МАТАН (шпоры). 8. Линейная зависимость и линейная независимость векторов. Векторы назыв коллинеарными,если лежат на
 Скачать 0.57 Mb.
|
| 23.Общие ур-ие кривых второго порядка на плоскости. Инварианты кривых второго порядка на плоскости.Классификация и виды каноническихь ур-ий(9)кривых второго порядка. Кривая второго порядка может быть задана уравнением Ах2 + 2Вху + Су2 + 2Dx + 2Ey + F = 0 Существует система координат (не обязательно декартова прямоугольная), в которой данное уравнение может быть представлено в одном из видов, приведенных ниже. 1)  - уравнение эллипса.2)  - уравнение “мнимого” эллипса.3)  - уравнение гиперболы. | 4)a2x2 – c2y2 = 0 – уравнение двух пересекающихся прямых. 5)y2 = 2px – уравнение параболы. 6)y2 – a2 = 0 – уравнение двух параллельных прямых. 7)y2 + a2 = 0 – уравнение двух “мнимых” параллельных прямых. 8)y2 = 0 – пара совпадающих прямых. 9)(x – a)2 + (y – b)2 = R2 – уравнение окружности. Линия,которая в некоторой декартовой системе координат определяется ур-ем второй степени, назыв.линией второго порядка. Кривая второго порядка — геометрическое место точек, декартовы прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида  в котором по крайней мере один из коэффициентов отличен от нуля. Иначе говоря  . Вид кривой зависит от 4 инвариантов: инварианты относительно поворота и сдвига системы координат | | 23.Общие ур-ие кривых второго порядка на плоскости. 1. 2.   3.  инвариант относительно поворота системы координат 4.  | Классификация кривых второго порядка. Невырожденные кривые. Кривая второго порядка называется «невырожденной», если Могут возникать следующие варианты: Э  ллипс — при условии D>0 и I <0Окружность (частный случай эллипса) — при условии , Мнимый Эллипс (пустое множество) — при условии D =0 и I >0Гипербола — при условии D<0 Парабола — при условии D=0 В ырожденные кривые. Кривая второго порядка называется «вырожденной», если =0Точка— при условии D>0 (вырожденный эллипс) Пара пересекающихся прямых— при условии D<0 Пара параллельных прямых— при условииD=0 и B<0 Прямая (две слившихся параллельных прямых) — при условии D=0 и B=0 Пара мнимых параллельных прямых— при условии D=0 и B>0 | | 24.Поверхности второго порядка.Эллипсоиды,гиперболоиды,Параболоиды, цилиндры,конусы.Канонич.ур-я.Инварианты. Поверхность второго порядка — геометрическое место точек, декартовы прямоугольные координаты которых удовлет-ют уравнению вида a11x2 + a22y2 + a33z2 + 2a12xy + 2a23yz + 2a13xz + 2a14x + 2a24y + 2a34z +a44= 0 в котором по крайней мере один из коэффициентов a11, a22, a33, a12, a23, a13 отличен от нуля. Эллипсо́ид – поверхность,которая в некоторой системе декартовых прямоугольных координат определяется ур-ем  каноническое ур-е эллипсоида.Велечины a,b,c суть полуоси эллипсоида.Если a=b-ось вращения будет Oz,если a=b При a=b>c-сжатым.Если a=b=c,эл-д-сфера. Гиперболоид назыв.поверхности,которые в некоторой системе декартовых прямоугольных координат определ.ур-ми: |  (однополостный гиперболоид) (двухполостный гиперболоид).Параболо́идами назыв.поверхности,которые в некоторой системе декартов.координат определ.ур-ями.  -эллиптический параболоид.,где p,q-положит.числа назыв.параметрами параболоида.  -гиперболический параболоид. Оба ур-я назыв.каноническими ур-ями параболоидов.Конической поверхностью или конусом назыв.поверхность,которая описывает движущейся прямой(образующей) при условии,что эта прямая проходит через постоянную точку s и пересекает некоторую определенную линию L.Точка S назыв.вершиной конуса,линия L-направляющей. | | 24.Поверхности второго порядка.