Численные методы. 6 Теория погрешностей Понятие абсолютной и относительной погрешности, значащей и верной цифр

• Название: 6 Теория погрешностей Понятие абсолютной и относительной погрешности, значащей и верной цифр
• Анкор: Численные методы
• Дата: 02.07.2021
• Размер: 0.63 Mb.
• Имя файла: Численные методы.docx
• Тип: Документы; #222929
• страница: 5 из 5

Метод простых итераций

Суть метода заключается в том, что исходную систему линейных уравнений приводят к эквивалентной системе вида:

или

Взяв в качестве начального приближения вектор , получают следующее , затем . В результате формула последовательных приближений имеет вид: ,

Метод сходится (независимо от выбора начального приближения), если любая из канонических норм матрицы меньше единицы.

Рассмотрение условий , приводит к условию диагонального преобладания (в строках, или в столбцах) для исходной матрицы системы A.

Итерационный процесс для решения системы с заданной точностью  останавливается, если .

В следующем примере приводится решение СЛУ с помощью метода простых итераций.

В исходной системе уравнений сначала нужно переставить двапоследних уравнения, чтобы

выполнялось условие диагонального преобладания.Затем система приводится к виду необходимому для проведения итераций.

откуда , .

Ниже приведена таблица вычислений вектора решений ( ). В качестве нулевого приближения взят вектор . Вычисления производились с точностью 0,001. Для этого норма вектора должна быть меньше единицы.

2	-0,1	1,9	0,1	-0,10812	1,89188	0,00812	-0,1083	1,891702	0,000178
3	0,14	3,14	0,14	0,1437	3,1437	0,0037	0,144054	3,144054	0,000354
4	0,014	4,014	0,014	0,0162	4,0162	0,0022	0,016302	4,016302	0,000102

Метод Зейделя

Этот метод является модификацией метода итераций.

Преобразованную систему можно записать в следующем виде:

, i=1,…,n

Полученное из перового уравнения системы приближение значение используется во втором уравнении для нахождения , затем оба значения и используются уже при нахождении и т.д. Процесс повторяется для следующего приближения. В итоге можно записать

.

Условие сходимости, а также условие прекращения последовательных приближений для метода Зейделя аналогичны условиям для метода простых итераций.

Необходимо отметить, что при вычислениях с помощью MathCAD, чтобы получить следующее приближение методом Зейделя, достаточно записать формулу , так как для вычислений последующих компонент вектора используются предыдущие (уже вычисленные) компоненты.