сборник. Сборник творческойгруппы. Администрация департамент образования

• Название: Администрация департамент образования
• Анкор: сборник
• Дата: 04.04.2022
• Размер: 3.12 Mb.
• Имя файла: Сборник творческойгруппы.docx
• Тип: Документы; #442201
• страница: 1 из 5

МУНИЦИПАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАНИЕ ГОРОД НОЯБРЬСК

АДМИНИСТРАЦИЯ

ДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ

ЯНАО
Задачи с параметрами

Материалы городской творческой группы учителей математики по реализации концепции математического образования



Ноябрьск 2015
ВВЕДЕНИЕ.
В связи с переходом на профильное обучение возникла необходимость в обеспечении углубленного изучения предмета математики и подготовки учащихся к продолжению образования.

Необходимость перехода старшей школы на профильное обучение определена Правительством России в «Концепции математического образования», где ставится задача создания специализированной подготовки (профильного обучения) в старших классах общеобразовательной школы, ориентированной на индивидуализацию обучения и социализацию обучающихся, в том числе с учетом реальных потребностей рынка труда, отработки гибкой системы профилей и кооперации старшей ступени школы с учреждениями начального, среднего и высшего профессионального образования».

Принятая в Концепции гибкая система профильного обучения предусматривает возможность разнообразных вариантов комбинаций учебных курсов, осваиваемых старшеклассниками. Эта система включает в себя курсы трех типов: базовые общеобразовательные; профильные общеобразовательные; элективные.

Единый государственный экзамен – это словосочетание знакомо сегодня едва ли не каждой семье, в которой есть школьник. Одной из целей проведения ЕГЭ является совмещение итоговой аттестации выпускников и вступительных испытаний для поступления в ВУЗы. Еще одна из целей введения ЕГЭ – попытка улучшения качества образования в России за счет более высокой мотивации на успешное его прохождение. Теперь детей надо готовить к экзаменам по-иному, так, чтобы они сдавали их успешно, а результаты можно было сравнить. Выдерживать такие экзамены – новая задача, как для школьников, так и для педагогов.

Можно привести один из главных выводов эксперимента с ЕГЭ: «Впервые за сто лет в России появился объективный и абсолютно прозрачный механизм оценки знаний школьников».

На экзаменах прошлых лет в общеобразовательных классах, как правило, задачи с параметрами не решались, а если решались сильными учащимися, то только частично.

Каждый ВУЗ предъявляет свои требования к уровню математической подготовки будущего студента, поэтому ВУЗы с большим курсом математики включали в билеты задачи, решить которые, как правило, можно, пройдя специальную целенаправленную подготовку. Вопрос лишь в том, насколько конкурсная задача повышенной сложности обладает диагностической ценностью. Иными словами, можно ли с помощью этой задачи проверить знание основных разделов школьной математики, уровень математического и логического мышления, первоначальные навыки исследовательской деятельности.

Такой диагностической и прогностической ценностью в полной мере обладают задачи с параметрами.

Практика вступительных экзаменов в ВУЗы по математике показывает, что задачи с параметрами представляют для абитуриентов наибольшую сложность как в логическом, так и в техническом плане и поэтому умение их решать во многом предопределяет успешную сдачу экзамена в любом высшем учебном заведении.

На сегодняшний день задачи с параметрами – неотъемлемая часть ЕГЭ по математике.

Сборник посвящен решению задач с параметрами. Умение решать такие задачи считается признаком отличного знания математики. Некоторые при подготовке к экзаменам боятся даже браться за эти задачи, думая, что у них всё равно ничего не получится. Вместе с тем часто для решения задачи с параметром нужно просто использовать свой здравый смысл, и решение окажется простым и понятным!




СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ
1.Салтыкова О.В.

Разработка методических рекомендаций решения линейных уравнений и неравенств с параметрами.
2. Афанасьева Е.В.

Применение графического метода для решения уравнений с параметрами.
3. Ушакова И.А.

Аналитический и графический способы решения линейных уравнений.
4.Соколовская Т.Н.

Решение уравнений с параметрами, приводимые к линейным.
5.Кинзябулатова Л.А.

Задачи с параметрами при подготовке к ЕГЭ по математике

(профильный уровень).
6.Зарецкая И.Ф.

Методические рекомендации при изучении различных тем.
7.Ушакова И.А.

Упражнения для подготовки к ЕГЭ по математике.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Салтыкова О.В.

учитель математики

МБОУ СОШ №7
Долгий путь начинается с первого шага.

(восточная мудрость)
Разработка методических рекомендаций решения линейных уравнений и неравенств с параметрами.
1. Алгоритм решения линейных уравнений с параметрами.

Исследовать и решить уравнение с параметром – это значит:

• 
  Найти все системы значений параметров, при которых данное уравнение имеет решение.
  
• 
  Найти все решения для каждой найденной системы значений параметров, т.е. для неизвестного и параметра должны быть указаны свои области допустимых значений.
  