Эллипсоиды,гиперболоиды,Параболоиды, цилиндры,конусы.Канонич.ур-я.Инварианты.  -конусы -мнимые конусыЦилиндрической поверхностью,или цилиндром,назыв. поверхность,которая описывается движущейся прямой (образующей)при условии,что эта прямая имеет постоянное направление и пересекает некоторую определенную линию L (направляюшую).  -эллиптические цилиндры |  -мнимые эллиптические цилиндры -гиперболические цилиндры-параболические цилиндры Поверхности второго порядка, поверхности, декартовы прямоугольные координаты точек которых удовлетворяют алгебраическому уравнению 2-й степени a11x2 + a22y2 + a33z2 + 2a12xy + 2a23yz + 2a13xz + 2a14x + 2a24y + 2a34z + a44 = 0(*) Уравнение (*) может и не определять действительного геометрического образа, но для сохранения общности в таких случаях говорят, что оно определяет мнимую Поверхности второго порядка В зависимости от значений коэффициентов общего уравнения (*) оно может быть преобразовано с помощью параллельного | | 24.Поверхности второго порядка… переноса и поворота системы координат к одному из 17 приведённых ниже канонических видов, каждому из которых соответствует определённый класс Поверхности второго порядка Среди них выделяют пять основных типов поверхностей. Именно, 1) эллипсоиды — эллипсоиды, — мнимые эллипсоиды2) гиперболоиды:  — однополостные гиперболоиды |  — двуполостные гиперболоиды3) параболоиды (p > 0, q > 0):  — эллиптические параболоиды, — гиперболические параболоиды;4) конусы второго порядка: — конусы— мнимые конусы; | | 24.Поверхности второго порядка… 5) цилиндры второго порядка: — эллиптические цилиндры,— мнимые эллиптические цилиндры,— гиперболические цилиндры,— параболические цилиндры. Перечисленные Поверхности второго порядка относятся к т. н. нераспадающимся Поверхности второго порядка; распадающиеся Поверхности второго порядка:  — пары пересекающихся плоскостей, |  — пары мнимых пересекающихся плоскостейх2 = а2 — пары параллельных плоскостей, х2 = —а2 — пары мнимых параллельных плоскостей, х2 = 0 — пары совпадающих плоскостей. Для Поверхности второго порядка установлена аффинная и проективная классификация. Две Поверхности второго порядка считают принадлежащими одному аффинному классу, если они могут быть переведены друг в друга некоторым аффинным преобразованием (аналогично определяются проективные классы Поверхности второго порядка). Каждому аффинному классу соответствует один из 17 канонических видов уравнения Поверхности второго порядка Проективные преобразования позволяют установить связь между различными аффинными классами Поверхности второго порядка Это объясняется тем, что при этих преобразованиях исчезает особая роль бесконечно удалённых элементов пространства. Например, эллипсоиды и двуполостные гиперболоиды, различные с аффинной точки зрения, принадлежат одному проективному классу Поверхности второго порядка. | | 25.Линейные операторы в линейном пространстве. Матрица линейного оператора. Если задан закон(правило), по которому каждому вектору х пространства Rn ставится в соответствие единственный ветор y пространства Rm,то говорят,что задан оператор (преобразование, отображение) (x),действующий из Rn в Rm и записывают y=(x). Оператор(преобразование) назыв.линейным,если для любых векторов x и y пространства Rn и любого числа лямбда выполняются соотношения: 1.(x+y)= (x)+ (y)-св-во аддитивности оператора. 2. (лямбда x)=лямбда(x)-св-во однородности оператора. Вектор y=(x). назыв.образом вектора x,а сам вектор x-прообразом вектора y. Если пространства Rn и Rm совпадают, то оператор A | отображает пространство Rn в себя. Матрица А=(aij) (i,j=1,2,...n) назыв.