сборник. Сборник творческойгруппы. Администрация департамент образования

• Название: Администрация департамент образования
• Анкор: сборник
• Дата: 04.04.2022
• Размер: 3.12 Mb.
• Имя файла: Сборник творческойгруппы.docx
• Тип: Документы; #442201
• страница: 4 из 5

1.





2.





Нам надо, чтобы было нечетное число корней. Первое уравнение одно решение . Второе давать 3 решения на периоде (это становится понятным, если посмотреть на слагаемое )

Таким образом, нечетное число корней (а точнее – 3 корня) будет если одно из решений второго уравнения совпадает с или попадает в точку π, т.е. не входит в рассматриваемый промежуток.

Рассмотрим эти случаи.

1. ;

Тогда:

Но при а=1 u=0, а это невозможно.
2. ;

Тогда:



а)



б)



в)



Т.о.

Ответ:
Пример 14. Найти все значения параметра а, при которых система

имеет хотя бы одно решение. Найдите эти решения.
Решение.

Преобразуем первое уравнение:





Наименьшее значение выражения, стоящего в правой части равно 169. Оценим левую часть, воспользуемся неравенством Коши-Буняковского:



Тогда:



Найдем при каких а, х, у правая и левая часть достигают своих наибольшего и наименьшего значения соответственно:



Ответ:

Пример 15. При каких значениях а уравнение имеет хотя бы одно решение?
Решение.

Воспользуемся формулой понижения степени cos:

cos₂α = (1 + cos 2α) / 2





Выполним оценку. Так как (парабола ветви вниз, вершина х_в=1), то




Значит:






Ответ:
Литература.

1. 
   Высоцкий В. С. Задачи с параметрами при подготовке к ЕГЭ. – М.: Научный мир, 2011. – 316 с.
   
2. 
   П.И.Горнштейн, В.Б.Полонский, М.С.Якир. Задачи с параметрами. «Гимназия». Москва-Харьков. 2003 г.
   
3. 
   Задачи с параметрами.- Координатно-параметрический метод.- Учебное пособие /В.П. Моденов. - М.:Издательство "Экзамен", 2006.
   

Зарецкая И.Ф.

учитель математики

МБОУ СОШ

мкр. Вынгапуровский

Методические рекомендации при изучении тем.

1. 
   Линейные и квадратные уравнения
   

Линейное уравнение, записанное в общем виде, можно рассматривать как уравнение с параметрами: ах = b, где х – неизвестное, а, b – параметры. Для этого уравнения особым или контрольным значением параметра является то, при котором обращается в нуль коэффициент при неизвестном.

При решении линейного уравнения с параметром рассматриваются случаи, когда параметр равен своему особому значению и отличен от него.

Особым значением параметра а является значение а = 0. 

1. Если а ≠ 0 , то при любой паре параметров а и b оно имеет единственное решение х = .

2. Если а = 0, то уравнение принимает вид: 0 х = b. В этом случае значение b = 0 является особым значением параметра b.

2.1.    При b ≠ 0 уравнение решений не имеет.

2.2.    При b = 0 уравнение примет вид: 0 х = 0. Решением данного уравнения является любое действительное число.

Пример1. Решить уравнение

2а(а — 2) х = а — 2. (1)

Решение. Здесь контрольными будут те значения параметра, при которых коэффициент при х обращается в 0. Такими значениями являются а=0 и а=2. При этих значениях а невозможно деление обеих частей уравнения на коэффициент при х. В то же время при значениях параметра а≠0, а≠2 это деление возможно. Таким образом, целесообразно множество всех действительных значений параметра разбить на подмножества

A₁={0}, А₂={2} и А₃= {а≠0, а≠2}

и решить уравнение (1) на каждом из этих подмножеств, т. е. решить уравнение (1) как семейство уравнений, получающихся из него при следующих значениях параметра:

1) а=0 ; 2) а=2 ; 3) а≠0, а≠2.

Рассмотрим эти случаи. 

1) При а=0уравнение (1) принимает вид 0 х = - 2. Это уравнение не имеет корней.

2) При а=2уравнение (1) принимает вид 0 х=0. Корнем этого уравнения является любое действительное число.

3) При а≠0, а≠2 из уравнения (1) получаем, х = , откуда х = .

0твет: 1) Если а=0,то корней нет;

 2) если а=2, то х – любое действительное число;

3) если а≠0, а≠2 , то х = .

Пример2. Решить уравнение

(а — 1) х²+2 (2а+1) х+(4а+3) =0; (2)

Решение. В данном случае контрольным является значение a=1. Дело в том, что при a=1 уравнение (2) является линейным, а при а≠ 1 оно квадратное (в этом и состоит качественное изменение уравнения). Значит, целесообразно рассмотреть уравнение (2) как семейство уравнений, получающихся из него при следующих значениях параметра: 1) а = l; 2) а≠1.

 

Рассмотрим эти случаи.

