A. A. Abduganiev 1 Математические молдели и алгоритмы оптималъное управления канклов ирригационных систем, учитывающие дискретностъ водоподачи

• Название: A. A. Abduganiev 1 Математические молдели и алгоритмы оптималъное управления канклов ирригационных систем, учитывающие дискретностъ водоподачи
• Дата: 02.02.2021
• Размер: 235.73 Kb.
• Имя файла: Abduganiev maqola.docx
• Тип: Документы; #173274

^УДК: 517.977.5.5.32.5.631.67

A.A.Abduganiev ¹
Математические молдели и алгоритмы оптималъное управления канклов ирригационных систем, учитывающие дискретностъ водоподачи.


Mathematical models and optimal control algorithms for channels of irrigation systems, taking into account the discreteness of water supply
Abstract

The object of research was selected section of the southern golodnostep main canal, located in the North-East of the Republic of Uzbekistan. In recent years, scientific research has been carried out in many countries around the world, aimed at developing mathematical models and algorithms for solving problems of optimal management of water management systems, with the use of modern information systems. Methods of mathematical modeling and algorithmization of optimal control problems for systems with distributed parameters, what is considered the main channel. Optimal changes in water consumption over time and along the length of the main channel section are obtained, opening its gates allows you to increase the amount of water flow along the length of the site. During t=34,7 min. the water flow rate at the end of the main channel section reaches a value of Q=100 m³/sec and stabilization , which important for canals and water gates .

KEYWORDS: optimal control, information systems, numerical methods, channels, water distribution, discrete water supply.

1. 
   Введение
   

В нашей республике в настоящее время проводятся мероприятия по решению проблемы доставки воды потребителям, которую необходимо решить. Актуальность этой проблемы для каналов ирригационных систем заключается в экономии водных ресурсов оптимальным управлением процессом доставки воды потребителям обеспечении водой определенного потребителя в установленное время. Этой проблеме в народном хозяйстве республики уделяется большое внимание.

Рассмотрим участок канала (рис. 1., a, b), имеющий пять водозаборов. Задачу распределения воды с учетом дискретности водоподачи рассмотрим, как обеспечение в момент времени Т для каждого водозабора подачу расхода воды q_i, т.е. ступенчатое изменение расхода воды, при минимальном колебании уровня воды на участке канала [1, 2].













0

x


a)



b)

Рис. 1. Дискретная водоподача на участках канала

2. 
   Методы
   

Модель прямой волны. Рассмотрим модельную постановку задач распределения воды на данном участке канала, учитывающую дискретность водоподачи при учете только запаздывания распространения расхода воды по длине канала [2,3].

Дискретность расхода воды сформулируем с помощи дискретной единичной функции .

В качестве математической модели участка канала рассмотрено одномерное дифференциальное уравнение в виде

(1)

где изменение расхода воды в участке канала, скорость потока.

Начальное условие

, (2)

где начальное распределения расхода воды в участке канала.

Граничное условие

(3)

где изменение расхода воды в начале участке канала.

Область определения переменных

(4)

Расходы воды в точках водозабора участка канала в условиях дискретности распределения воды имеют вид

. (5)

Уравнение (5) учитывает основное свойства ирригационного канала, как запаздывание расхода воды по длине канала. Изменение расхода воды, в начальном створе участка канала приводит к его изменению в других створах участка канала через определенное его времени, это и есть запаздывание. Чем дальше рассматриваемый створ от начального створа, тем больше запаздывание расхода воды.

Фундаментальное решение уравнения (1) - функция Грина имеет вид [4,5,6]

, (6)

где дельта-функция Дирака.

Аналитическое решение уравнения (1) при наличии его фундаментального решения определяется следующим образом

, (7)

где стандартизирующая функция для краевой задачи (1)–(4), которая имеет вид [7]

. (8)

Рассмотрим свойства решения уравнения (1). Изменение расхода воды в начале участка канала при нулевых начальных условиях распространяется со скоростью по длине канала. Фронт волны в данном случае не меняется по длине.