матрицей оператора в базисе l1,l2,...ln,а ранг r матрицы A-рангом оператора . Каждому линейному оператору соответствует матрица в данном базисе.Справедливо и обратное: всякой матрице n-го порядка соответствует линейный оператор n-мерного пространства. Действия над линейными операторами: С  уммой двух линейных операторов и B называется оператор (+B),определяемый равенством:(А+В)(х)=А(х)+В(х). Произведен.линейн.оператора А на число лямбда назыв.оператор лямбдаА,определ. равенством : (лямбдаА)(х)=лямбда(А(х)). Произведением лин.операт-ов А и В назыв.оператор АВ определ-ый равенством (АВ)(х)=А(В(х)). | | 26.Преобразование координат вектора при переходе к новому базису. Изменение координат вектора при изменении базиса Пусть в n-мерном линейном пространстве L выбран базис l1,l2,...ln который мы будем для удобства называть "старый" и другой базис который мы будем называть "новый". Возьмем призвольный вектор a из L Его координатный столбец в старом базисе обозначим  а в новом Нам нужно выяснить, как связаны друг с другом координаты в старом и в новом базисе. Для этого нам сначала нужно "связать" друг с другом старый и новый базисы. Запишем разложения новых базисных векторов по старому базису | Составим матрицу, столбцами которой служат координатные столбцы векторов нового базиса  Эта матрица называется матрицей перехода от старого базиса к новому. Матрица перехода всегда невырождена, то есть Координатные столбцы в старом базисе и в новом базисе связаны формулой | | 26.Преобразование координат вектора при переходе к новому базису. где справа стоит произведение матрицы перехода S на матрицу-столбец. Матрица А и А`линейного оператора в базисах l1,l2,...ln и связанны соотношением А`=С(«в –1степени»)АС,где С-матрица перехода от старого базиса к новому. При воздействии линейного оператора вектор х пространства Rn переводится в вектор у этого пространства,т.е.справедливы равенство У=АХ (в старом базисе) и равенство У`=А`Х(в новом базисе) Т.к.С-матрица перехода от старого базиса к новому,то в соответствии с А`=С(«в –1степени»)АС, Х=СХ`(1), У=СУ` (2). Умножим (1)слева на матрицу А,получим АХ=АСХ` или с учётом (У=АХ), У=АСХ`.Заменяя | Левую часть полученного выражения в соответствии с (2), имеем: СУ`=АСХ` или У`=C(«в –1степени»)АСX` | | 27.Собственные векторы и собственные значения линейного оператора. Характеристический многочлен линейного оператора. В  ектор х=0 назыв.собственным вектором линейного оператора ,если найдется такое число лямбда,что(х)=лямбда х. Число лямбда называется собственным значением оператора (матрицы А) соответствующим вектору х. Собственный вектор под действием оператора переходит в вектор,коллинеарный самому себе,т.е. просто умножается на некоторое число.В то же время несобственные векторы преобразуются более сложным образом. Определитель |A - лямбдаЕ| является многочленом n-й степени относительно лямбды.Этот многочлен называется характеристическим многочленом оператора или матрицы А, а урав-ие | |A - лямбдаЕ|= -характеристическим ур-ием оператора или матрицы А. Характеристический многочлен линейного оператора не зависит от выбора базиса. Матрица оператора в базисе,состоящем из его собственных векторов,является диагональной. Верно и обратное: если матрица А линейного оператора в некотором базисе является диагональной, то все векторы этого базиса-собственные векторы оператора . Если оператор имеет n попарно различных собственных значений,то отвечающие им собственные векторы линейно независимы , и матрица этого