Курсовая работа по информатике.. Аппроксимация функции методом наименьших квадратов

Название	Аппроксимация функции методом наименьших квадратов
Анкор	Курсовая работа по информатике
Дата	17.05.2023
Размер	229.38 Kb.
Формат файла
Имя файла	Karimov_Kursach_infa.docx
Тип	Пояснительная записка #1138540
страница	4 из 5

1 2 3 4 5

Расчёт с помощью таблиц, выполненных средствами Microsoft Excel.

Для проведения расчётов данные целесообразно расположить в виде таблицы 2, используя средства табличного процессора Microsoft Excel.

0,77	0,56	0,5929	0,4312	0,456533	0,35153	0,332024	-0,57982	-0,44646
1,45	2,08	2,1025	3,016	3,048625	4,420506	4,3732	0,732368	1,061933
1,76	3,04	3,0976	5,3504	5,451776	9,595126	9,416704	1,111858	1,956869
2,23	2,76	4,9729	6,1548	11,08957	24,72973	13,7252	1,015231	2,263964
2,65	3,65	7,0225	9,6725	18,60963	49,31551	25,63213	1,294727	3,431027
2,76	7,06	7,6176	19,4856	21,02458	58,02783	53,78026	1,954445	5,394268
3,45	14,98	11,9025	51,681	41,06363	141,6695	178,2995	2,706716	9,33817
3,89	15,98	15,1321	62,1622	58,86387	228,9805	241,811	2,771338	10,7805
4,87	23,22	23,7169	113,0814	115,5013	562,4913	550,7064	3,145014	15,31622
5,04	26,12	25,4016	131,6448	128,0241	645,2413	663,4898	3,262701	16,44401
5,54	28,76	30,6916	159,3304	170,0315	941,9743	882,6904	3,358986	18,60878
5,81	30,76	33,7561	178,7156	196,1229	1139,474	1038,338	3,426215	19,90631
6,98	45,76	48,7204	319,4048	340,0684	2373,677	2229,446	3,82341	26,6874
7,34	50,87	53,8756	373,3858	395,4469	2902,58	2740,652	3,929273	28,84087
7,86	60,45	61,7796	475,137	485,5877	3816,719	3734,577	4,101817	32,24028
8,12	65,87	65,9344	534,8644	535,3873	4347,345	4343,099	4,187683	34,00399
8,87	77,85	78,6769	690,5295	697,8641	6190,055	6124,997	4,354784	38,62693
9,45	86,09	89,3025	813,5505	843,9086	7974,937	7688,052	4,455393	42,10347
10,87	101,65	118,1569	1104,936	1284,366	13961,05	12010,65	4,621536	50,23609
11,23	124,37	126,1129	1396,675	1416,248	15904,46	15684,66	4,823261	54,16522
11,89	130,75	141,3721	1554,618	1680,914	19986,07	18484,4	4,873287	57,94338
12,56	149,56	157,7536	1878,474	1981,385	24886,2	23593,63	5,007698	62,89668
13,43	172,45	180,3649	2316,004	2422,301	32531,5	31103,93	5,150107	69,16594
13,55	175,51	183,6025	2378,161	2487,814	33709,88	32224,07	5,167696	70,02228
14,76	200,54	217,8576	2959,97	3215,578	47461,93	43689,16	5,301014	78,24296
177,13	1600,69	1689,517	17536,43	18556,16	219852,7	207313,9	83,99674	749,2311
x	y	x^2	*xy**	x^3	x^4	*(x^2)y**	lny	*xlny**

Таблица 2.

Пояснение к таблице 2.

Шаг 1.В ячейки А1:A25 заносим значения x_i_.

Шаг 2.В ячейки B1:B25 заносим значения у_i_.

Шаг 3.В ячейку С1 вводим формулу=А1^2.

Шаг 4.В ячейки С1:С25 эта формула копируется.

Шаг 5.В ячейку D1 вводим формулу=А1*B1.

Шаг 6.В ячейки D1:D25 эта формула копируется.

Шаг 7.В ячейку F1 вводим формулу=А1^4.

Шаг 8.В ячейки F1:F25 эта формула копируется.

Шаг 9.В ячейку G1 вводим формулу=А1^2*B1.

Шаг 10.В ячейки G1:G25 эта формула копируется.

Шаг 11.В ячейку H1 вводим формулу=LN(B1).

Шаг 12.В ячейки H1:H25 эта формула копируется.

Шаг 13.В ячейку I1 вводим формулу=А1*LN(B1).

Шаг 14.В ячейки I1:I25 эта формула копируется.

Последующие шаги делаем с помощью авто суммирования .

Шаг 15. В ячейку А26 вводим формулу=СУММ(А1:А25).

Шаг 16. В ячейку В26 вводим формулу=СУММ(В1:В25).

Шаг 17. В ячейку С26 вводим формулу=СУММ(С1:С25).