Модель кинематической волны. Уравнение кинематической волны в случае наличия боковых отводов записывается следующим образом [8]

(9)

Здесь изменение расхода воды на участке канала, – скорость движения потока.

Начальные условия

(10)

где начальное распределения расхода воды на участке канала.

Граничное условие:

(11)

где изменение расхода воды в начале участка канала.

Область определения переменных

(12)

Расходы воды в точках водозабора участка канала в условиях дискретности распределения воды имеет вид [1,9]

. (13)

Уравнение (9) учитывает основные свойства ирригационного канала, как запаздывание и трансформация расхода воды по длине канала. В данном случае расход воды, измененный в начальном створе участка канала, приводит к изменению расхода воды на других створах участка канала через определенное время, это называется запаздывание, которое постепенно изменяется по времени.



Рис. 2. Распространение прямоугольной волны по длине канала

Конвекционно-диффузная модель основывается на пренебрежение инерционных членов уравнений и имеет вид [10,11]

, (14)

где модуль расхода.

Модуль расхода характеризует величину сил трения и определяется по следующей известной формуле



где гидравлический радиус русла; смоченный периметр русла; коэффициент Шези.

Для определения коэффициента Шези существует целая серия эмпирических формул. В качестве одной из них может быть принята формула Павловского [1,12,13]

(15)

где коэффициент шероховатости канала.

Начальное условие

(16)

где начальное распределения расхода воды на участке канала.

Граничное условие

(17)

где изменение расхода воды в начале участка канала.

Область определения переменных

(18)

Расходы воды в точках водозабора участка канала в условиях дискретности распределения воды

. (19)

Характеристическая форма уравнений (1) имеет вид [7,14]

(20)

Здесь .

Начальные условия задаются в виде

(21)

где известные функции.

Граничные условия в точках и записываются следующим образом

(22)

Расходы воды в точках водозабора участка канала, правая часть уравнения (1) в условиях дискретности распределения воды, имеет вид [2,15]

. (23)

В этих моделях аналитическое решение уравнений (9), (14) и (20) при указанных краевых условиях отсутствует, так как гидравлические параметры потока воды представляет собой нелинейную функцию, зависящую от формы поперечного сечения участка канала.

Из выражения боковых водозаборов (23) видно, что потребителям обеспечивается дискретная водоподача во времени в виде ступенчатой функции. При ступенчатых функциях для решения задачи оптимального управления распределением воды необходимо сформулировать критерии качества распределения воды в каналах ирригационных систем в условиях дискретности водоподачи потребителям и систему ограничений.

Ниже проанализируем методы, использующие необходимые условия оптимальности для задач оптимального распределение воды в ирригационных системах в условиях оптимальности водоподачи.

Градиентный метод минимизации применяется для приближенного решения задачи [16,17]

, (24)

где H – гильбертово пространство, основан на построении минимизируюшей последовательности, которую можно записать в виде

(25)

где некоторое заданное начальное значение управляющего воздействия, положительная величина, градиент функционала, рассчитанный по известному значению . Если , то можно выбрать так, чтобы .

Из условии дважды дифференцируемости критерия оптимальности, имеем

(26)

При всех достаточно малых , если , то процесс(26)прекращается при удовлетворении заданной точности задачи и при необходимости проводится дополнительные исследования поведении функции в окрестности управления для выяснения того будет ли принадлежать к оптимальному управлению или нет. Так как для задач оптимального распределение воды в ирригационных системах в условиях оптимальности водоподачи все критерии оптимальности явлются выпуклыми функциями, поэтому в полученное управление является близкими к оптимальному управлению.

Существует различные способы выбора величины . Перечислим некоторые из них [18,19].

1) выбирается из условия

(27)

этот вариант градиентного метода принято называть методом наискорейшего спуска.

Точное определение величины из (27) не всегда возможно поэтому на практике вместо (28) пользуется условием

, (28)

или

, (29)

Величины λ_m, δ_mздесь характеризуют погрешность выполнения условия (29).

2) полагают , затем проверяют условие монотонности и при необходимости дробят величину , добиваясь выполнения условия монотонности.

3) иногда определяет из условий

, (30)

где константа Липшица положительные числа, являющиеся параметрами метода.

