КАНАЛ КВАДРАТНОГО СЕЧЕНИЯ
0
, v
v
v
F
Gp
J
t
2 2
2 2
2
Re
1 0
0 0
0
y
x
W
L
y
/
x
/
G
L
W
W
L
L
J
y
x
i
i
/
W
/
W
,
,
y x
y
W
x
W
y
/
x
/
F
i
w
v
u
v
Ненулевые граничные условия:
)
,
(
)
,
,
1
(
t
y
t
y
u
u
1 1
1 1
x
y
)
,
(
)
,
1
,
(
t
x
t
x
v
v
1003
АППРОКСИМАЦИЯ
Аппроксимация методом коллокаций на Чебышевских сетках.
Координаты узлов по x и y : для давления - корни многочлена
Чебышева для скорости – они же и
q
U
2 1
1004
kl
q
k
q
l
l
k
p
y
x
y
x
p
y
x
p
2 1
2 1
)
(
)
(
)
,
(
ˆ
)
,
(
q
2 1
,
,
kl
q
k
q
l
l
k
y
x
y
x
y
x
v
v
v
2 1
2 1
)
(
)
(
)
,
(
ˆ
)
,
(
)
(
)
(
)
(
)
(
2 2
k
q
k
q
k
U
U
)
(
)
(
)
(
)
(
k
k
k
)
(
)
1
(
)
(
2 2
q
U
Аппроксиманты подставляются в уравнения и требуется, что бы уравнения удовлетворялись во внутренних узлах сетки.
АППРОКСИМАЦИЯ
Аппроксимация методом коллокаций на смещенных сетках.
Координаты узлов по x и y : для давления - корни многочлена Лежандра для скорости – корни многочлена и
1 2q
L
1 2q
L
1
v
v
v v
v v v
v
v v v
v
v
v
v
v
v
v
v
v v
v v v
p p
p
p
p
p p
p
p p
p p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
v v v v v v
v v
v
v
v
v
1005
Аппроксимация на лежандровских сетках обеспечивает эрмитовость сеточного оператора Лапласа и взаимную кососимметричность сеточных дивергенции и градиента.
Как в случае лежандровской, так и в случае чебышевской сетки, для вычисления производных элементарных (лагранжевых) многочленов в требуемых узлах сетки известны эффективные алгоритмы, реализованные в виде стандартных программ.
СИММЕТРИИpwvupwvupwvu, , , , , , , , , pwvupwvu, , , , , , 4 ) , ( ) , ( 4 ) , ( ) , ( ) , ( yxfyxfyxfyxfyxfdef Решение представимо в виде суммы следующих четырех попарно ортогональных функций, каждая из которых также является решением: ) , ( ) , ( xyfyxfdefВ случае квадратного сечения второе и третье слагаемые каждое представимо в виде суммы двух попарно ортогональных решений. Например, ppwwuvvupwvu, , , , , , ppwwuvvu, , , симметричные кососимметричные 1006
Лежандровская сетка с числом внутренних узлов 58
x5 8 для скорости и
59x5 9 для давления приводит без учета симметрий к а с учетом симметрий к
10092
v
n
,
3481
p
n
2523 870 2523 900 2523 841
v
n
p
n
p
p
w
w
v
v
u
u
I
,
,
,
:
p
p
w
w
v
v
u
u
IV
,
,
,
:
p
p
w
w
v
v
u
u
II
,
,
,
:
p
p
w
w
v
v
u
u
III
,
,
,
:
Чебышевская сетка с числом внутренних узлов 58
x5 8 приводит без учета симметрий к а с учетом симметрий к
4 сеточным задачам с
СИММЕТРИИ
,
10092
v
n
,
3364
p
n
841
p
n
,
2523
v
n
1007
ДИСКРЕТНАЯ ЗАДАЧА
Аппроксимация
v
v
n
n
v
J
t
D
d dv
p
G
v
C
v
F
0
p
C
p
v
n
n
v
v
n
n
n
n
v
v
p
n
n
n
n
p
n
1
p
n
p
p
p
1
v
n
v
v
v
1
n
n
n
p
v
3
Чебышевская сетка
42х42 7056
p
v
n
n
n
168
n
42
n
без учета симметрии с учетом симметрий
2 системы каждая с
1764
p
v
n
n
n
плюс 4 системы каждая с
882
p
v
n
n
n
21
n
1008
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
ТЕОРЕМА
1.