оператора в соответствующем базисе имеет диагональный вид. | | | №1. Матрицы, виды, действия с ними. Задачи. Матрицей размера mn назыв прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов. Числа составляющие матрицу назыв элементами матрицы. Их обозначают aij, где i-номер строки, а j-номер столбца. Виды матриц: Матрица, состоящая из одной строки, называется матрицей (вектором)-строкой, а из одного столбца-матрицей(вектором)-столбцом. А=(а11а12,..,а1n)-матрица-строка; В=b11 матрица-столбец. Матрица называется квадратной b21 n-го порядка,если число ее строк равно числу столб … и равно n. Элементы матрицы aij, у которых bm1 номер столбца равен номеру строки (i=j), называются диагональными и образуют главную диагональ матрицы. Для квадратной матрицы главную диагональ образуют элементы а11,а22,..аnn. Если все недиагональные элементы квадратной матрицы равны нулю,то матрица | называется диагональной. Если у диагональной матрицы n-го порядка все диагональные элементы равны единице, то матрица называется единичной матрицей n-го порядка, она обозначается буквой Е. Произведение матрицы А на число λ называется матрица В= λА, элементы которой bij=λ aij для i=1.2....m; j=1.2…n. Общий множитель всех элементов матрицы можно выносить за знак матрицы. Суммой двух матриц А и В одинакового размера mхn называется матрица С=А+В, элементы которой сij= aij+ bij для i=1.2....m, j=1.2…n(т.е матрицы складываются поэлементно). Разность двух матриц одинакового размера определяется через предыдущие операции: А-В=А+(-1) В. Умножение матрицы А на матрицу В определено, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй. Произведением матриц А mхk х B kхn называется такая матрица С mхn, каждый элемент которо | | №1. Матрицы, виды, действия с ними. Задачи. сij равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В: сi j = ai 1b1 j+ ai 2 b2 j+ ai k b k j, i=1.2....m, j=1.2…n. Свойства: 1)А+В=В+А 2)(А+В)+С=А+(В+С) 3) λ(А+В)= λА+ λВ 4)А(В+С)=АВ+АС 5)(А+В)С=АС+ВС 6) λ(АВ)=( λА)В=А(λВ) 7)А(ВС)=(АВ)С Целой положительной степенью Аm (m>1) квадратной матрицы А называется произведение m матриц, равных А. Транспонирование матрицы-переход от матрицы А к матрицы А’ или Ат, в которой строки и столбцы поменялись местами с сохранением порядка. Свойства: 1)(А’)’=А 2)( λА)’=λ А’ 3)(А+В)’ = А’+В’ 4)(АВ)’= В’ А’ Задача: | Найти произведение матриц А =  и В =  . АВ = =  . | | №2.Определители квадратных матриц. Св-ва опр. Миноры и алгеб дополнения. Методы вычисления опр. Элемент а11 называется опред-ем 1-го порядка. Опр 2-го порядка назыв число, которое вычисляется по формуле: а11а22- а12 а21. Опр 3-го порядка назыв число, которое вычисляется по формуле: а11 а22 а33+ а12 а23 а31+ а21 а32 а13- а31 а22 а13- а12 а21 а33- а32 а23 а11. Опр квадратной матрицы n-го порядка, назыв число, равное алгебр-ой сумме n членов, каждый из которых явл произведением n элементов матрицы, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца, причем знак каждого члена опред-ется как (-1)r(j) , где r(j)-число инверсий в перестановке j из номеров столбцов элементов матрицы, если при этом номера строк записаны в порядке возрастания: (инверсия в перестановке j это наличие пары чисел, в которой большее число предшествует меньшему). | ׀А׀=׀ а11 а12… а1n׀=∑j(-1) r(j) а1j1 х а2j2 х .. аnjn. Минором Мi j ׀ а21 а22… а2n׀ элемента аij матрицы n-го порядка назы׀ аn1 аn2… аnn׀ определитель матрицы (n-1)-го порядка, полученной из матрицы А вычеркиванием i-й строки и j-го столбца. Алгебраическим дополнением Аi j элемента аij матрицы n-го порядка назыв его минор, взятый со знаком (-1) i+j . Теорема Лапласа. Определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов любой строки(столбца) на их алгебраические дополнения: ׀А׀= аi1А i1+ аi2А i2+ аin А in (разложение по элементам i-й строки; i=1.2.... n. Свойства опред: 1)Если какая-либо строка(столбец) матрицы состоит из одних нулей, то ее определитель равен 0. 