Nechepurenko_ФТИ. Анализ больших нестационарных системю. М. Нечепуренкомфтифивт, кафедра фти

• Название: Анализ больших нестационарных системю. М. Нечепуренкомфтифивт, кафедра фти
• Анкор: Nechepurenko_ФТИ.pdf
• Дата: 19.06.2018
• Размер: 14.23 Mb.
• Имя файла: Nechepurenko_ФТИ.pdf
• Тип: Документы; #20470
• страница: 4 из 6

НАБЛЮДАЕМОСТЬ
2
/
1 2
/
1 0
)
0
(
)
0
(
)
(
)
(
Qx
x
dt
t
y
t
y
y
0
}
exp{
}
exp{
0
dt
tA
O
O
tA
Q
-
ГРАМИАН наблюдаемости
РЕШЕНИЕ:
Если
Q невырожденная, то любое
x(0) можно восстановить по
y(t)
решив уравнение
)
0
(
}
exp{
)
(
)
(
x
tA
O
t
Ox
t
y
).
0
(
)
(
}
exp{
0
Qx
dt
t
y
O
tA
O
O
QA
Q
A
Q
–
вырожденная в том и только том случае, если столбцы
O
принадлежат инвариантному подпространству матрицы
A
размерности
< n.
0
,
,
t
Ox
y
Ax
dt
dx
0
)
(
Re
S
ЗАДАЧА:
Восстановить состояние
x(0) по заданному
y(t).
Если
Q
вырожденная, то есть состояния, которые нельзя наблюдать.
504

СБАЛАНСИРОВАННОЕ УСЕЧЕНИЕ
Если
Q почти вырождена, то есть состояния, которые почти нельзя наблюдать –
собственные векторы этой матрицы, отвечающие ее малым собственным значениям.
ВТОРАЯ ИДЕЯ: взять в качестве
X nxm- матрицу собственных векторов матрицы
Q, отвечающих ее
m максимальным собственным значениям
Если
P почти вырождена, то есть состояния, достичь которые можно лишь с большим по норме управлением –
собственные векторы этой матрицы, отвечающие ее малым собственным значениям.
ПЕРВАЯ ИДЕЯ: взять в качестве
X nxm- матрицу собственных векторов матрицы
P, отвечающих ее
m максимальным собственным значениям
ИДЕЯ СБАЛАНСИРОВАННОГО УСЕЧЕНИЯ: предварительно
сделать замену переменных, после которой
P=Q.
Cu
Ax
dt
dx
Ox
y
u
C
x
A
dt
x
d

x
O
y



AX
Y
A

C
Y
C

OX
O

x
X
x

505

Cu
Ax
dt
dx
Ox
y
old
Tx
x
1
T
TA
A
old
old
TC
C
1
T
O
O
old
Замена переменных приводит к системе того же вида, но с матрицами
При этом
T
TP
P
old
1
*
T
Q
T
Q
old
Таким образом
1
T
Q
TP
PQ
old
old
}
{
)
(
)
(
1
n
old
old
Q
P
PQ

- инвариант системы
2
/
1
j
j
-
ГАНКЕЛЕВЫ СИНГУЛЯРНЫЕ ЧИСЛА
- преобразование подобия
СБАЛАНСИРОВАННОЕ УСЕЧЕНИЕ
506

Выбрать
n
х
n матрицу
T такую, что
Тогда
m наиболее наблюдаемых и управляемых состояний новой системы
- это
Проектируя новую систему на подпространство этих состояний получим редуцированную систему оптимальную в смысле управляемости и наблюдаемости. Это эквивалентно применению к исходной системе галеркинской редукции с
Теорема 3.
При описанной выше редукции
)
(
1 1
n
diag
QT
T
TPT

,
)
0
,
,
0
,
1
,
0
,
,
0
(
T
j
e


m
j
,
,
1 
j
]
)
(
,
,
)
[(
1 1
1
m
T
T
X

]
)
(
,
,
)
[(
1
m
T
T
Y

R
n
m
),
(
2
)
(i

)
(i max
1 2

СБАЛАНСИРОВАННОЕ УСЕЧЕНИЕ
507

АЛГОРИТМ
CC
PA
AP
O
O
Q
A
QA
LL
P
RR
Q
Z
U
R
L
2
/
1 1
LU
T
2
/
1
RZ
T
Сингулярное разложение
Вычисление грамианов сводится к решению уравнений Ляпунова
Разложения Холецкого
1 2
/
1
L
U
T
Полагаем
Имеем:
1
QT
T
TPT
]
)
(
,
,
)
[(
1 1
1
m
T
T
X