'
' n
n
2
/
'
n
n
n
n
p
v
)
(
)
(
)
(
t
Vx
t
K
t
v
W
x
H
dt
dx
n
n'
t
d
W
H
t
t
x
)
(
}
)
exp{(
)
(
)
0
(
}
exp{
)
(
}
)
exp{(
0
v
V
H
t
d
W
H
t
t
H
W
V
K
,
,
,
Тогда найдутся такие, что
Пусть и
полного ранга и матрица невырожденная.
G
FD
1
F
G
где
1009
ВОЗБУЖДЕНИЕ ЗАДАННЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
x
y
)
,
(
t
y
- четная по функция:
y
1764
p
v
n
n
n
21
n
Одна система с
21 882
T
dt
t
W
H
t
T
T
V
T
x
0
*
)
(
}
)
exp{(
)
(
)
(
v
882 882
)}
exp(
)
,
(
{
Real
z
t
y
i
Метод коллокаций на чебышевской сетке 42
x42
T
t
t
t
y
,
0
,
0
)
,
(
,
0
,
0
)
(
t
t
v
получить заданное с симметрией
(++,--,-+)
)
(T
v
ТЕОРЕМА
1.
1010
ВОЗБУЖДЕНИЕ ЗАДАННЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ} ) exp{( ) ( HtTWtTdtHtTWWHtTP0 } ) exp{( } ) exp{( ) ( : TxP1011 min ) ( ) ( 2 / 1 0 TdtttTdttWHtTTx0 ) ( } ) exp{( ) ( Точное решение, если оно существует, даетПриближенное решение можно найти методом, описанным на слайде 707.
АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ РЕДУКЦИЯ
882
n
21
p
882
q
Алгебраическая редукция
84
m
21
p
882
q
Re = 3000,
α
= 0.1 2
)
(
)
(
i
i
2
)
(i
4
k
4
k
2 2
1
k
k
1012
x
y
W
x
H
dt
dx
x
O
y
W
x
H
dt
x
d
АНАЛИЗ НЕСТАЦИОНАРНЫХ МОДЕЛЕЙ ЯДЕРНЫХ РЕАКТОРОВ, УЧИТЫВАЮЩИХ ЗАПАЗДЫВАЮЩИЕ НЕЙТРОНЫЦЕЛЬ:Анализ возможности выделения спектральным методом малоразмерной главной части модели, адекватно описывающей не только асимптотику, но и переходные процессы.1101
ПРИМЕР (двумерная диффузионная модель активной зоны
в гексагональной геометрии, одна группа быстрых нейтронов
и две группы эмиттеров запаздывающих нейтронов):
o
o
o
o
i
C
z
C
z
l
k
2 2
1 1
o
6 1
o i
2
o v
1
)
1
(
)
-
(
3h
2D
dt d
v
1 2
,
1
,
v dt d
o
j
C
z
l
k
C
o
j
j
o
j
o
o
j
5 2
2 1
1 10 3.9
v
0.006979 0.4104,
0.000245 0.0124,
z
z
Lu
dt
du
u
u
,
)
0
(
0 1102
РЕЗУЛЬТАТЫ
1. Спектр
p+q
групповой диффузионной модели
(p-
число
энергетических групп,
q-
число групп эмиттеров запаздывающих
нейтронов) состоит из
q+1
подмножества собственных значений и
имеет следующую структуру:
q
z
|
1
|
z
значений
х
собственны
pm
значений
х
собственны
m
значений
х
собственны
m
ву
пространст
по
сетки
узлов
число
m
распада
константы
z
i
Lu
dt
du
u
u
,
)
0
(
0
m
q
p
j
t
j
j
e
u
t
u
)
(
1
)
(
j
j
j
j
j
j
real
real
u
u
Lu
1
,
0
,
1103
qz| 1 | z 2. Угол между подпространством собственных мод, отвечающих k ведущим (крайним правым) собственным значениям, и подпространством собственных мод, отвечающим остальным собственным значениям, равен для k от 1 до qm 6 10 6 6 10 ) , ( : , 10 ) , ( yxYyXxYX} ,..., { 1 qmuuspanX} ,..., { ) ( 1 mqpqmuuspanY1104 qz| 1 | zзначенийхсобственныpmзначенийхсобственныmзначенийхсобственныm 3. Угол между подпространством собственных мод, отвечающих l(q+1) собственным значениям (по l ведущих собственных значений из каждого подмножества), и подпространством собственных мод, отвечающим остальным собственным значениям, равен XY2 / ) , ( YX2 / 1105