2)Если все элементы какой-либо строки(столбца) матрицы умножить на число λ, то ее опред умножится на это число λ. 3)При транспонирова- нии матрицы ее опред не изменяется:׀А’׀= ׀А׀. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| №2.Определители квадратных матриц. 4)При перестановке двух строк(столбцов) матрицы ее опред меняет знак на противоположный. 5)Если квадратная матрица содержит две одинаковые строки (столбца), то ее определитель равен 0. 6)Если элементы двух строк (столбцов) матрицы пропорциональны, то ее опред равен 0. 7)Сумма произведений элементов какой-либо строки(столбца) матрицы на алгебр дополнения элементов другой строки (столбца) этой матрицы равна 0, т.е ∑ nS=1 аisАjs=0, при i не равное j. 8)Опред матрицы не изменится, если к элементам какой-либо строки (столбца) матрицы прибавить элементы другой строки(столбца), предварительно умноженные на одно и то же число. 9)Сумма произведений произвольных чисел b1, b2, … bn на алгебр дополнения элементов любой строки(столбца) равна опред матрицы, полученной из данной заменой элементов этой строки | (столбца) на числа b1, b2, … bn. 10)Опред произведения двух квадратных матриц равен произведению их опред: ׀С׀= ׀А׀x׀В׀ где С=АхВ, А и В-матрицы n-го порядка. |
| №3.Обратная матрица. Критерии существования обр матрицы. Алгоритм вычислен обр матр. Матрица А-1называется обратной по отношению к квадратной матрице А, если при умножении этой матрицы на данную как справа, так и слева получается единичная матрица: А-1хА=Ах А-1=Е. Необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы. Обратная матрица А-1 существует( и единственна) тогда и только тогда, когда исходная матрица невырожденная. Невырожденной матрицей назыв матрица если ее определитель отличен от нуля. Алгоритм вычисления обратной матрицы. 1)Находим опред исходной матрицы. Если опред=0, то матрица А- вырожденная и обратной матрицы А-1 не существует. Если опред не равен нулю, то матрица А-невырожденная и обратн матрица существует. 2)Находим матрицу А’ транспонированную к А. | 3)Находим алгебраические дополнения элементов транспонированной матрицы А’ij=Аji (i=1.2…n; j=1.2…n) и составляем из них присоединенную матрицу А : aij =А’ij = Аji (i=1.2…n; j=1.2…n). 4)Вычисляем обратную матрицу по формуле А-1 =1/ ׀А׀x А 5)Проверяем правильность вычисления обратной матрицы А-1 , исходя из ее определения А-1хА= Е |
| №6. Определение геометрического вектора. Нулевой, противоположный вектор, коллинеарные и компланарные векторы. Равенство векторов. Действия с векторами. Направленный отрезок принято назыв геометрич вектором. Если начало и конец вектора совпадают, то такой вектор называют нулевым. Противо-ным вектором –а назыв произведение вектора а на число (-1). Колли-рными назыв векторы лежащие на одной прямой или на параллельных прямых,. Свойства колин: 1)нулевой вектор колинеар любому вектору. 2)Скалярное произ-е колли-ых векторов ахв=+-ав равно произведению длин векторов (взятых со знаком – если противо-но направ). 