сборник. Сборник творческойгруппы. Администрация департамент образования

• Название: Администрация департамент образования
• Анкор: сборник
• Дата: 04.04.2022
• Размер: 3.12 Mb.
• Имя файла: Сборник творческойгруппы.docx
• Тип: Документы; #442201
• страница: 5 из 5

4.Иррациональные уравнения с параметрами

Существует несколько способов решения иррациональных уравнений с параметрами. Познакомимся с ними, разобрав следующий пример.

Пример. В зависимости от значений параметра решить уравнение

(1)

Решение. Решим уравнение (1) пятью способами, которые необходимо знать, ибо наряду с другими подходами они могут быть использованы и при решении иных типов уравнений.

Способ 1. Уравнение (1) равносильно системе



или системе

(2)

Решая уравнение из системы (2), находим

(3)

откуда следует, что при уравнение (1) имеет одно решение . Если , то , и тогда уравнение (1) будет иметь два решения при тех значениях параметра , при которых совместна система

,

т.е. при

Уравнение (1) будет иметь только один корень , если , а . В этом случае решая систему



приходим к выводу, что .

Замечая теперь, что при дискриминант уравнения системы (2) отрицателен, получаем

Ответ: если , то решений нет;

если , то ;

если , то ;

если , то .

Способ 2. Возведя обе части уравнения (1) в квадрат, получим уравнение из системы (2), корни которого задаются формулами (3). Но здесь надо иметь в виду, что при возведении обеих частей уравнения (1) в квадрат могли появиться посторонние корни.

Поэтому при данном способе решения необходимо произвести проверку. Так, подставляя корень в исходное уравнение, придем к соотношению

,

откуда .

Если же подставить корень в уравнение (1), то придем уже к отношению , и, таким образом, .

Учитывая теперь, что при корней нет, а при имеем , получаем тот же ответ, что и при первом способе решения.

Способ 3. Если воспользоваться геометрическим смыслом квадратного трехчлена, то, обращаясь к равносильной уравнению (1) в системе (2), приходим к выводу, что уравнение (1)будет иметь корни и в том случае, когда корни квадратного трехчлена не меньше . Аналитически соответствующие условия записываются в виде системы



Решая эту систему, находим, что .

При уравнение (1) имеет решение .

Если же , т.е. , то уравнение (1) будет иметь один корень . При решений нет.

Способ 4. Рассмотрим графики функций

и

заданных соответственно левой и правой частями уравнения (6.1).



Абсциссы точек пересечения этих графиков и будут решениями уравнения (1). При графики не пересекаются (см. рис. 6.1) и значит уравнение (1) решений не имеет.

При графики касаются и уравнение (1) имеет один корень .

При уравнение (1) будет иметь корни и , определяемые формулами (3) (см. рис. 6.2).



При графики функций и пересекаются в одной точке, и значит уравнение (1) имеет одно решение (см. рис. 6.3)



Способ 5. Перепишем равносильную уравнению (1) систему (2) в виде



Построив тогда в плоскости график функции при условии (см. рис. 6.4), мы приходим к выводам, полученным ранее четырьмя рассмотренными способами.



Ответ: если , то решений нет;

если , то ;

если , то ;

если , то .

5.Показательные и логарифмические неравенства с параметрами

Пример1. Найти все значения параметра , при которых неравенство



выполняется для всех действительных значений .

Решение. Исходное неравенство



равносильно следующей совокупности двух систем:






(1)

(2)

(1)

(2)


В системе (1) параметр , поэтому коэффициент , стоящий при в левой части последнего неравенства, положителен, следовательно, последнее неравенство системы (1) равносильно неравенству

которое не может выполняться при всех действительных значениях при любом фиксированном значении параметра . Таким образом, система (1) не дает искомых значений параметра.

В системе

(2)

из первого неравенства ( ) так же, как и раньше, вытекает, что , следовательно, второе неравенство равносильно неравенству

,

которое, очевидно, выполняется для всех действительных тогда и только тогда, когда



С учетом того, что , получаем

Ответ:

6.Производная и ее применения.

Пример1. Найти все значения параметра , при которых функция

имеет хотя бы один экстремум строго между числами и .

Решение. Для вычисления экстремумов функции найдем её производную:

откуда следует, что в точках экстремума, то есть при , значение параметра , так как . Поэтому интервал , на котором, согласно условию задачи, надо искать экстремум, целиком расположен справа от точки 0.

Дальнейшее решение задачи изложим двумя способами.