ВЫВОДЫ
1. Малоразмерная главная часть реакторной модели должна состоять
из собственных мод, отвечающих
l(q+1)
собственным значениям
(
по
l
ведущих собственных значений из каждого подмножества).
2. В моделях докритического реактора возможны значительные
подскоки нормы решения. По аналогии с гидродинамическими
моделями можно ожидать подскоки в десятки и сотни тысяч раз.
4. Похожие результаты имеют место и для транспортных моделей, но
с более сложной структурой спектра внутри каждого из подмножеств.
1106
1. Голуб Дж., Ван Лоун Ч. Матричные вычисления. М.: Мир, 1999. 2. Демель Дж. Вычислительная линейная алгебра. Теория и приложения. М.: Мир, 2001. 3. Anderson E., Bai Z., Bischof C., Demmel J., Dongarra J., Du Croz J., Greenbaum A., Hammarling S., McKenney A., Ostrouchov S. and Sorensen D. LAPACK Users Guide. SIAM, Philadelphia, 1992. 4. Годунов С.К. Обыкновенные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Новосибирск: Изд-во НГУ, 1994. 5. Willems J. Dissipative dynamical systems. Part II: Linear systems with quadratic supply rates. Archive for rational mechanics and analysis. 1972. V. 45. №5. 6. Kagstrom B., Van Dooren P. A generalized state-space approach for the additive decomposition of the transfer matrix. J. Lin. Alg. Appl. 1992. 7. Antoulas A.C., Sorensen D.C., Gugercin S. A survey of model reduction methods for large-scale systems. In Structured matrices in mathematics, computer science, and engineering, Contemporary Mathematics Series, 280. AMS Publications. 2001. 8. Moore B.C. Principal component analysis in linear systems: controllability, observability, and model reduction. IEEE Trans. Automat. Control. 1981. V.26. №1. 9. Li J.R., White J. Low-rank solution of Lyapunov equations. SIAM Review. 2004. V.46. №4. 10. Celik M., Pileggi L., Odalasioglu A. IC interconnect analysis. Norwell, Massachusetts: Kluver Academic Publishes, 2002. 11. Kerns K.J., Yang A.T. Preservation of passivity during RLC network reduction via congruence transforms. IEEE Trans. Computer-Aided Design. 1998. V.17. № 7. 12. Schmid P.J., Henningson D.S. Stability and transition in shear flows. Berlin: Springer, 2000. 13. Ilak M., Rowley C. Modeling of transitional channel flow using balanced proper orthogonal decomposition. Phys Fluids. 2008. V.20. №3. 14. Ершов Ю.И., Шихов С.Б. Математические основы теории переноса. Т. 1. Основы теории. –М.: Энергоатомиздат, 1985. РАСШИРЕННЫЙ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ1201 |
Скачать 14.23 Mb.