]
)
(
,
,
)
[(
1
m
T
T
Y

ПРОБЛЕМА: матрица почти вырожденная!
508

АЛГОРИТМ
ВАЖНОЕ ЗАМЕЧАНИЕ.
Поскольку нам нужны только первые
m столбцов матриц нет необходимости формировать их полностью. Таким образом можно успешно найти необходимые для редукции матрицы
X и
Y даже, если имеются нулевые ганкелевы сингулярные числа.
Более того, матрицы
P и
Q можно сразу искать приближенно в виде малоранговых аппроксимаций:
2
/
1 1
LU
T
2
/
1
RZ
T
P
L
L
Q
R
R
L
R
Z
U
2
/
1 1
1 1
]
)
(
,
,
)
[(
U
L
T
T
X
m

2
/
1 1
]
)
(
,
,
)
[(
Z
R
T
T
Y
m

509

СБАЛАНСИРОВАННЕ УСЕЧЕНИЕ
Обеспечивает одинаково хорошую аппроксимацию во всем диапазоне частот. Снабжено априорной оценкой погрешности.
Требует больших вычислительных затрат.
Нет хороших реализаций для случая больших разреженных матриц
.
Сохраняет устойчивость, но может не сохранить асимптотическую устойчивость и пассивность
Обеспечивают очень хорошую аппроксимацию в окрестности заданных частот. Сохраняют моменты, но не снабжены априорной оценкой погрешности.
Не требуют больших вычислительных затрат.
Эффективны в случае больших разреженных матриц
.
Сохраняют пассивность, но могут не сохранить устойчивость.
КРЫЛОВСКИЕ МЕТОДЫ
510

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ЛЯПУНОВА
Q
s
s
s
Q
A
nn
n
0 1
11



W
S
P
P
S


n
n
nn
n
n
n
W
W
W
P
P
P
I
s
S
I
s
I
s
S
I
s
I
s
I
s
S









2 1
2 1
,
1 22
,
1 12 11



0 0
0
)
(
3
n
O
*
CC
PA
AP
C
C
W


L
L
P



PQ
Q
P
C
Q
C
C
C
W

,

,


*
L
Q
L
LL
P

,
601
)
(
3
n
O

602
МЕТОД ПРОСТЫХ ИТЕРАЦИЙ
0 0
1 1
0
)
(
)
(
:
)
(
,
k
j
j
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
A
I
b
Ax
A
невязка
b
Ax
b
Ax
x
x
задан
x
b
Ax
const
A
A
k
,
1 2
2 2
0 2
0 1
)
(
1
)
(
(
max min
(
min max min
k
k
j
k
j
A
cond
A
cond
I
I
)
A)
|
1
|
|
1
|
:
max min

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ЛЯПУНОВА
n
n
C
C
PA
AP
P
L
p
n
n
p
Метод простых итераций:
p
P
rank
k
k
)
1 2
(
ПРОБЛЕМА: ранг растет слишком быстро, а сходимость слишком
медленная
CC
I
CC
P
k
j
j
k
0 1
(
L)
L
A
P
P
A
P
)
(
)
(
2
L
L
L
)
(
)
(
A
A
j
i
(L)
0
)
(
Re
S
)
(
)
(
,
0 1
0
CC
A
P
P
A
I
CC
P
P
P
P
k
k
k
k
k
k
k
k
L
603
)
(
)
(
,
2 2
A
cond
L
cond
const
A
A
k
1 2
2 2
0 1
)
(
1
)
(
(
min
k
k
j
A
cond
A
cond
I
L)

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ЛЯПУНОВА
Метод переменных направлений:
0
CC
PA
AP
0
)
(
Re
A
*
0 1
)
(
A
R
P
P
A
R
P
P
k
k
k
1
)
(
2
,
1 1
T
I
A
CC
I
A
F
I
A
I
A
T
F
PT
T
P
k
k
k
F
T
P
T
P
P
k
k 1 0
,
0
k p
P
rank
k
1 2
2 2
0 1
)
(
1
)
(
(
min
k
k
j
A
cond
A
cond
I
L)
k
i
i
i
k
s
s
s
R
0
)
(
)
1
(
2 2
/
1 2
2
/
1 2
2 2
1
)
(
1
)
(
)
(
min
k
k
A
cond
A
cond
A
R
const
const
A
A
k
k
,
,
Сравнение с простыми
итерациями при
604

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ЛЯПУНОВА
Исходный алгоритм:
k
k
k
F
T
P
T
P
P
k
k 1 0
,
0
I
A
CC
I
A
F
I
A
I
A
T
1 1
2
,
C
I
A
L
I
A
I
A
L
k
k
k
k
k
k
1 1
1 2
,
k
k
k
L
L
P
1 1
1
k
k
k
L
L
P
1) матрицы можно не формировать:
k
P
2) вычислив , можно попробовать уменьшить ее ранг:
U
L
tol
V
V
U
U
L
k
SVD
k
1 1
,
,
0 0
,
1
k
L
605