3)Векторное произведение векторов [ав]=0 4)Колл-ные векторы линейно зависимы. Т е сущ число λ такое, что а= λв, если в не равно о. 5)На пл-ти неколлинеарные векторы образуют базис с=х1а+х2в, (х1,х2)-координаты | с в данном базисе. Векторы назыв компланарными, если при откладывании их от одной и той же точки они будут лежать в одной плоскости. Признак компл: если вектор с можно разложить по векторам а и в, т е представить в виде с=ха+ув, где х и у некоторые числа, то векторы а, в и с комплан. Св-ва компл: 1)Тройка векторов, содерж-ая пару колинеарн векторов компл-на. 2)Смеш-ое произведение компланар векторов =0. Вект назыв равными, если они имеют одинаковые длины, лежат на пара-ых прямых или на одной прямой и направлены в одну сторону. Суммой двух векторов а и в назыв вектор с=а+в, начало которого совпадает с началом вектором а, а конец с концом вектора в при условии, что начало вектора в совпадает с концом вектора а.Ели векторы а и в приведены к общему началу и на них построен пара-амм, то сумма а+в есть вектор, совпадающий с диагональю этого парал-ма. |
| №15.Опр скал-ого произв-я. Его св-ва. Вывод формулы скал пр. Признак ортогональности векторов. Ортог проекция вект-а на ось. Вычисление угла между векторами. Число равное произведению модулей векторов на косинус угла между ними назыв скаляр произ-ие двух вект-ов. Св-ва: 1)аха≥0, аха>0 при Ане равном о. 2)ахв=вха(переем закон) 3)(kха)хв=k(ахв)(сочет-й закон). 4)(а+в)хс=ахс+вхс(распред-й закон). Вывод формулы скал пр: Дано а и в не равн о и не коллинеарные. Тогда в+с=а, с др стороны с=а-в. По теореме косинусов с2 =а2 +в2 -2ав cosi. (а-в) 2 = а2 +в2 -2ав. 2ав= а2 +в2-(а-в) 2 . ав=1/2(а2 +в2-(а-в) 2). а-в (х1-х2;у1-у2;z1-z2) ׀а׀ =√х12+у12+ z12 ׀в׀ =√х22+у22+ z22 (а-в)= √(х1-х2) 2+(у1-у2) 2+(z1-z2) 2 –х1+2х1х2+х2. ахв=1/2(х12 +у12 +х22 +у22 +z12 +z22 – (х1-х2) 2 -(у1-у2)2 –(z1-z2) 2 | Ахв=1/2(2х1х2+2у1у2+2 z1z2) ахв=х1х2+у1ху2+ z1хz2. Если скалярное произвед равно о, то векторы ортогональны. Угол между векторами а(х1,у1, z1) и в(х2,у2,z2) вычисляется по формуле cosi.=ав/ ׀а׀ ׀в׀. прхS=х cosα+уcosβ+ zcosγ-проекция произвольного вектора на ось. |
| №16.Правые и левые тройки геометр-их вект-ов. Опред вектор-ого произв-я.Его св-ва.Признак коллин-сти. Тройка некомпланарных векторов а,в,с назыв правой, если ее векторы, приведены к общему началу и располагаются в порядке нумерации аналогично тому, как расположен большой, указательный и средний пальцы правой руки. Если векторы а,в,с расположены анологично тому, как расположены большой, указательный и средний пальцы левой руки, то тройка этих векторов называется левой. Векторным произведением вектора а на вектор в называется вектор, обозначаемый символом [ав] и определяемый следующими тремя условиями: 1)модуль вектора [ав] равен / ׀а׀ ׀в׀ sinα, где α-угол между векторами а и в 2)вектор [ав] перпендикулярен к каждому из векторов а | и в 3)направление вектора [ав] соответствует правилу правой руки. (т е если векторы приведены к общему началу. То вектор [ав] должен быть направлен так, как направлен средний палец правой руки, большой палец-а, а указательный в. Св-ва: 1)векторное произведение зависит от порядка сомножителей: [ав]=- [ва] 2)модуль векторного произведения равен площади пар-ма, построенного на векторах а и в. 3)векторное произведение превращается в нуль, если векторы а и в коллинеарные. 4)векторное произведение при а(х1,у1,z1) и в(х2,у2,z 2)может быть вычислено по формуле: [ав]=i j k х1у1z1 х2у2z 2 Признакjv коллин-сти 2-х векторов а(х1,у1, z1) и в(х2,у2,z2) явл пропорциональность их координат: х2/х1=у2/у1=z2/ z1. |
