Аспекты социологии научного познания в физике Поздняк Н.И. 10.02.22 1.22 Аспекты социология научного познания в физике. Аспекты социологии научного познания в физике Введение
 Скачать 1.97 Mb.
|
|
5. Аспекты физики конденсированного состояния вещества (физика твердого тела) Говоря о материи вещественной (неживой или живой, а не мнимой кварки, глюоны, бозоны Хиггса), имеет смысл остановиться на свойствах и строении твердого тела, по-другому, физика конденсированных сред. Когда идет обсуждение физических свойств конкретного вещества, нет необходимости вспоминать о кварках и глюонах, так как, взаимодействие атомов и молекул происходит только через электромагнитные силы. В зависимости от структуры и физических свойств вещества в конденсированном состоянии делят на классы кристаллы (периодические, непериодические и биоматерию. К периодическим системам относят металлы и их сплавы, ионные и молекулярные решетки, кристаллические полупроводники, жидкие кристаллы. Системы с нарушенной структурной периодичностью стекла и керамика, аморфные металлы и полупроводники. К биоматерии можно отнести биополимеры, органические вещества, нуклеиновые кислоты. Число известных кристаллических структур более ста тысяч, из которых более 89% органические. Разделяют их по химическому составу, типу химической связи и пространственной конфигурации, а также, по параметрам колебаний относительно равновесного положения (период, частота, эллипсоидность смещения, которые зависят от температуры. Для всех веществ, кроме жидкого гелия, амплитуды нулевых (близких к 0 К) колебаний атомов меньше межатомных расстояний. У гелия эти нулевые колебания соизмеримы с расстояниями между атомами, что объясняет невозможность отвердевания гелия (квантовая жидкость. При положительных температурах возбужденное состояние решетки реализуется через квантовые переходы всего объема так для описания теплового колебаний решетки диэлектрика используется модель квазичастиц, 74 названная Я.Френкелем (1894-1952), фононами. Для описания возбужденного состояния металлической решетки используется квазичастицы (фермиевские электроны) электронного облака (ферми жидкости. Так как квазичастицы обладают энергией и квазиимпульсом, то появляется возможность описывать состояние системы через энергетические спектры поведения квазичастиц в кристалле. Используя модель фермиевских электронов удалось теоретически описать основные свойства металлов теплопроводность, оптические свойства, электропроводность и магнитные свойства. Однако, эти свойства сильно различаются для массивного и тонкопленочного, то есть, поверхностного состояния. Более того, многокомпонентные гетерогенные системы (гетерополупроводники, композитные сверхпроводники) резко отличаются по физическим свойствам от гомогенных компонентов в их составе. На основе гетерогенных полупроводников получены оптические квантовые генераторы различных длин волн, детекторы и фотоприемники с фотопамятью, светодиоды, солнечные батареи, тепловизоры, генераторы и приемники линии волоконно- оптической связи и др. Явление сверхпроводимости был открыт Х.К.Оннессом (1853-1926) (ртуть, 1911 г) для металлов при температуре жидкого гелия (К. При низкой температуре колебания решетки незначительны и создаются условия спаривания двух электронов (куперовские пары и во всем кристалле все электронные пары находятся в одинаковом квантовом состоянии, что и определяет отсутствие электрического сопротивления. Задача по созданию высокотемпературных сверхпроводников является одной из актуальных проблем современной физики, так как, сверхпроводники имеют очень широкий диапазон применения физика высоких энергий, медицина, астрофизика, ж/д транспорт и др. В настоящее время на основе сплавов лантонидов и никеля получена температура перехода в сверхпроводящее состояние К. Сверхпроводники критичны к величине силы тока, то есть, к 75 напряженности магнитного поля при превышении порога силы тока магнитное поле проникает внутрь проводника и эффект сверхпроводимости пропадает. Из учебников и повседневной жизни известно, что некоторые вещества могут быть в трех агрегатных состояниях некоторые в двух или водном правда, существует четвертое состояние (высокотемпературная плазма) и, даже, пятое состояние (конденсат Бозе-Эйнштейна). Более того, все понимают, что состояние вещества зависит от сил взаимодействия между атомами и молекулами, которые, в свою очередь зависят от вещества и расстояния между атомами и молекулами. Но расстояния зависят от скорости движения атомов и молекула значит от температуры. Однако, имеются вещества, состоящие из одинаковых атомов или одинаковых молекул, нос различными структурными и физическими свойствами. Среди всех твердых веществ особый интерес вызывают свойства и их причины кристаллического состояния вещества, например, металлов или минералов. На первый взгляд, все дело в периодичности построения решетки, что совсем не очевидно, так как даже в электронном микроскопе структура вещества не просматривается, ввиду, малости частиц. Методами квантомеханического анализа удалось объяснить спектральные и рентгеновские дифракционные эксперименты, которые однозначно свидетельствовали о периодической структуре монокристаллов, построенных из одинаковых элементарных ячеек. Их структурная форма зависит от химической связи (металлическая, ионная, диполь-дипольная, ковалентная, водородная) между ближайшими элементами атомами и молекулами. Например, ионный монокристалл натрий хлор состоит из гранецентрированных кубических ячеек. Различают разновидности элементарных ячеек, которых насчитывается всего 14, а наиболее известные г.