Способ 1. Рассмотрим квадратный трехчлен с абсциссой вершины и дискриминантом , положительность которого следует из того, что

Если абсцисса вершины параболы, являющейся графиком функции , расположена левее интервала , то есть величина , то значения и должны быть разных знаков, причем - отрицательно:



откуда следует, что

Если лежит строго между и , то либо , либо должно быть положительно:



Если лежит правее интервала , то есть , то значения и должны быть разных знаков, причем - положительно:



Объединяя найденные значения параметра в рассмотренных трех случаях , получает ответ: .

Способ 2.

Как мы уже получили ранее, в точках экстремума, то есть при имеем . В плоскости нарисуем график функции . Точки экстремума будем искать на интервале , то есть при что соответствует внутренним точкам острого угла, ограниченного прямыми и , и находящегося в первой четверти. Найдем точки пересечения прямых и с параболой . Решая квадратные уравнения, получаем:





Так как производная при и при , то исходная функция является возрастающей в области , расположенной ниже параболы , и убывающей в области, расположенной выше этой параболы; в точках параболы функция имеет экстремум (в силу того, что выполнено достаточное условие экстремума – смена знака производной).

Левая ветвь параболы пересекается с прямыми и в точках и соответственно. Все точки параболы, расположенные строго между этими точками пересечения, отвечают точкам экстремума функции , соответствующим искомым значениям параметра : (проекция на ось указанного участка левой ветви параболы ).

Правая ветвь параболы пересекается с прямыми и в точках и соответственно. Все точки параболы, расположенные строго между этими точками пересечения, отвечают точкам экстремума функции , соответствующим искомым значениям параметра : (проекция на ось указанного участка правой ветви параболы ).

Объединяя найденные выше интервалы и значений параметра , получаем ответ.

Ответ: .

Литература:

1. Высоцкий В. С. Задачи с параметрами при подготовке к ЕГЭ. – М.: Научный мир, 2011. – 316 с.

2. ЕГЭ 2013. Математика: Сборник тренировочных работ / Высоцкий И.Р.,

Захаров П.И., Панфёров В.С., Семёнов А.В., Сергеев И.Н., Смирнов В.А., Шестаков С.А., Ященко И.В. – М.: МЦНМО, 2010.

Ушакова И.А.

Учитель математики

МБОУ СОШ №3
Упражнения для подготовки к ЕГЭ по математике.







Литература:

1. Высоцкий В. С. Задачи с параметрами при подготовке к ЕГЭ. – М.: Научный мир, 2011. – 316 с.

2. ЕГЭ 2013. Математика: Сборник тренировочных работ / Высоцкий И.Р.,

Захаров П.И., Панфёров В.С., Семёнов А.В., Сергеев И.Н., Смирнов В.А., Шестаков С.А., Ященко И.В. – М.: МЦНМО, 2010.

3. Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Использование метода наглядной графической интерпретации при решении уравнений и неравенств с параметрами // Математика в школе. М.: ООО «Школьная пресса», 2011, №1 (начало) – С. 18-26,

№2 (окончание) – С. 25-32.

4. Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Различные подходы к решению задач С5 ЕГЭ // Математика. М.: Издательский Дом «Первое сентября», 2011, № 5 − С.11–21.

Научное издательство «Большая Российская энциклопедия», 1996, – 527 с.

5. Неравенства с двумя переменными: графическое и аналитическое решения /

А. Корянов. – М.: Чистые пруды. 2008. (Библиотечка «Первого сентября», серия

«Математика». Вып. 22).

6. Панферов В.С., Сергеев И.Н. Отличник ЕГЭ. Математика. Решение

сложных задач; ФИПИ – М.: Интеллект-Центр, 2010.

7. Прокофьев А.А., Шабунин М.И. Системы уравнений и неравенств с двумя

переменными // Журнал «Потенциал», 2011, №3 – С. 29-36.

8. Прокофьев А.А. Задачи с параметрами. Учебное пособие. – М.: МИЭТ, 2004.

9. Сергеев И. Н. ЕГЭ: 1000 задач с ответами и решениями по математике.

Все задания группы С / И. Н. Сергеев, В. С. Панферов. – М.: Издательство «Экзамен», 2012. – 301 с.

10. Сергеев И. Н. ЕГЭ. Практикум по математике: подготовка к выполнению

части С / И. Н. Сергеев, В. С. Панферов. – М.: Издательство «Экзамен», 2012.

11. Ященко И.В., Шестаков С.А., Захаров П.И. Подготовка к ЕГЭ по математике в 2012 году. Методические указания. – М.: МЦНМО, 2012. – 208 с.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В сборнике предоставлены материалы учителей математики города Ноябрьск, которые позволили выявить основные методы решения задач с параметрами и адаптировать их к школьному курсу. Что помогло составить систему дидактических материалов, которые можно использовать для учащихся 7 – 11 классов в процессе усвоения той или иной темы или для параллельного повторения при подготовке к ГИА или ЕГЭ.