| №17.Определение смешанного произведения трех векторов. Его св-ва. Признак компланарности 3 векторов. Нахождение объема тетраэдра. Число равное векторному произведению [ав] умноженному скалярно на вектор с назыв смешанным произведением. Св-ва: 1)авс=[ав]с 2)смешанное произведение авс равно объему параллелепипеда, построенного на векторах а в с, взятому со знаком +, если тройка а в с правая и со знаком -, если эта тройка левая. 3)если векторы а,в,с компланарны, то смешанное произведение а,в,с=о. 4)авс= х1у1z1 где а(х1,у1, z1) х2у2z2 в(х2,у2,z2 х3у3z3 с(х3,у3,z3) Признак компл: если вектор с можно разложить по векторам а и в, т е представить в виде с=ха+ув, где х и у некоторые числа, то векторы а, в и с комплан. | |
| №18.Общее уравнение прямой и его исследование. Уравнение вида Ах+Ву+С=0 назыв общим уравнением прямой. К(угловой коэф-ент-тангенс угла наклона прямой к Ох)=-А/В. Рассмотр-им уравнение первой степени с двумя переменными в общем виде, в котором коэф-ты А и В не равны одновременно нулю, т е А2 +В2 не равно о. 1)Пусть В не равно о. Тогда уравнение общее можно записать в виде у=-А/Вх-С/В. Обозначим к=-А/В, в= С/В. Если А и С не равны о, то получим у=кх+в(уравн прям с угловым коэф-ом). Если А не равно о, а С равно, то у=кх(уравнение прямой проходя-ей через начало коорди-ат). Если А=о, а С не равно о, то у=в(уравнение прямой, парал-ой Оу). Если А=0, С=0, то у+0(уравнение Ох). 2)Пусть В=о, А не равно о. Тогда уравнение общее примет вид х=-С/А. Обозначим а=-С/А. Если С не равно о, то получим х=а(уравнение | Прямой, парал-ой Оу). Если С=0, то х=0(уравнение Оу). Т.е при любых значениях коэффиентов А, В(не равных одновременно нулю) и С уравнение есть уравнение некоторой прямой линии на плоскости Оху. Уравнение у=кх+в назыв уравнением прямой с угловым коэф-от. Где к-угловой коэф-ент, в-величина отрезка, который отсекает прямая на Оу, считая от начала координат. Рисунок. Пусть прямая пересекает Оу в точке В(0,в) и образует с Ох угол α (0< α <п/2). Возьмем на прямой произвольную точку М(х,у). Тогда тангенс угла α наклона прямой найдем из прямоугольного треугольника MBN: tg α= MN/NB=у-в /х. Введем угловой коэф-ент прямой к= tgα, получим к=у-в/х. у=кх+в. Формула остается справедливой и для случая п/2< α<п. Частные случаи: 1)Если в=о, то получаем у=кх- уравнение прямой, проходящей через начало координат и образующей при к= tgα>0 острый |
| №18.Уравнением прямой с угловым коэф-от.  угол α с осью Ох, а при к= tgα<0 –тупой угол. В частности, уравнение биссектрисы 1 и 3 коорд-ых углов имеет вид у=х (так как к= tgП/4=1), а уравнение биссектрисы 2 и 4 координат-ых углов у=-х(к= tg 3П/4=-1). 2)Если α=0, то к= tg0=0, и уравнение прямой, параллельной Ох, имеет вид у=в, а самой оси Ох- вид у=0. 3)Если α=П/2, то прямая перпендикулярна Ох и к= tg П/2 не существует, т е вертикальная прямая не имеет углового коэф-ента. Предположим, что эта прямая отсекает на оси Ох отрезок, равный а. Очевидно, что уравнение такой прямой х=а (так как абцисса любой точки прямой равна а), а уравнение Оу есть х=0. | Уравнение прямой в отрезках. Н  айдем уравнение прямой по заданным отрезкам а и в не равной 0, отсекаемым на осях координат. Используя уравнение прямой, проходящей через точки А(а;0) и В(0;в), примет вид у-о/в-0 = х-а/0-а или после преобразований х/а+у/в=1-уравнение прямой в отрезках. У   равнение прямой, проходящей через две данные точки. Пусть даны две точки М1(х1;у1) и - М2(х2;у2) и х1не равен х2, у1 не равен у2. -- Для составления уравнения пучка прямых, - проходящ-их через точку М1: у-у1=к(х-х1) - Т.к точка М2(х2,у2) лежит на данной -- - прямой, то чтобы выделить ее из пучка, подставим координаты точки М2 в уравнение пучка у2-у1=к(х2-х1) и найдем угловой коэф-ент прямой к=у2-у1/х2-х1. Теперь уравнение искомой |
