Курсовая работа по информатике.. Аппроксимация функции методом наименьших квадратов
 Скачать 229.38 Kb.
|
Расчётные формулы.Часто при анализе эмпирических данных возникает необходимость найти функциональную зависимость между величинами x и y, которые получены в результате опыта или измерений. Хi (независимая величина) задается экспериментатором, а yi, называемая эмпирическими или опытными значениями получается в результате опыта. Аналитический вид функциональной зависимости, существующей между величинами x и y обычно неизвестен, поэтому возникает практически важная задача - найти эмпирическую формулу  , (1)(где  - параметры), значения которой при возможно мало отличались бы от опытных значений .Согласно методу наименьших квадратов наилучшими коэффициентами считаются те, для которых сумма квадратов отклонений найденной эмпирической функции от заданных значений функции  (2)будет минимальной. Используя необходимое условие экстремума функции нескольких переменных – равенство нулю частных производных, находят набор коэффициентов , которые доставляют минимум функции , определяемой формулой (2) и получают нормальную систему для определения коэффициентов  : (3) Таким образом, нахождение коэффициентов  сводится к решению системы (3).Вид системы (3) зависит от того, из какого класса эмпирических формул мы ищем зависимость (1). В случае линейной зависимости система (3) примет вид:   (4)В случае квадратичной зависимости  система (3) примет вид: (5) В ряде случаев в качестве эмпирической формулы берут функцию, в которую неопределенные коэффициенты входят нелинейно. При этом иногда задачу удается линеаризовать т.е. свести к линейной. К числу таких зависимостей относится экспоненциальная зависимость  (6) где a1и a2 неопределенные коэффициенты.Линеаризация достигается путем логарифмирования равенства (6), после чего получаем соотношение  (7) Обозначим  и  соответственно через  и  , тогда зависимость (6) может быть записана в виде  , что позволяет применить формулы (4) с заменой a1 на и  на  .График восстановленной функциональной зависимости y(x) по результатам измерений (xi, yi), i=1, 2…, n называется кривой регрессии. Для проверки согласия построенной кривой регрессии с результатами эксперимента обычно вводят следующие числовые характеристики: коэффициент корреляции (линейная зависимость), корреляционное отношение и коэффициент детерминированности. Коэффициент корреляции является мерой линейной связи между зависимыми случайными величинами: он показывает, насколько хорошо в среднем может быть представлена одна из величин в виде линейной функции от другой. Коэффициент корреляции вычисляется по формуле:  (8) (9)где  - среднее арифметическое значение соответственно по x, y.Коэффициент корреляции между случайными величинами по абсолютной величине не превосходит 1. Чем ближе  к 1, тем теснее линейная связь между x и y.В случае нелинейной корреляционной связи условные средние значения располагаются около кривой линии. В этом случае в качестве характеристики силы связи рекомендуется использовать корреляционное отношение, интерпретация которого не зависит от вида исследуемой зависимости. Корреляционное отношение вычисляется по формуле:  (10) где  а числитель характеризует рассеяние условных средних около  безусловного среднего .Всегда  . Равенство  = соответствует случайным некоррелированным величинам; = тогда и только тогда, когда имеется точная функциональная связь между xи y. В случае линейной зависимости y от x корреляционное отношение совпадает с квадратом коэффициента корреляции. Величина  используется в качестве индикатора отклонения регрессии от линейной.Корреляционное отношение является мерой корреляционной связиyc x в какой угодно форме, но не может дать представления о степени приближенности эмпирических данных к специальной форме. Чтобы выяснить насколько точно построен5ная кривая отражает эмпирические данные вводится еще одна характеристика - коэффициент детерминированности. Коэффициент детерминированности определяется по формуле:  (11) где Sост =  - остаточная сумма квадратов, характеризующая отклонение экспериментальных данных от теоретических.Sполн  - полная сумма квадратов, где среднее значение yi. - регрессионная сумма квадратов, характеризующая разброс данных.Чем меньше остаточная сумма квадратов по сравнению с общей суммой квадратов, тем больше значение коэффициента детерминированности r2, который показывает, насколько хорошо уравнение, полученное с помощью регрессионного анализа, объясняет взаимосвязи между переменными. Если он равен 1, то имеет место полная корреляция с моделью, т.е. нет различия между фактическим и оценочным значениями y. В противоположном случае, если коэффициент детерминированности равен 0, то уравнение регрессии неудачно для предсказания значений y. Коэффициент детерминированности всегда не превосходит корреляционное отношение. В случае, когда выполняется равенство  то можно считать, что построенная эмпирическая формула наиболее точно отражает эмпирические данные. |