ц.к. – гранецентрированная кубическая (KCl, Ki, AgCl, Ag, Au, Cu, Pb, Ni и др 76 о.ц.к. - объемноцентрированная кубическая (TlBr, TlI, LiHg, Na, Mo, Fe, Cs и др гекс.п.у. - гексагональная с плотной упаковкой (Zn, Mg, Cd, Be, Zr и др. В природе кристаллические минералы формировались очень медленно в условиях высокой температуры и давления, с участием или отсутствием газовой среды. Сегодня этот принцип используется для выращивания монокристаллов, используемых в быту (украшения) и промышленности оптические материалы, в том числе, для квантовых генераторов, полупроводников, детекторов ядерных микрочастиц и др. При нарушении указанных условий вместо монокристаллов получим аморфное состояние вещества (стекло, аморфные металлы и др, или аллотропные структуры графит, алмаз, сажа, красный и белый фосфор и др. физические свойства металлов резко отличаются от свойств неметаллов твердость, плотность, механическая прочность, оптические свойства, электропроводность, тепловые свойства и др. Высокую электропроводность металлов П.Друде (1863-1906) в 1900 г. объяснил наличием свободных электронов внутри жесткой кристаллической решетки, в узлах которой находятся ионы металла. При этом, решетка, как единая система, имея положительный заряд, взаимодействует с электронным облаком, тоже единой, отрицательно заряженной, системой. Это взаимодействие и есть – металлическая связь. Более обстоятельную теорию электропроводности металлов дал Х.А.Лоренц (1853-1928, НП). Эта теория относительно хорошо объясняла проводимость и теплопроводность металлов, ноне дает связи этих явлений, что несколько позже позволила объяснить квантовомеханическая концепция. По теории Лоренца свободные электроны в электрическом поле решетки сталкиваются между собой и ионами металла, при этом свою основную энергию движения электроны передают решетке, то есть ионам. При своем движении электроны в столкновениях теряют диффузную среднюю скорость, хотя, мгновенная скорость электронов достаточно большая, сравним 0,1 ÷ 1 мм/с 77 и 10 5 мс. В классической теории электронной проводимости металлов использовались классические методы расчетов рассеяния электронов на ионах решетки и максвелловское распределение скоростей движения свободных электронов. Электроны в электрическом поле ускоряются до момента столкновения или рассеивания, что не позволяет электронам двигаться с большой скоростью прямолинейно. Экспериментально полученные значения удельного сопротивления проводника, например, меди, в несколько раз меньше расчетного значения, в котором удельное сопротивление пропорционально средней скорости электронов, то есть, пропорционально Т. Но, из экспериментов следует удельное сопротивление зависит температуры линейно. Классическая модель электропроводности не может объяснить проводимость диэлектриков, полупроводников, сверхпроводников, так как не учитывает квантового характера поведения электронов, то есть их волновые свойства. Оказывается, рассеивание электронной волны де Бройля (1892-1987, НП) на периодической структуре решетке кристалла зависит от наличия дефектов решетки примесные атомы, сколы, ступеньки, вакансии, трещины и др, то есть отклонение от идеальной решетки. Кроме того, классическая модель электропроводности не может объяснить различие теоретических расчетов и эксперимента в определении теплоемкости металлов при разных температурах. По статистике Максвелла-Больцмана молярная теплоемкость металла складывается из энергии колебательного движения решетки 3R, где R = nN A = 1,38*10 -23 * 6,02*10 23 = 8,31 Дж/моль К (n = 1,38*10 -23 - постоянная Больцмана, N A = 6,02*10 23 моль – число Авагадро) – газовая постоянная и энергии свободных электронов 3R/2. Из экспериментов следует, что вклад теплоемкости электронного газа составляет всего 0,02R при Т=300К для меди. При температуре Т = Кв классическом варианте энергия колебания 78 решетки и электронов тоже равны нулю. В квантомеханическом подходе энергия электронов неравна нулю и все электроны находятся на нижнем энергетическом уровне по два электрона с противоположно направленными спинами, согласно принципу В.