На экзаменах встречаются, в основном, два типа задач с параметрами.

• 
  Для каждого значения параметра найти все решения некоторого уравнения и неравенства.
  
• 
  Найти все значения параметра, при каждом из которых для данного уравнения и неравенства выполняются некоторые условия.
  

Определение: Уравнение вида , где - некоторые аналитические выражение, называется линейным относительно переменной х с параметром а. Если поставлена задача решить такое уравнение, это значит, для каждого допустимого значения параметра а надо найти значение переменной х, удовлетворяющее этому уравнению.

Алгоритм решения:

1. 
   Найти допустимые значения параметра.
   
2. 
   Если , то существование или отсутствие корней зависит от значения Если то уравнение принимает вид и его корнем служит любое действительное значение переменной х. Если то при любом значении переменной х возникает неверное числовое равенство, то есть уравнение корней не имеет.
   
3. 
   Если то получим, что
   
4. 
   Учащимся можно данный алгоритм предложить оформить в виде таблицы.
   

Алгоритм решения линейных уравнений с параметрами.

Условия для поиска значений параметра а	Характеристика множества корней
или не имеют смысла	Корней нет
	Один корень
	Корней нет

2. Решение простейших уравнений с параметрами.

Пример 1. Для всех значений параметра а решите уравнение х – а = 0.

Ответ: х = а при любом а.

Этот пример напоминает, что при решении задач с параметрами нужно находить неизвестную, и указывать, при каких значениях параметра ответ имеет смысл.

Пример 2. Для всех значений параметра а решите уравнение .

Ответ: если а – любое число.

Пример 3. Для всех значений параметра а решите уравнение .

Ответ: , если а – любое число.

Пример 4. Для всех значений параметра а решите уравнение ах = 1.

Решение: при а = 0 данное уравнение решений не имеет, и в ответе это обстоятельство должно быть отражено.

Ответ: при а = 0 решений нет; при а ≠ 0 решение .

Пример 5. Для всех значений параметра а решите уравнение 0х = а.

Ответ: при а ≠ 0 корней нет; при а=0 х – любое число.

Пример 6. Исследовать и решить уравнение с параметром

Решение: Найдём контрольные значения параметра, т.е. такие значения при которых коэффициент при х обращается в 0. Такими значениями являются а = 0 и а = 2.

а) При а =0 уравнение принимает вид 0х = -2. Это уравнение корней не имеет.

б) При а = 2 уравнение принимает вид 0х = 0. Корнем этого уравнения является любое действительное число.

в) При а ≠ 0 и а ≠ 2 из исходного уравнения получаем , откуда

Ответ: 1) при а =0 корней нет.

2) при а = 2 х – любое действительное число.

3) при то

Пример 7. Исследовать и решить уравнение с параметром.

Найдём контрольные значения параметра а: .

а) при а=1 уравнение принимает вид 0х = 0. Корнем этого уравнения является любое действительное число.

б) при а ≠ 1 уравнение примет вид

Ответ: 1) при а=1 х – любое действительное число.

2) при а ≠ 1 , то

Пример 8. Исследовать и решить уравнение с параметром

а² (х – 5) = 25 (х – а)

Выполнив ряд преобразований, приведём уравнение к виду, наиболее удобному для исследования: а²х – 5а² = 25х – 25а;

(а² – 25)х = 5а² – 25а.

(а-5)(а+5)х = 5а(а-5).

а) при ед. х ; .

б) Если а = 5, то 0х = 0, следовательно, любое х есть решение.

в) Если а = - 5, то 0х = 250, следовательно, решений нет.

Графическая иллюстрация исследования по параметру а:

-5 5

а

3) 1) 2)

Ответ: 1) при ед. х .

2) при а = 5, любое х есть решение.

3. Частные случаи решения линейных уравнений

Ученики должны понять, что решение уравнения с параметрами при заданных конкретных условиях – это частные решения уравнений. Например, задание может звучать так: «При каких значениях параметра … уравнение …. Имеет единственное решение или не имеет корней, или имеет корень равный… и т.д.»

Пример1. При каких целых значениях параметра а уравнение имеет целые корни.

Решение: Приведём уравнение к виду , если то . Чтобы х был целым числом, необходимо, чтобы значение выражения было делителем числа 5, то есть может быть равно 1; -1; 5; -5. Отсюда, а = 3; 1; 7;-3.

Ответ: при а = -3; 1; 3; 7 .

Пример 2. При каких значениях параметра n уравнение

а) имеет единственный корень;

б) имеет бесконечное множество корней;

в) не имеет корней.

Решение: 1. Выражения имеют смысл при любых значениях n.

2. Если , то . При значение выражения равно 0. Получаем уравнение вида . Оно имеет бесконечное множество корней, то есть х – любое число. При значение выражения равно – 12, получается уравнение , которое не имеет корней.

3. При и уравнение имеет единственный корень.

Ответ: а) При и . б) При . в) При .