4) возможен выбор из условия

(31)

для определения такого обычно задают и затемего дробят до тех пор, пока не выполнится выписанное неравенства.

5) возможно априорное задание величин α_mиз условий

(32)

Например, можно принять . Такой выбор прост для реализации, но не гарантирует условия выполнения монотонности и сходится медленно.

6) в тех случаях, когда заранее известна величина можно принять

(33)

На практике для итерационных методов, итерации продолжают до тех пор пока не выполнится какой либо условия, т.е. критерий окончания счета. Здесь возможно использования таких критериев окончания счета как

(34)

где и – заданные числа. Иногда задают число итераций.

Метод проекции градиента применяется для приближенного решения задачи (1), (2) и (3) в случае наложение ограничения на управляющие функции, т.е. [20]

, (35)

где выпуклое замкнутое множествоизгильбертова пространства .

Минимизирующая последовательность решения задачи оптимизации на основе метода проекции градиента строится по правилу

(36)

где оператор проектирования в области управления.

Проекция на множество определяется следующим образом

(37)

Выражение (37) означает, что если вычисленное значение управления принадлежит к множеству , то принимается значение вычисленного управления. Если вычисленное значение управления выходит не принадлежит к множеству , то берется близкие значения множества . Данный метод удобен, когда имеется формула для проекции управления на множество ограничений [21].

В случае, если

, (38)

то оператор проектирования определяется следующим образом

(39)

При удовлетворении заданной точности задачи и при необходимости проводятся дополнительные исследования поведении функции в окрестности управления для выяснения того, что будет ли принадлежать к оптимальному управлению.

Для модели прямой волны применим метода проекция градиента.

(40)

(41)

Здесь λ(x,t) – сопряженная переменная, определяемая решением сопряженной краевой задачи для модели кинематической волны.

Необходимо отметить, что краевая задача для основных переменных для упрощенной модели решается в прямом времени, а краевая задача для сопряженных переменных – в обратном. Указанные краевые задачи решаются численными методами, например, конечно-разностными или конечными элементами [6,7]. При хорошем выборе начального условия и начальных управлений предложенный алгоритм быстро сходится. Начальные управления выбираются из решения задачи оптимального распределения воды в условиях оптимальности водоподачи между потребителями полученных с использованием упрощенных моделей неустановившегося движения воды на участках канала [1], а начальные условия определяются из решения установившегося движения воды на участках канала.

Оптимальное распределение воды в ирригационных системах в условиях оптимальности водоподачи формулируется как задача оптимального управления системами с распределенными параметрами [4, 11].

Оптимальное управление неустановившемся движением воды в каналах ирригационных систем апробировано на примере участка Южного Голодностепского магистрального канала (ЮГМК), который находится в Сырдарьинской и Джиззакской областях на северо-востоке Республики Узбекистан.

Гидравлические и морфометрические параметры участка ЮГМК следующие: расход воды в на участке канала =101 м³/с; глубина потока воды на этом участке канала =5,05 м; гравитационная постоянная g=9,8 м/с^2; коэффициент Шези y=1/6; длина участка канала =17,7 км; уклон дна канала =0,00006; ширина потока воды на дне живого сечения канала =39,4 м; скорость течения воды =0,85 м²/с; коэффициент полезного действия КПД=0,9.



Рис.3. Изменение расхода воды во времени и по длине участка магистрального канала.

Из рисунка видно, что, после открытия затворов увеличенный расход в начале участка канала позволяет повысить расход воды по длине указанного участка магистрального канала. В течение t = 20 823 с (34,7 мин.) расход воды в конце участка увеличивается до Q=100 м³/с стабилизируется.

Полученные результаты численных экспериментов показывают, что расход воды в конце участка канала стабилизируется, что необходимо для находящегося там водозаборов из канала.

