Nechepurenko_ФТИ. Анализ больших нестационарных системю. М. Нечепуренкомфтифивт, кафедра фти

• Название: Анализ больших нестационарных системю. М. Нечепуренкомфтифивт, кафедра фти
• Анкор: Nechepurenko_ФТИ.pdf
• Дата: 19.06.2018
• Размер: 14.23 Mb.
• Имя файла: Nechepurenko_ФТИ.pdf
• Тип: Документы; #20470
• страница: 3 из 6

НАИБОЛЕЕ УСПЕШНЫЕ ТЕХНОЛОГИИ РЕДУКЦИИ,
ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ В ПРОМЫШЛЕННОМ ДИЗАЙНЕ
PACT (спектрально-алгебраическая для RC схем)
PRIMA (алгебраическая Крыловская для RCLM схем)
Эти редукции
сохраняют пассивность,
достаточно эффективны
в реализации, включают контроль погрешности, результаты
редукции допускают схемотехническую интерпретацию.
Число элементов схемы уменьшается в 10-10000 раз.
ПЕРСПЕКТИВНЫЕ ИДЕИ:
Сбалансированное усечение
Спектрально-алгебраическая редукция для RCLM схем
Временная редукция
316

m
m
I
X
X
X
X
X
*
1
,
,
,
AX
X
A

C
X
C

OX
O

Cu
Ax
dt
dx
Ox
y
u
C
x
A
dt
x
d




x
O
y



)
(
)
(

)
(

)
(
s
y
s
y
s
s
КРЫЛОВСКАЯ РЕДУКЦИЯ
401
q
p
n
,
,
q
p
m
,
,
)
(

)
(

)
(
1
t
x
X
X
t
x
t
x
m
j
j
j
)
(
ˆ
)
(
)
(
ˆ
s
u
s
H
s
y
)
(
ˆ
)
(

)
(
ˆ
s
u
s
H
s
y
C
A
sI
O
s
H
1
)
(
)
(
C
A
sI
O
s
H

)

(

)
(

1

0
)
1
(
1 1
1 1
)
(
)
(
j
j
j
n
n
C
OA
s
C
A
s
I
O
s
C
A
sI
O
s
H
0
)
1
(
1 1
1 1
)
(
)
(
j
j
j
n
n
C
OA
s
C
A
I
sA
O
C
A
sI
O
s
H
C
OA
j
C
OA
j
- моменты в окрестности бесконечности
(марковские коэффициенты)
- моменты в окрестности нуля
(тейлоровские коэффициенты)
)
,
1
,
0
(

j
)
,
2
,
1
(

j
МОМЕНТЫ ПЕРЕДАТОЧНОЙ ФУНКЦИИ
402

C
OA
j
XX
- ортопроектор на подпространство
C
A
C
A
XX
j
j
при
1
,
,
0
k
j

X
span
C
OA
C
AXX
AXX
OXX
C
X
AX
X
OX
C
A
O
j
j
j

)
(



,



C
OA
C
A
O
j
j
m
I
X
X
C
A
AC
C
span
X
span
k 1
,
,
,
}
{

СОХРАНЕНИЕ МОМЕНТОВ:
)
(
pk
m
1
,
,
0
k
j

СОХРАНЕНИЕ МОМЕНТОВ
403

C
OA
j
C
A
C
A
C
A
span
X
span
k
,
,
,
}
{
2 1

m
I
X
X
СОХРАНЕНИЕ МОМЕНТОВ:
,



C
OA
C
A
O
j
j
k
j
,
,
1 
)
(
pk
m
XX
- ортопроектор на подпространство
X
span
C
A
X
AX
X
C
X
j
j
)
(
C
A
X
C
X
AX
X
j
j
)
(
C
OA
C
A
OXX
C
X
AX
X
OX
C
A
O
j
j
j
j
)
(



k
j
,
,
1 
при
СОХРАНЕНИЕ МОМЕНТОВ
404

Cu
x
AX
dt
x
d
BX


x
OX
y


X
x
X
x

BX
X
B

C
X
C

OX
O

Выбираем
m
j
j
j
X
t
x
t
x
1
)
(

)
(
AX
X
A

Cu
Ax
dt
dx
B
Ox
y
u
C
x
A
dt
x
d
B





x
O
y



n
m
C
A
sB
O
s
H
1
)
(
)
(
C
A
B
s
O
s
H

)


(

)
(

1 405
m
m
I
X
X
X
X
X
*
1
,
,
,
КРЫЛОВСКАЯ РЕДУКЦИЯ (
PRIMA)

КРЫЛОВСКАЯ РЕДУКЦИЯ (
PRIMA)
0 1
1 1
1 1
1 1
)
(
)
(
)
(
j
j
j
n
C
A
B
A
O
s
C
A
I
B
sA
O
C
A
sB
O
s
H
)
,
1
,
0
(
)
(
1 1

j
C
A
B
A
O
j
- моменты в окрестности нуля
(тейлоровские коэффициенты)
0 1
1 1
1


)


(


)


(

)
(

j
j
j
C
A
B
A
O
s
C
A
B
s
O
s
H
)
,
1
,
0
(


)


(

1 1

j
C
A
B
A
O
j
- моменты в окрестности нуля редуцированной системы
C
A
B
A
C
A
B
A
C
A
span
X
span
k
1 1
1 1
1 1
)
(
,
,
)
(
,
}
{

m
I
X
X
)
(
pk
m
)
1
,
,
1
,
0
(


)


(

)
(
1 1
1 1
k
j
C
A
B
A
O
C
A
B
A
O
j
j

406

КРЫЛОВСКАЯ РЕДУКЦИЯ (
PRIMA)
BX
X
B

AX
X
A

C
X
C

OX
O

C
A
B
A
C
A
B
A
C
A
span
X
span
k
1 1
1 1
1 1
)
(
,
,
)
(
,
}
{

m
I
X
X
)
1
,
,
1
,
0
(


)


(

)
(
1 1
1 1
k
j
C
A
B
A
O
C
A
B
A
O
j
j

C
A
X
C
X
AX
X
1 1
)
(
C
A
X
AX
X
C
X
1
)
(
C
OA
C
A
OXX
C
X
AX
X
OX
C
A
O
1 1
1 1
)
(



C
BA
A
X
C
BA
X
AX
X
1 1
1 1
)
(
C
BA
OA
C
BA
A
OXX
C
BA
X
AX
X
OX
C
A
BXX
X
AX
X
OX
C
X
AX
X
BX
X
AX
X
OX
C
A
B
A
O
1 1
1 1
*
1 1
1 1
1 1
1 1
)
(
)
(
)
)(
(
)
(





407

ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТИ
2
/
1 2
2 2
/
1 2
2
)
(
ˆ
)
(
ˆ
2 1
)
(

)
(
d
y
y
dt
t
y
t
y
i i
)
(

)
(
)
(
s
s
s
2 2
2
)
(
ˆ
)
(
)
(
ˆ
)
(
ˆ
s
u
s
s
y
s
y
2
/
1 2
2 2
)
(
)
(i max
dt
t
u
2
/
1 2
2 2
)
(
ˆ
)
(
ˆ
2 1
)
(
max
d
u
u
i i
i
)
,
(
2
l
L
u
Пусть
}
,
,
{
,
)
(i max
1 2
N

408

ВЫЧИСЛЕНИЕ БАЗИСА В
ПОДПРОСТРАНСТВЕ КРЫЛОВА
U
M
U
M
MU
U
span
spanX
I
X
X
C
X
X
X
k
m
m
n
p
1 2
1
,
,
,
,
:
]
,...,
[

)
exp(
})
{
},
,
,
,
{
(
1
cj
U
M
span
U
M
MU
U
span
j
j

Ортогонализация Грама
-
Шмидта: и любая другая ортогонализация приведет к КАТАСТРОФИЧЕСКОЙ потере точности:
Найти
)
(
n
pk
m
)
(
:
1
U
ort
X
1 2
2 1
1
)
(
:
),
(
:
,
:
X
X
w
ort
X
w
X
X
w
w
MU
w

2
,
1
,
)
(
:
),
(
:
),
(
:
,
:
3 3
2 2
1 1
2
j
X
X
w
ort
X
w
X
X
w
w
w
X
X
w
w
U
M
w
j
B
A
M
C
A
U
1 1
,
409

)
(
1
U
ort
X
1 2
1 1
2 2
1 1
1
},
,
{
)
(
:
),
(
:
,
:
X
X
MX
X
span
X
w
ort
X
w
X
X
w
w
MX
w
МЕТОД АРНОЛЬДИ
410

2
,
1
,
},
,
,
{
)
(
:
),
(
:
),
(
:
,
:
3 1
2 1
1 3
3 2
2 1
1 2
j
X
X
X
M
MX
X
span
X
w
ort
X
w
X
X
w
w
w
X
X
w
w
MX
w
j
})
{
},
,
,
,
{
(
2 1
j
j
MX
span
X
X
X
span

})
{
},
,
,
,
{
(
1
U
M
span
U
M
MU
U
span
j
j


)
(
1
U
ort
X
k
i
for
,
,
1 
STOP
MX
tol
w
if
i 2 2
)
(
1
w
ort
X
i
end
i
MX
w
2
,
1
l
for
i
j
for
,
,
1 
)
(
w
X
X
w
w
j
j
end
end
ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ ЗАТРАТЫ:
)
(
2 2
вектор
на
M
умножений
pk
k
cnp
)
(G
ort
F
- ортогонализация с дефляцией, например, на основе сингулярного разложения
:
V
Zdiag
G
p
)
(
1

1 1
,
,
,
l
l
l
tol
Z
Z
F

МЕТОД АРНОЛЬДИ
411

m
m
m
I
X
Y
Y
Y
Y
X
X
X
*
1 1
,
,
,
,
,
,


AX
Y
A

C
Y
C

OX
O

Cu
Ax
dt
dx
Ox
y
u
C
x
A
dt
x
d




x
O
y



)
(
)
(

)
(

)
(
s
y
s
y
s
s
501
q
p
n
,
,
q
p
m
,
,
)
(

)
(

)
(
1
t
x
X
X
t
x
t
x
m
j
j
j
)
(
ˆ
)
(
)
(
ˆ
s
u
s
H
s
y
)
(
ˆ
)
(

)
(
ˆ
s
u
s
H
s
y
C
A
sI
O
s
H
1
)
(
)
(
C
A
sI
O
s
H

)

(

)
(

1
СБАЛАНСИРОВАННОЕ УСЕЧЕНИЕ

502
Формула Коши:
Cu
Ax
dt
dx
x
t
x
;
)
(
0 0
t
t
ds
s
Cu
A
s
t
t
x
A
t
t
t
x
0
)
(
}
)
exp{(
)
(
}
)
exp{(
)
(
0 0
Уравнение Ляпунова:
D
PA
P
A
*
виде
в
о
представим
и
о
единственн
решение
A
,
0
)
(
Re
СБАЛАНСИРОВАННОЕ УСЕЧЕНИЕ
0
*
}
exp{
}
exp{
dt
tA
D
tA
P
ZA
Z
A
dt
dZ
tA
D
tA
t
Z
ство
Доказатель
*
*
);
exp(
)
exp(
)
(
:

УПРАВЛЯЕМОСТЬ
ЗАДАЧА:
Достичь заданное состояние
x(0) с наименьшим по норме
u(t) :
)
0
(
)
(
}
exp{
0
x
dt
t
Cu
tA
min,
)
(
)
(
2
/
1 0
dt
t
u
t
u
u
2
/
1 1
1
)
0
(
)
0
(
),
0
(
}
exp{
)
(
x
P
x
u
x
P
tA
C
t
u
opt
opt
-
ГРАМИАН управляемости
0
}
exp{
}
exp{
0
dt
tA
CC
tA
P
РЕШЕНИЕ:
Cu
Ax
dt
dx
0
)
(
Re
A
CC
PA
AP
P
–
вырожденная в том и только том случае, если столбцы
C
принадлежат инвариантному подпространству матрицы
A
размерности
< n.
Если
P
вырожденная, то есть состояния, достичь которые нельзя.
503