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ЛЯПУНОВА
Сбалансированное усечение можно применять для систем управления с
большими разреженными матрицами
A
и
B,
если
B
невырожденная:
Cu
Ax
dt
dx
B

 u
C
B
x
A
B
dt
dx
1 1
new
A
new
C
LU
разложение
606
Если матрица
B
вырожденная, то при решении уравнений Ляпунова
используют проекторы на понижающие подпространства, отвечающие
бесконечному собственному значению пучка, что существенно
увеличивает вычислительные затраты.

ТОЧНАЯ ЗАДАЧА УПРАВЛЕНИЯ
t
x
d d
x
A
u
C
ЗАДАЧА УПРАВЛЕНИЯ: задано найти
0
)
0
(
x
T
x
p
n
n
n
C
A
t
T
t
W
def
}
)
exp{(
)
(
min
)
(
)
(
2
/
1 0
T
dt
t
u
t
u
u
T
T
x
dt
t
Cu
A
t
T
T
x
u
0
)
(
}
)
exp{(
)
(
:
701
T
T
x
dt
t
u
t
W
T
x
0
)
(
)
(
)
(

ТОЧНАЯ ЗАДАЧА УПРАВЛЕНИЯ
N
k
U
u
k
k
,...,
1
,
)
(

p
n
T
L
t
W
)
,
0
(
)
(
2
T
T
x
dt
t
u
t
W
0
)
(
)
(
min
)
(
)
(
2
/
1 0
T
dt
t
u
t
u
u
n
T
p
dt
t
u
t
W
U
T
L
u
C
0 2
)
(
)
(
)
,
0
(

T
N
k
k
k
N
k
k
k
x
U
u
u
1 1
)
(

min
||
||
1 2
2
)
(
N
k
k
k
u
u
Несмотря на взаимную ортогональность управлений они могут приводить к параллельным или почти параллельным целям .
Следствием этого могут стать катастрофически большие погрешности при вычислении (пространство управлений –
бесконечно
- мерно, пространство целей –
конечномерно).
k
U
)
( k
u
k
702
l
k
t
u
t
u
u
u
T
k
l
l
k
,
0
)
(
)
(
)
,
(
0
)
(
*
)
(
)
(
)
(

ТОЧНАЯ ЗАДАЧА УПРАВЛЕНИЯ
l
k
U
U
U
U
d
d
d
d
U
d
PU
dt
t
W
t
W
P
l
k
k
k
n
r
r
j
j
j
T
n
n
,
0
,
1 0
,
,
)
(
)
(
*
*
1 1
0
*
C
k
k
k
k
d
PU
U
u
*
)
(
n
k
r
t
u
r
k
u
k
k
1
,
0
)
(
1
,
0
)
(
)
(
T
k
l
l
k
l
k
dt
t
u
t
u
u
u
0
)
(
*
)
(
)
(
)
(
,
0
)
(
)
(
)
,
(
Ортогональны и сами элементарные управления и цели, к которым
они приводят. Более того, набор является
достаточным для рассматриваемой задачи управления при любом
;
,...,
1
,
)
(
r
k
u
k
T
x
k
k
k
k
T
k
U
d
PU
dt
U
t
W
t
W
u
*
0
)
(
)
(
)
(

T
t
U
t
W
t
u
k
k
0
,
)
(
)
(
*
)
(
703

ТОЧНАЯ ЗАДАЧА УПРАВЛЕНИЯ
2
/
1 2
1 2
)
(
2 1
)
(
),
(
)
(
)
(
u
u
u
t
u
t
u
t
u
r
k
k
k
r
k
k
k
0
)
(
)
(
,...,
1
,
0
)
(
)
(
)
(
)
)
(
(
0 0
*
0
*
*
T
T
k
T
k
dt
t
u
t
W
n
k
dt
t
u
t
W
U
dt
t
u
U
t
W

 

 

0 2
2 2
0
)
,
0
(
)
(
)
(
)
(
)
(
min
T
T
T
T
T
L
u
x
UU
I
x
UU
I
x
UU
dt
t
u
t
W
неустранимая погрешность попадания в цель
UD
U
d
dt
u
t
W
dt
t
u
t
W
r
k
k
k
k
T
T
r
k
k
k
1 0
0 1
)
(
)
(
)
(
)
(
704
)
,...,
(
,
,...,
1 1
r
r
d
d
diag
D
U
U
U
T
x
U
D
*