крамера, метод Гаусса, метод обратной матрицы) и итерационные (метод простых итераций, Зейделя и др.).
Решение систем линейных уравнений с использованием стандартных функций пакета MathCAD и Excel.В пакете MathCAD имеется множество возможностей для решения СЛУ.
Решение системы в компактном виде осуществляется с использованием матрицы системы и вектора столбца свободных членов, а также с помощью функции lsolve.    Также можно воспользоваться методом обратной матрицы  после ввода этой строки остается только вывести значения X.При решении СЛУ с помощью стандартных функций Excel требуется умение работы с массивами. Для решения, например, с помощью обратной матрицы используются функции МОБР и МУМНОЖ.
Для использования функции обращения матрицы МОБР нужно ввести в свободную ячейку формулу: «=МОБР(A1:C3)» или воспользоваться мастером функций, в котором отметить диапазон ячеек.
элементы,необходимо выделить соответствующе количество ячеек так, чтобы в левом верхнем углу находился полученный элемент. После этого нажимается клавиша «F2», а затем сочетание клавиш «crtl», «shift», «enter». В выделенных ячейках появится результат. Следующим шагом нужно перемножить обратную матрицу с вектором-столбцом свободных членов. При умножении в свободную ячейку вводится функция умножения с необходимыми диапазонами перемножаемых массивов «=МУМНОЖ(A6:C8;E1:E3)». После того как в ячейке появится первый элемент, необходимо выделить ячейки для результата (три столбиком, включая первый злемент), затем нажать «F2» и «crtl», «shift», «enter». Метод Гаусса Суть метода заключается в том, что сначала путем тождественных преобразований систему приводят к треугольному виду (прямой ход), а затем последовательно находят корни системы (обратный ход). Если из второй строки уравнения вычесть первую, умноженную на коэффициент  , а из третьей строки вычесть тоже первую, умноженную на коэффициент  , и так продолжая до n-й строки, то в матрице преобразованной системы уравнений первый столбец, кроме элемента  , станет нулевым. Элемент при данном преобразовании называется ведущим. Затем аналогичным способом, вычитая из нижних строк вторую, умноженную на соответствующие коэффициенты, зануляют второй столбец, кроме элементов  и  (верхний индекс обозначает количество преобразований), при этом преобразовании ведущим становится элемент . Процесс продолжают, пока матрица А не примет треугольный вид:
Свободные члены при этих преобразованиях так же изменятся  .Из последней строки полученной матрицы находится  . При выполнении описанных вычислений необходимо следить за тем, чтобы очередной ведущий элемент не был бы равен нулю. Если такое происходит, то следует производить перестановку строк. Так как в дальнейшем производится работа только с преобразованной матрицей, то верхние индексы можно опустить. Тогда из предпоследней строки  .Полностью обратный ход можно записать:  ,  .Рассмотренные преобразования не меняют определителя матрицы коэффициентов. Определитель же треугольной матрицы равен произведению элементов главной диагонали. Таким образом, с помощью метода Гаусса, можно найти определитель матрицы системы уравнений, вычислив произведение ведущих элементов. Ниже приведен пример решения системы уравненийс помощью метода Гаусса. 
Произведение ведущих членов равно 0,1855 , что является значением определителя. |
.
,
, 
, 
,
.