Пример 3. При каком значении параметра а уравнение не имеет корней .

Перепишем данное уравнение в виде Если а = 2, то уравнение не имеет корней. Ответ: а = 2

Пример 4. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых число 7 является единственным корнем уравнения.

Решение: Способ I: Если для некоторого значения параметра число 7 является корнем уравнения, то для этого значения а справедливо равенство , или равенство .

Равенство справедливо при а = 0 или при а =1.

Мы ещё не получили ответа, так как нашли два значения параметра а, предполагая, что число 7 является корнем уравнения. Но этот корень должен быть единственным, поэтому ещё требуется проверить, является ли число 7 единственным корнем уравнения

при а = 0 или при а =1.

Если а = 0, то уравнение перепишем в виде х – 7 = 0.

При а = 0 число 7 является единственным корнем уравнения.

Если же а =1, то уравнение перепишем в виде х - 7 = х – 7.

При а=1 любое действительное число является корнем данного уравнения. Следовательно, число 7 не является единственным корнем уравнения.

Способ II. Перепишем исходное уравнение в виде

При а =1 корнем уравнения является любое число, то есть число 7 не является единственным корнем уравнения. Поэтому в уравнении а ≠1.

Но тогда это уравнение имеет единственный корень . Условие задачи будет выполнено, если это единственный корень есть число 7: то есть при а = 0.

Ответ: а = 0.

Пример 5. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнения и имеют общий корень.

Решение: Перепишем первое уравнение в виде . Это уравнение имеет корень лишь при . Этот корень есть число .

Перепишем второе уравнение в виде . Данное уравнение имеет корень лишь при ,. Этот корень есть число

Осталось найти все значения параметра . При каждом из которых первое и второе уравнение имеют общий корень, то есть х₁ и х₂ есть одно и то же число.

Для этого решим уравнение

Перенесём все слагаемые в одну часть уравнения и упростим разность алгебраических дробей, равносильное уравнение которое имеет единственный корень . При этом значении а условие задачи выполнено.

Ответ: при

Литература:

1. 
   Натяганов В.Л., Лужина Л.М. Методы решения задач с параметрами: Учеб.пособие. – М.: Изд-во МГУ, 2003. – 368 с.
   
2. 
   Шахместер А.Х. Уравнения и неравенства с параметрами. – 1-е изд.– СПб.: «ЧеРо-на-Неве», 2004.– 304с.
   
3. 
   Шахместер А.Х. Задачи с параметрами на экзаменах. – 3-е изд., исправленное.– М.: Издательство МЦНМО: СПб.: «Петроглиф»: «Виктория плюс»,2009. – 248с.
   

Афанасьева Е.В.

Зам. директора по УВР

МБОУ СОШ №3

Математику затем учить следует,

что она ум в порядок приводит.

М.В. Ломоносов.
Применение графического метода для решения уравнений с параметрами.

Если функция задана уравнением y = f (x), разрешенным относительно у, то функция задана в явном виде (явная функция). Будет рассматривать задачи с параметрами, в формулировке которых фигурируют свойства функций. Довольно часто задачу можно переформулировать и свести ее к уравнению, неравенству или системе уравнений (неравенств), для решения которых используют аналитический или функционально-графический способы (графическую интерпретацию). В последнем случае требуется обоснование, основанное на возможности использовании свойств и графиков рассматриваемых функций.

Область определения функции.

Уравнения, неравенства, системы, да и просто заданные функции, входящие в формулировку задач с параметрами, имеют свою область определения, и анализ условий, определяющих ее, часто является необходимой частью решения. Иногда подобный анализ позволяет существенно сократить количество рассматриваемых случаев, тем самым упростить решение задачи.

Говорят, что на числовом множестве X определена числовая функция f (x) , если каждому элементу x из этого множества поставлено в соответствие единственное число. Множество X называется областью определения функции и обозначают D( f ). В задачах с параметром под областью определения уравнения, неравенства, системы, содержащие выражения вида f (x, a) , понимается множество всех упорядоченных пар чисел (x, a) , каждая из которых такова, что после подстановки соответствующих значений x и a во все входящие в задачу выражения они будут определены.

Знакомство с параметром.

Дадим краткую геометрическую интерпретацию параметру на примере линейной функции.

1). Рассмотрим линейную функцию , где k – произвольное число (параметр), принимающее различные значения, b – фиксированное число (рис. 1). Тогда в зависимости от k (углового коэффициента) прямая будет вращаться вокруг точки с координатами .

2). Рассмотрим линейную функцию , где b – произвольное число (параметр), принимающее различные значения, k – фиксированное число (рис. 2). Тогда в зависимости от b (свободного коэффициента) прямая будет перемещаться параллельным переносом вдоль оси y.

Таким образом, параметр – это неизвестная, при некоторых значениях которой необходимо рассматривать и решать частные уравнения. Эти значения называются особыми. Решить уравнение с параметрами – значит указать, при каких значениях параметров существуют решения и каковы они.