Сравнение результатов численных экспериментов и натурных исследований, проведённых в этом участке магистрального канала показывает, что параметры уровня воды в них отличаются незначительно, их погрешность составляет не более 3-5%, это имеют большое значения в народном хозяйстве.
Список использованнОЙ ЛЕТИРАТУРЫ

1. 
   Рахимов Ш.Х., Бегимов И., Гаффаров Х.Ш., Сейтов А.Ж. Теория оптимального управления распределением воды в каналах ирригационных систем в условиях дискретности водоподачи потребителям. Монография. Изд-во ООО «Белгим», Ташкент, 2017 с. 169.
   
2. 
   Рахимов Ш.Х., Гаффаров Х.Ш., Сейтов А.Ж.. Алгоритмы оптимального управления распределением воды в каналах ирригационных систем в условиях дискретности водоподачи потребителям, //Мелиорация и водное хозяйство РФ, 2016, №6, С. 6-10.
   
3. 
   Рахимов Ш.Х., Сейтов А.Ж., Математические модели каскада насосных станций Каршинского магистрального канала. Проблемы информатики и энергетики. Ташкент, 2017 №5, с.13-20.
   
4. 
   Рахимов Ш.Х., Сейтов А.Ж., Математические модели водоподачи куюмазарской насосной станции с водохранилищем сезонного регулирования. Проблемы информатики и энергетики. Ташкент, 2017 №6, с.22-28.
   
5. 
   Грушевский М.С Неустановившееся движение воды в реках и каналах. Л.: Гидрометеоиздат, 1982. – 288 с.
   
6. 
   Денисов Ю.М. Математическое моделирование процесса стока в горных реках // Сборник науч. тр.  Ташкент: САНИИРИ, 1968, №39, С. 30 36.
   
7. 
   Kuchmend L.S., Singh V.P. Hydrological system modeling// vol. 1. EOLSS Publications. Oxford, United Kingdom. p.209, 2009
   
8. 
   Калинин Г.П., Милюков П.П. Приближённый расчет неустановившегося движения водных масс // Труды ЦИП, 1958, № 66. – 72 с.
   
9. 
   Кюнж Ж.А., Холли Ф.М., Вервей А. Численные методы в задачах речной гидравлики.  М.: Энергоатомиздат, 1985. 253 с.
   
10. 
    Dooge, J.C.I. Linear theory of hydrologic systems EGU Reprint Series, European Geosciences Union. pp.1-327 2003
    
11. 
    Атавин А.А., Васильев О.Ф., Воеводин А.Ф., Шугрин С.М. Численные методы решения одномерных задач гидравлики // Водные ресурсы, 1983, № 4, С. 3847.
    
12. 
    Воеводин А.Ф., Шугрин С.М. Численные методы расчета одномерных систем. Новосибирк: Наука, 1981. – 208 с.
    
13. 
    Христианович С.А. Некоторые вопросы механики сплошной среды.  М.: Издво РАН, 1938. – 407 с.
    
14. 
    Картвелишвили Н.А. Регулирование речного стока. – Л.: Гидрометеоиздат, 1970. –218 с.
    
15. 
    Картвелишвили Н.А. Неустановившиеся открытые потоки.Л.: Гидрометеоиздат, 1968. – 125 с.
    
16. 
    Маковский Э.Э. Автоматизация гидротехнических сооружений в системах каскадного регулирования расходов воды. – Фрунзе: Илим, 1972. – 302 с.
    
17. 
    Куротченко В.И. Принципы построения средств централизованного управления процессом водораспределения .- Фрунзе: Илим, 1979. – 272 с.
    
18. 
    Куротченко В.И. Централизованное автоматическое управление водораспределением. – Фрунзе: Илим, 1983. – 288 с.
    
19. 
    Математическое моделирование в гидрологии. В кн. Обзорная информация. Сер. гидрология суши, вып. 1, Обнинск, 1979. 467 с.
    
20. 
    Shashkin V. Y. Mathematical modeling of fluid flow in complex multi-channel structures// IOP Conf. Series: Earth and Environmental Science 87 (2017)
    
21. 
    Ates S Hydraulic modelling of closed pipes in loop equations of water distribution networks Applied Mathematical Modelling №40 pp.966-983. 2016.
    

1^ Tashkent Institute of Irrigation and Agricultural Mechanization Engineers, 100000, Tashkent, Uzbekistan,

e-mail: [e-mail]