| №18. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки. Искомой прямой примет вид у-у1=у2-у1/х2-х1 (х-х1) или у-у1/у2-у1=х-х1/х2-х1. Взаимное расположение прямых на плоскости. L1: А1х+В1у+С1=0 L2: А2х+В2у+С2=0 1)Когда прямые пар-ны. L1 ׀׀ L2 следовательно А1/А2=В1/В2не равное С1/С2. Если будет равенство то прямые совпадут. 2) L1 перпендикулярна L2(скалярное произв =о), следовательно А1А2+В1В2=0. Если у=к1х+в1 у=к2х+в2 к1= к2-прямые пар-ны (L1 ׀׀ L2). Если L1перпенд-на L2 следоват к1к2=-1. Угол между прямыми. Пусть заданы две прямые у=к1х+в1 у=к2х+в2 и требуетвся определить угол φ между ними. φ=α2-α1, причем к1= tg α1, к2= tg α2, α1не равно П/2, α2 не равно П/2. Тогда tg φ= tg(α2- α1)= tg α2- tg α1/1+ tg α1 tg α2 или tg φ=к2-к1/1+к1к2. где угол φ получается поворотом прямой к | Прямой  против часовой стрелки.  Условия пар-сти и перпендикулярности прямых. Если прямые у=к1х+в1 и у=к2х+в2 пар-ны, то угол φ=0 и tg φ=0, откуда из формулы tg φ=к2-к1/1+к1к2 следует к1=к2. И наоборот, если к1=к2, то по формуле tg φ=к2-к1/1+к1к2 tg φ=0 и φ=0. Т.е равенство угловых коэфиц-ов явл необходимым и достаточным условием параллельности двух прямых. Для перпендикулярности прямых необходимо и достаточно, чтобы их угловые коэффициенты были обратны по величине и противоположны по знаку. Условием параллельности прямых, заданных общими уравнениями, явл пропорциональность коэффициентов при переменных. (А1/А2=В1/В2). Условием перпендикулярности двух прямых, заданных |
| №  18,Общими уравнениями, явл равенство нулю суммы произведений коэф-ов при переменны х и у. (А1А2+В1В2=0). Расстояние от точки до прямой. Пусть даны точка М(х0;у0) и прямая Ах+Ву+С=0. Под расстоянием от точки М до прямой АВ понимается длина перпендикулярна d=MN, опущенного из точки М на прямую АВ. Для опред-я расстояния d необходимо: а)составить уравнение прямой MN, перпендикулярной данной и проходящей через М0(х0,у0) б)найти точку N(х1,у1) пересечения прямых, решив систему уравнений этих прямых в) по формуле d=√ ׀АВ׀2 = √(х2-х1) 2 +(у2-у1) 2 . определить расстояние между двумя точками, т е найти d= MN. В результате преобразования получим d=׀Ах0+Ву0+С׀ / √А2+В2 . Нормальный вектор-это | любой не нулевой вектор перпендикулярный данной прямой. Направляющий вектор- это любой не нулевой вектор парал-ый данной прямой. Каноническое уравнение х-х0/m=y-y0/n. Параметрическое уравнение х-х0/m=y-y0/n=t. Нормальное уравнение прямой на плоскости: хcosα+уcosβ-р=0 при р>0 |
| №4. Умножение матриц. Транспонирование произведения матриц. Св-ва опред-ля от произведения матриц. Умножение матрицы А на матрицу В определено, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй. Произведением матриц А mхk х B kхn называется такая матрица С mхn, каждый элемент которой сij равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В: сi j = ai 1b1 j+ ai 2 b2 j+ ai k b k j, i=1.2....m, j=1.2…n. Свойства: 1)А+В=В+А 2)(А+В)+С=А+(В+С) 3) λ(А+В)= λА+ λВ 4)А(В+С)=АВ+АС 5)(А+В)С=АС+ВС 6) λ(АВ)=( λА)В=А(λВ) 7)А(ВС)=(АВ)С Транспонирование матрицы-переход от матрицы А к матрицы А’ или Ат, в которой строки и столбцы поменялись местами с сохранением порядка. Свойства: 1)(А’)’=А 2)( λА)’=λ | А’ 3)(А+В)’ = А’+В’ 4)(АВ)’= В’ А’ |
| №5. Решение СЛАУ с помощью обратной матрицы. Д  ля получения системы при m=n в общем виде предположи,что квадратн.матрица системы An*m невырожденная,т.е.её определитьель |A|=0.В этом случае существ.обратная матрица. Умножая слева обе части матричного равенства на матрицу обратную,получим … | |