1) При a=1 уравнение (2) примет вид 6х+7=0. Из этого

уравнения находим х = - .

2) Из множества значений параметра а ≠ 1 выделим те значения, при которых дискриминант уравнения (2) обращается в 0.

Дело в том, что если дискриминант D=0 при а=а_о, то при переходе значения D через точку а_одискриминант может изменить знак (например, при а<а_оD< 0, а при а>а_оD>0). Вместе с этим при переходе через точку а_о меняется и число действительных корней квадратного уравнения (в нашем примере при а<а_окорней нет, так как D< 0, а при а>а_оD>0 уравнение имеет два корня). Значит, можно говорить о качественном изменении уравнения. Поэтому значения параметра, при которых обращается в 0 дискриминант квадратного уравнения, также относят к контрольным значениям.

Составим дискриминант уравнения (2):

=(2а+ l)² — (а — 1) (4а+3). После упрощений получаем = 5а+4.

Из уравнения = 0 находим а = - — второе контрольное значение параметра а. При этом если а <- , то D <0; если a≥- , то D≥0, a ≠ 1.Таким образом, осталось решить уравнение (2) в случае, когда а <- и в случае, когда { a≥- , a ≠ 1 }. Если а <- , то уравнение (2) не имеет действительных корней; если же

{ a≥- , a ≠ 1 }, то находим

Ответ: 1) если а <- , то корней нет; 2) если а = 1, то х = - ;

3) если a≥- , a ≠ 1, то .

2. Свойства квадратичной функции в задачах с параметрами.

При решении различных задач часто используются не только свойства квадратного уравнения, но и свойства квадратичной функции. Полезно дать учащимся таблицу, позволяющую составлять систему неравенств для нахождения решений задачи.Однако, на мой взгляд, для рационального подхода к поиску решения достаточно рассмотреть только расположение графиков при положительном старшем коэффициенте, но обратить внимание, что тогда неравенства составляются в виде аf(A)< 0 или аf(A)> 0 (а- старший коэффициент).

Пример1. При каких значениях параметра а один из корней уравнения

(а²-2)х²+(а²+а-1)х-а³+а=0

больше числа а, а другой меньше числа а?

Решение. Задача равносильна следующей: при каких значениях параметра а нули квадратичной функции

g(х)= (а²-2)х²+(а²+а-1)х-а³+а

лежат на вещественной оси по разные стороны от точки х = а?

Исходя из таблицы, имеем условие: аf(A)< 0.

В нашем случае это условие принимает вид

(а²-2) g(а)<0.

Следовательно, требованию задачи удовлетворяют решения неравенства

(а²-2)((а²-2)а²+(а²+а-1)а-а³+а)<0, где а²-2 0 (а = , а =- требованию задачи не удовлетворяют).

Решая полученное неравенство,

находим, что а (- ; -1) (1; ).

Ответ: При а (- ; -1) (1; ).

Пример2. При каких значениях параметра корни уравнения

(1) больше 1?

Решение. Очевидно, что задача равносильна следующей: при каких значениях параметра корни квадратного трехчлена



больше 1?

Переход от одной формулировки задачи к другой подчеркивает ту общую часто используемую при решении алгебраических уравнений второй степени идею, которая связана с описанием тех или иных свойств квадратного трехчлена и их геометрической интерпретации на графике. В частности, для того, чтобы корни квадратного трехчлена

(2)

были больше числа , необходимо и достаточно выполнение условий

(3)

(см. рис. 1.1.)

Условия (3) равносильны условиям



где - дискриминант, а - производная квадратного трехчлена. Требование же того, чтобы корни квадратного трехчлена были меньше числа , означает выполнение условий



Возвращаясь к исходной задаче, замечаем, что при =0 уравнение (1) имеет корень , который требованиям задачи не удовлетворяет.

Рассмотрим случай . При таких условия (3) запишутся в виде



Решая эту систему, находим, что .Очевидно, что этот же результат мы получили бы и решая неравенство , где - меньший корень уравнения (1)

Ответ: .

3. Рациональные неравенства с параметрами

Пример1. Найти все значения параметра , при которых неравенство

выполняется при всех .

Решение. Исходное неравенство является однородным неравенством второй степени относительно функции и . Если разделить его на , то получится равносильное неравенство



которое после замены становится квадратным неравенством относительно переменной с параметром :

(*)

Найдем множество значений функции при . Имеем: , то есть Отсюда при ; другие значения (отличные от нуля) найдем из условия неотрицательности дискриминанта этого квадратного уравнения: , то есть .

Итак, исходное неравенство выполняется для всех тогда и только тогда, когда неравенство (*) выполняется для всех .

Р
(1)
(2)

(3)
ассмотрим квадратный трехчлен с абсциссой вершины и дискриминантом . Тогда имеем следующие необходимые и достаточные условия для нахождения искомых значений параметра :








Последовательно преобразуя, получаем:






Объединяя решения систем (1)-(3), получаем ответ.

Ответ: