Nechepurenko_ФТИ. Анализ больших нестационарных системю. М. Нечепуренкомфтифивт, кафедра фти

• Название: Анализ больших нестационарных системю. М. Нечепуренкомфтифивт, кафедра фти
• Анкор: Nechepurenko_ФТИ.pdf
• Дата: 19.06.2018
• Размер: 14.23 Mb.
• Имя файла: Nechepurenko_ФТИ.pdf
• Тип: Документы; #20470
• страница: 5 из 6

ТОЧНАЯ ЗАДАЧА УПРАВЛЕНИЯ
Теорема.
Пусть и Тогда решение задачи существует, единственно и представимо в виде где
При этом
,
,
0
,
)
(
)
(
0
*
r
*
T
*
I
U
U
D
UDU
dt
t
W
t
W
P
,
n
T
x
C
T
T
x
dt
t
u
t
W
0
)
(
)
(
min
)
(
)
(
2
/
1 0
T
dt
t
u
t
u
u
,
)
(
)
(
)
(
1
U
t
W
U
t
W
t
u
r
k
k
k
,
)
,
0
(
)
(
2
p
n
T
L
t
W
p
T
L
u
)
,
0
(
2 0
)
(
T
x
UU
I
Решение точной задачи управления, даже если
,
может оказаться очень большим по норме, а его вычисление –
подверженным значительному влиянию погрешностей округления.
).
,
(
)
,
(
*
*
1
T
T
x
U
x
U
D
D
u
*
1
T
x
U
D
705 0
)
(
T
x
UU
I

ПРИБЛИЖЕННАЯ ЗАДАЧА УПРАВЛЕНИЯ
2 2
0
)
(
)
(
T
T
T
x
x
dt
t
u
t
W
min
)
(
)
(
2
/
1 0
T
dt
t
u
t
u
u
Теорема.
Пусть и
Тогда решение приближенной задачи управления при существует, единственно и представимо в виде где
,
n
T
x
C
,
,
0
,
)
(
)
(
0
*
r
*
T
*
I
U
U
D
UDU
dt
t
W
t
W
/
)
(
2 2
0
T
T
x
x
UU
I
0
,
)
(
)
(
U
t
W
t
u
min
)
,
(
,
:
2 2
0 2
2
*
u
D
x
x
U
D
T
T
706

ПРИБЛИЖЕННАЯ ЗАДАЧА УПРАВЛЕНИЯ
1. Найти
2. Вычислить выбрать и найти где
3. Вычислить управление, решая обратно по времени сопряженную задачу
Коши
4.
Аппроксимировать найденное управление (например, линейным сплайном).
5. Проверить попадание в цель с «приближенным» управлением.
)
(
)
(
}
)
exp{(
)
(
0
,
,
)
(
*
t
C
t
u
U
A
t
T
t
t
T
A
dt
d
U
T
:
,
0
r
*
I
U
U
D
min,
)
,
(
,
:
2 2
0 2
2
D
x
D
T
,
*
T
x
U
,
/
)
(
2 2
0
T
T
x
x
UU
I
T
dt
tA
CC
tA
UDU
0
*
*
*
}
exp{
}
exp{
0
)
1
/(
)
(
2 0
2 0
2 707

ТЕХНОЛОГИЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ МАЛОГО РАЗМЕРА
T
T
dt
tA
CC
tA
P
0
}
exp{
}
exp{
}
exp{
,
}
exp{
}
exp{
,
2
)
0
A
E
dt
tA
CC
tA
P
T
a
r
,
)
2
*
2
д
т
и
E
E
E
E
P
E
P
P
b
ВЫЧИСЛЕНИЕ
Метод 1:
Метод 2:
*
T
T
T
E
P
E
P
P
и
CC
XA
AX
X
P
то
A
Если
*
:
,
0
)
(
Re
T
P
U
*
U
D
r
n
n
n
r
r
n
r
r
j
j
j
j
I
U
U
tol
d
d
*
15
)
10
(
max
/
min
708

ТЕХНОЛОГИЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ МАЛОГО РАЗМЕРА
ВЫЧИСЛЕНИЕ
min
)
,
(
,
:
2 2
D
D
709
min
,
)
arg(
1 2
2 2
2 1
2
r
k
k
k
r
k
k
k
k
k
k
k
y
d
y
d
y
2 2
2 1
2 1
2
)
;
(
r
k
k
k
k
r
k
k
k
y
d
y
d
y
L
0
)
1
(
|
|
)
(
,
1
|
|
0
,
0 2
2 2
1 2
2
r
k
k
k
k
k
k
d
F
d
y
d
dL
dy
dL
Уравнение решаем методом Ньютона, стартуя из точки
0
)
(
F
0

УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
)
(
)
(
),
(
)
(
1
,
2 1
1 0
0 2
1 1
t
u
t
x
t
u
t
x
n
j
h
x
x
x
dt
dx
n
j
j
j
j
)
1
/(
1 n
h
)
(
)
,
(
:
,
).
(
,
0
)
,
0
(
)
(
)
1
,
(
),
(
)
0
,
(
,
1 0
,
1 0
1 0
2 2
T
T
x
T
x
u
u
Найти
x
задано
x
t
u
t
x
t
u
t
x
x
t
x
1 0
0 0
0 1
1
,
2 1
1 1
1 2
1
,
,
,
2 2
1 0
1
h
C
h
A
u
u
u
x
x
x
Cu
Ax
dt
dx
n





801

ГРУБАЯ СЕТКА, НИЗКАЯ ТОЧНОСТЬ
5 3
15 10
,
1 0
,
10
,
10
,
100
T
tol
n
0.2156
/
0.2123 42 2
2
u
r
802
U
A
t
T
C
t
u
}
)
exp{(
)
(
*
2
: D
T
x
U
*

ГРУБАЯ СЕТКА, ВЫСОКАЯ ТОЧНОСТЬ
5 6
15 10
,
1 0
,
10
,
10
,
100
T
tol
n
59.86
/
0.2243 42 2
2
u
r
3 10 0.2156
/
0.2123 42 2
2
u
r
803
U
A
t
T
C
t
u
}
)
exp{(
)
(
*

МЕЛКАЯ СЕТКА, НИЗКАЯ ТОЧНОСТЬ
5 3
15 10
,
1 0
,
10
,
10
,
1000
T
tol
n
0.0216
/
0.2122 74 2
2
u
r
100
n
0.2156
/
0.2123 42 2
2
u
r
804
U
A
t
T
C
t
u
}
)
exp{(
)
(
*

5.8120
/
0.2240 74 2
2
u
r
5 6
15 10
,
1 0
,
10
,
10
,
1000
T
tol
n
МЕЛКАЯ СЕТКА, ВЫСОКАЯ ТОЧНОСТЬ
100
n
59.86
/
0.2243 42 2
2
u
r
805
U
A
t
T
C
t
u
}
)
exp{(
)
(
*

ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЦЕЛИ И УПРАВЛЕНИЯ
100
n
38.1 58.7 111.8 138.9 302.5 314.1 881.4 882.8 3649.8 3649.8 5
3 15 10
,
1 0
,
10
,
10
T
tol
10 1
j
806

ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЦЕЛИ И УПРАВЛЕНИЯ
1000
n
0.0256 0.0411 0.0665 0.1059 0.1700 0.2687 0.4286 0.6716 1.0638 1.6513 40 31
j
10 1
j
5 3
15 10
,
1 0
,
10
,
10
T
tol
5920 5940 12700 12710 30360 30360 86650 86650 358510 358510 807

5 3
15 10
,
1 0
,
10
,
10
,
100
,
1000
T
tol
n
n
contr
ИЩЕМ УПРАВЛЕНИЕ НА ГРУБОЙ СЕТКЕ,
ИСПОЛЬЗУЕМ ДЛЯ МЕЛКОЙ
1000
contr
n
0.2156
/
0.2123 42 2
2
u
r
0.0216
/
0.2122 74 2
2
u
r
808

НЕГЛАДКАЯ ЦЕЛЬ
5 2
15 10
,
1 0
,
10
,
10
,
100
T
tol
n
1037.8
/
9.7861 42 2
2
u
r
0.2156
/
0.2123 42 2
2
u
r
809

7 2
2 10 7.5
/
2293.
42
u
r
3 10
НЕГЛАДКАЯ ЦЕЛЬ
,
БОЛЬШАЯ ТОЧНОСТЬ
810

Изолинии поверхностного трения на
модели вертолета (
Eurocopter)
Ламинарный поток
Переход
Возвратное
течение
УПРАВЛЕНИЕ ТЕЧЕНИЯМИ ЖИДКОСТИ И ГАЗА
901
Анализ
тепловых потоков
Гиперзвуковой ЛА X
-43A
Промышленный расчет положения Л
-
Т перехода

устойчивое стационарное течение вторичное течение турбулентное течение
-
число Рейнольдса
t
)
(t
E
E
Re
Re
L
E
Re
Re
Re
Re
Re
L
любое возмущение
монотонно затухает
существуют сколь угодно
малые незатухающие
возмущения
Зависимость возможной эволюции энергии возмущения от
Re:
t
t
существуют сколь угодно
малые возмущения, которые
затухают немонотонно
)
(t
E
)
(t
E
ref
V
/
Re
h
ref
V
902
УПРАВЛЕНИЕ ТЕЧЕНИЯМИ ЖИДКОСТИ И ГАЗА

W
z
W
W
Пограничный слой Блазиуса
Более сложные задачи этого типа:
а) оребренная плоскость б) низкая ступенька либо неглубокая каверна в) выпуклая или вогнутая поверхность отрыв ламинарный пограничный слой л
- т переход турбулентный поток область циркуляции
кр
z
y
z
x
присоединение
903

В природе
Типичные профили риблет
Риблеты
(от «
riblets
»)
- системы продольных бороздок различной формы, располагаемых на обтекаемых поверхностях. Широко применяются природой и в технике как для пассивного управления ламинарно
- турбулентным переходом, так и для уменьшения турбулентного трения.
УПРАВЛЕНИЕ ТЕЧЕНИЯМИ ЖИДКОСТИ И ГАЗА
904

W
Неоднородный поток
Усложнения те же:
а) оребренная плоскость б) низкая ступенька либо неглубокая каверна в) выпуклая или вогнутая поверхность отрыв ламинарный пограничный слой л
- т переход турбулентный поток область циркуляции
кр
кр
z
zˆ
y
z
x
%
1
%
30 20
присоединение
905

ОДНОГО ВОЗМУЩЕНИЯ
Появление малого возмущения, являющегося суперпозицией
нескольких мод с малыми инкрементами затухания и достаточно
большими частотами. В результате нелинейного взаимодействия
этих мод образуется вторичное периодическое течение.
ДВУХ РАЗНЕСЕННЫХ ВО ВРЕМЕНИ ВОЗМУЩЕНИЙ
1. За счет малого возмущения с временно нарастающей энергией
создается квазистационарное состояние.
2. Это квазистационарное состояние линейно неустойчиво к малым
возмущениям другого типа, одно из которых и вызывает
перестройку течения.
СЦЕНАРИИ ПОТЕРИ УСТОЙЧИВОСТИ
ГИДРОДИНАМИЧЕСКИМИ ТЕЧЕНИЯМИ
L
E
Re
Re
Re
L
Re
Re
906

СПОСОБЫ ИССЛЕДОВАНИЯ
УСТОЙЧИВОСТИ
1. Физический эксперимент.
2. Прямое численное моделирование.
3. Построение для обнаруженных эффектов сравнительно простых моделей, адекватно описывающих потерю устойчивости и Л
-
Т переход.
Простейшая модель потери устойчивости в пограничном слое
z
y
x
)
(z
W
)

(

z
W
)
Re( z
y

x

z
)
(Re
Re
1
L
кр
z
907

)
,
,
(
w
v
u
v
h
t
t
l
p
p
/
:
,
/
:
),
/(
:
,
/
:
,
/
:
ref
2
ref ref ref
v
r
r
v
v
v
v
v
v
v
длины
и
скорости
нормировки
l
,
ref
v
908 0
,
1
)
(
v
v
v
v
v
p
t
0
,
Re
1
)
(
v
v
v
v
v
p
t

0
'
,
'
'
Re
1
)
'
(
'
)
(
'
)
'
(
'
v
v
V
v
v
V
v
v
v
p
t
течение
ое
стационарн
W
V
U
)
,
,
(
V
Re
Re
Re
Re
L
E
возмущение
w
v
u
)
'
,
'
,
'
(
'
v
909
'
v
V
v
0
,
Re
1
)
(
v
v
v
v
v
p
t
'
p
P
p
0
,
Re
1
)
(
0
V
V
V
V
P

КАНАЛ КВАДРАТНОГО СЕЧЕНИЯ
u
x
p
z
u
W
t
u
Re
1
v
y
p
z
v
W
t
v
Re
1
w
z
p
v
y
W
u
x
W
t
w
Re
1 0
z
w
y
v
x
u
x
y
z
)
,
0
,
0
(
W
0
,
2 2
2 2
W
y
W
x
W
)
(
)
,
,
(
2
O
w
v
u
Профиль основного течения:
Уравнения для линейной части отклонений:
y
Вдув
- отсос:
1
)
,
(
max
:
y
x
W
x
)
,
,
,
1
(
t
z
y
u
)
,
,
,
1
(
t
z
y
u
)
,
,
1
,
(
t
z
x
v
)
,
,
1
,
(
t
z
x
v
1001

КАНАЛ КВАДРАТНОГО СЕЧЕНИЯ
),
exp(
)
,
,
(
)
,
,
,
(
),
exp(
)
,
,
(
)
,
,
(
)
,
,
(
)
exp(
)
,
,
,
(
)
,
,
,
(
)
,
,
,
(
z
t
y
x
p
t
z
y
x
p
z
t
y
x
w
t
y
x
v
t
y
x
u
z
t
z
y
x
w
t
z
y
x
v
t
z
y
x
u
i
i
i
v
d d
4 1
d d
d
Real
Real
Real
4
/
2 0
2 2
2 2
2 2
y
x
w
v
u
z
y
x
w
v
u
)
exp(
)
,
(
)
,
,
,
1
(
z
t
y
t
z
y
u
u
i
Решение ищем в виде:
Средняя энергия вещественной части возмущения, приходящаяся на единицу длины канала
)
exp(
)
,
(
)
,
,
1
,
(
z
t
x
t
z
x
v
v
i
Гармонический по z вдув
- отсос:
1002
Физический смысл имеют только вещественные части. Мнимые части введены для удобства представления гармонических возмущений.