Шаг 18. В ячейку D26 вводим формулу=СУММ(D1:D25).

Шаг 19. В ячейку E26 вводим формулу=СУММ(E1:E25).

Шаг 20. В ячейку F26 вводим формулу=СУММ(F1:F25).

Шаг 21. В ячейку G26 вводим формулу=СУММ(G1:G25).

Шаг 22. В ячейку H26 вводим формулу=СУММ(H1:H25).

Шаг 23. В ячейку I26 вводим формулу =СУММ(I1:I25).

Аппроксимируем функцию

линейной функцией

. Для определения коэффициентов

воспользуемся системой (4). Используя итоговые суммы таблицы 2, расположенные в ячейках A26, B26, C26 и D26, запишем систему (4) в виде

(11)
решив которую, получим a1 = -36,9917 и a2 = 14,2578

Систему решали методом Крамера. Суть которого состоит в следующем. Рассмотрим систему n алгебраических линейных уравнений с n неизвестными:

(12)

Определителем системы называется определитель матрицы системы:

(13)

Обозначим

- определитель, который получится из определителя системы Δ заменой j-го столбца на столбец

(14)

Таким образом, линейная аппроксимация имеет вид

y = 14,258x-36,992 (15)
Решение системы (11) проводим, пользуясь средствами Microsoft Excel. Результаты представлены в таблице 3.

Таблица 3.

25	177,13	1600,69
177,13	1689,517	17536,43

Обратная матрица			a1=		-36,9917
0,155531186	-0,01631		a2=	14,25779
-0,016305988	0,002301

В таблице 3 в ячейках A32:B33 записана формула {=МОБР(А28:В29)}.

В ячейках Е32:Е33 записана формула {=МУМНОЖ(А32:В33),(C28:С29)}.

Далее аппроксимируем функцию

квадратичной функцией

. Для определения коэффициентов a₁, a₂ и a₃ воспользуемся системой (5). Используя итоговые суммы таблицы 2, расположенные в ячейках A26, B26, C26 , D26, E26, F26, G26 запишем систему (5) в виде

(16)
решив которую, получим a1 = -1,39325, a2 = 0,70294 и a3 = 0,894344

Таким образом, квадратичная аппроксимация имеет вид

y =0,8943x^2+0,7029x-1,3933 (17)

Решение системы (16) проводим, пользуясь средствами Microsoft Excel. Результаты представлены в таблице 4.

Таблица 4.

25	177,13	1689,517	1600,69
177,13	1689,517	18556,16	17536,43
1689,5167	18556,16	219852,7	207313,9

Обратная матрица
0,425826829	-0,11923	0,006791		a1=	-1,39325
-0,119226748	0,041491	-0,00259		a2=	0,70294
0,006790678	-0,00259	0,000171		a3=	0,894344

В таблице 4 в ячейках А41:С43 записана формула {=МОБР(А35:С37)}.

В ячейках F41:F43 записана формула {=МУМНОЖ(А41:C43),(D36:D38)}.

Теперь аппроксимируем функцию

экспоненциальной функцией

. Для определения коэффициентов

прологарифмируем значения

и, используя итоговые суммы таблицы 2, расположенные в ячейках A26, C26, H26 и I26, получим систему

(18)

где

.

Решив систему (18), получим c = 0,847159 и a2 = 0,354642.

После потенцирования получим a1 = 2,33301.

Таким образом, экспоненциальная аппроксимация имеет вид

y = 2,333e^0,3546^x (19)

Решение системы (18) проводим, пользуясь средствами Microsoft Excel. Результаты представлены в таблице 5.

Таблица 5.

25	177,13	83,99674
177,13	1689,517	749,2311

Обратная матрица			c		0,847159
0,155531186	-0,01631		a2	0,354642
-0,016305988	0,002301		a1	2,33301

В таблице 5 в ячейках А50:A51 записана формула {=МОБР(А46:B47)}.

В ячейках Е49:Е50 записана формула {=МУМНОЖ(A50:B51;C46:C47)}

В ячейке Е51 записана формула=EXP(E49).
Вычислим среднее арифметическое

по формулам:

;

.
Результаты расчета

средствами Microsoft Excel представлены в таблице 6.
Таблица 6.

Хср.=	7,0852
Yср.=	64,0276

В ячейке В54 записана формула=А26/25.

В ячейке В55 записана формула=В26/25
Для того, чтобы рассчитать коэффициент корреляции и коэффициент детерминированности данные целесообразно расположить в виде таблицы 7, которая является продолжением таблицы 2.

0,77	0,56	400,8106	39,88175	4028,136	706,1335	0,777451	6,277881
1,45	2,08	349,0871	31,75548	3837,505	338,4819	0,329052	3,318276
1,76	3,04	324,7712	28,35776	3719,487	223,1428	0,181269	1,729278
2,23	2,76	297,4665	23,57297	3753,719	63,31073	3,466255	5,687874
2,65	3,65	267,7867	19,671	3645,455	8,171216	9,610439	5,388325
2,76	7,06	246,3963	18,70736	3245,307	22,09167	0,089771	0,724502
3,45	14,98	178,2978	13,21468	2405,667	7,74122	10,91098	49,7001
3,89	15,98	153,5217	10,2093	2308,572	6,205685	1,222152	45,03236
4,87	23,22	90,397	4,907111	1665,26	85,0776	0,000447	101,9759
5,04	26,12	77,52862	4,182843	1436,986	76,52008	1,569158	148,4227
5,54	28,76	54,4955	2,387643	1243,804	175,2041	1,41584	146,8673
5,81	30,76	42,42284	1,626135	1106,733	227,5895	4,496107	154,9193
6,98	45,76	1,921752	0,011067	333,7052	281,1551	1,758483	325,0346
7,34	50,87	-3,35256	0,064923	173,1224	281,9204	1,165666	374,8982
7,86	60,45	-2,77192	0,600315	12,79922	213,877	1,136173	509,0236
8,12	65,87	1,906516	1,070811	3,394438	166,7083	6,694268	591,5519
8,87	77,85	24,67022	3,185511	191,0587	135,1382	6,990427	558,928
9,45	86,09	52,17316	5,592279	486,7495	135,8253	0,947297	380,3205
10,87	101,65	142,3933	14,32471	1415,445	267,0109	105,4862	72,76785
11,23	124,37	250,1072	17,17937	3641,205	1,554329	25,81543	0,663738
11,89	130,75	320,5878	23,0861	4451,879	3,180557	7,022657	753,4505
12,56	149,56	468,2728	29,97344	7315,791	55,85876	1,078067	2608,183
13,43	172,45	687,9184	40,25649	11755,42	322,5471	9,575656	10139,49
13,55	175,51	720,7114	41,79364	12428,33	372,8245	10,07792	11992,48
14,76	200,54	1047,705	58,90256	18635,64	733,6916	10,77045	56274,61
177,13	1600,69	6195,225	434,5152	93241,16	4910,962	222,5877	85251,45
x	y	*(x-xср)(y-yср)**	(x-xср)^2	(y-yср)^2	линейн.	квадр.	экспон.

Таблица 7.
Пояснение к таблице 7.

Ячейки А1:А26 и В1:В26 уже заполнены .

Далее делаем следующие шаги.

Шаг 1.В ячейку J1 вводим формулу=(A1-$B$54)*(B1-$B$55).

Шаг 2.В ячейки J2:J25 эта формула копируется.

Шаг 3.В ячейку K1 вводим формулу=(A1-$B$54)^2.

Шаг 4.В ячейки k2:K25 эта формула копируется.

Шаг 5.В ячейку L1 вводим формулу=(B1-$B$55)^2.

Шаг 6.В ячейки L2:L25 эта формула копируется.

Шаг 7.В ячейку M1 вводим формулу=($F$32+$F$33*A1-B1)^2.

Шаг 8.В ячейки M2:M25 эта формула копируется.

Шаг 9.В ячейку N1 вводим формулу=($F$41+$F$42*A1+$F$43*A1^2-B1)^2.

Шаг 10.В ячейки N2:N25 эта формула копируется.

Шаг 11.В ячейку O1 вводим формулу=($F$51*EXP($F$50*A1)-B1)^2.

Шаг 12.В ячейки O2:O25 эта формула копируется.

Последующие шаги делаем с помощью авто суммирования .

Шаг 13.В ячейку J26 вводим формулу =CУММ(J1:J25).

Шаг 14.В ячейку K26 вводим формулу =CУММ(K1:K25).

Шаг 15.В ячейку L26 вводим формулу =CУММ(L1:L25).

Шаг 16.В ячейку M26 вводим формулу =CУММ(M1:M25).

Шаг 17.В ячейку N26 вводим формулу =CУММ(N1:N25).

Шаг 18.В ячейку O26 вводим формулу =CУММ(O1:O25).

Теперь проведем расчеты коэффициента корреляции по формуле (8) (только для линейной аппроксимации) и коэффициента детерминированности по формуле (10). Результаты расчетов средствами Microsoft Excel представлены в таблице 8.

Коэффициент корреляции	0,973309
Коэффициент детерминированности (линейная аппроксимация)	0,947331
Коэффициент детерминированности (квадратичная аппроксимация)	0,997613
Коэффициент детерминированности (экспоненциальная аппроксимация)	0,085689

Таблица 8.
В ячейке B57 записана формула=J26/(K26*L26) ^ (1/2).

В ячейке B58 записана формула=1-M26/L26.

В ячейке B59 записана формула=1-N26/L26.

В ячейке B60 записана формула=1-O26/L26.

Анализ результатов расчетов показывает, что квадратичная аппроксимация наилучшим образом описывает экспериментальные данные.

1 2 3 4 5