Паули (1900-1958, НП). Таким образом, рассмотрение поведение электронов в веществе методами квантовой механики учитывает волновые свойства микрочастиц. В рамках классической механики нельзя было объяснить вероятностное поведение микрообъектов, а тем более их волновые свойства. Несмотря на абстрактность квантовомеханических принципов, методами статистической обработки экспериметальных фактов удалось получить конкретноосязаемые результаты, объясняющие многочисленных эффекты и явления в микромире, которые были использованы на практике при создании принципиально новой электронной техники. Однако, методически при описании явлений микромира приходится пользоваться подходами классической механики, хотя и ограничено. В квантовой механике для выяснения поведения и взаимодействия микрообъектов приходиться мириться с непредсказуемыми вероятностными событиями, но которые с помощью математического аппарата и косвенных экспериментов позволяют раскрыть закономерности микромира. Анализируя корпускулярно – волновую природу света Луи де Бройль (1892 – 1987, НП) выдвинул гипотезу корпускулярно – волнового дуализма не только для света, но и для электронов и других частиц. Если частица обладает волновыми свойствами, то основные ее физические характеристики длина волны, частота и скорость распространения. Если частица корпускула, то ее характеристики масса, импульс и энергия. Согласно положения квантовой механики движущуюся микрочастицу можно рассматривать как волну Де Бройля, которая характеризуется волновым вектором k. Этот вектор определяет направление и модуль волны 79 k = 2𝜋 𝜆 . Энергия и импульс частицы ЕР, то есть волна обладает корпускулярными свойствами, а частица обладает волновыми свойствами. Так как для нерелятивистской частицы ЕР, то ħ𝜔 = (ħk) 2 2𝑚 = (2πħ) 2 2𝑚𝜆 2 , то длина волны де Бройля: λ =√ 2ħ𝜋 2 𝑚𝜔 = Е. Для фотона Е = 2πνħ = си 2πсħ Е Подтверждением того, что отдельные электроны обладают волновыми свойствами явились эксперименты В.Фабриканта (1907 – 1991), получивших дифракционные снимки при рассеянии слабого потока электронов на кристаллической решетке тонкого слоя металла. Позже подобная дифракция была получена для пучков протонов, нейтронов, атомов и молекул. Однако, для макроскопических тел волновые свойства исчезающе малы. Например, для частицы массой в 10 -6 г и скорости 10 3 мс, длина волны де Бройля составляет менее 10 -27 м. Фотон энергией 4 эВ имеет длину волну 3*10 -7 мВ зависимости от условий микрочастица может вести себя или как волна, или как частица. В результате возникает противоречие между физическими параметрами корпускулы и волны, те. нельзя определенно и одновременно зафиксировать координаты частицы и импульс. В этой связи, В.Гейзенберг (1901 – 1976, НП) в 1927 г. предложил границы противоречивости параметров частицы-волны через принцип неопределенности для координат x, y, z: ∆𝑥∆𝑝 ≥ ℎ, где h постоянная Планка (6,626*10 -34 Дж*с) – импульс действия. Получается, что с увеличением массы частиц неопределенность уменьшается и становятся применимы законы классической механики. С другой стороны, расчет скорости электрона в атоме показывает, что неопределенность определения скорости оказывается в несколько раз выше линейной скорости, полученной по классическим формулам движения. 80 Интерпретация дифракционной картины, полученной при прохождении электронов через тонкий слой металла удобно рассматривать как дифракцию света через дифракционную решетку. Максимумы дифракции соответствуют тому, что в данном направлении числа фотонов или частиц значительно больше чем в местах минимумов, а значит пропорционально интенсивности волн Де Бройля. Так как поведение микрочастиц в чисто виде нельзя описать законами классической механики, то приходиться использовать вероятностный подход на основе статистических методов. Применяя теорему П.Эренфеста (1880- 1933) можно частично упростить квантовомеханическую задачу, если усреднить координату, импульс, силу, энергию и выразить их через уравнения механики Ньютона. Например, для волнового пакета де Бройля в одномерном случае можно связать среднее значение координаты и среднее значение импульса. Пусть ψ(x,t) – волновая функциях координата центра масс волнового пакета де Бройля. Тогда х = ∫ xψ|(x, t)| ∞ −∞ 2 dx продифференцируем повремени х = ∫ х, t)| ∞ −∞ 2 dx = ∫ 𝑉|ψ(x, t)| ∞ −∞ 2 dx = ∫ Vm 𝑚 |ψ(x, t)| ∞ −∞ 2 dx = ∫ P 𝑚 |ψ(x, t)| ∞ −∞ 2 dx = 〈𝑃〉 𝑚 , то есть х = 〈𝑃〉 𝑚 , также получим среднее изменение потенциальной энергии 〈𝑈〉 частицы, если знаем среднее значение импульса волнового пакета 〈𝑃〉: d〈𝑝〉 𝑑𝑡 = - 〈𝑈〉 dx . В результате, квантовое обобщение второго закона Ньютона имеет вид 〈𝐹〉 = m х = − 〈 𝑑𝑈 dx 〉, Предложенный Максом Борном (1882 – 1970, НП), вариант описания значений вероятностных параметров частицы через волновую функцию, по-другому «пси–функция» (⌊𝛹(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡)⌋), или амплитуда вероятности позволяет определить вероятность нахождения частицы в объеме ∆𝑉 = ∆𝑥∆𝑦∆𝑧 c координатами (x,y,z,). При этом, за значение вероятности принимается квадрат волновой функции W ≈ ⌊𝛹(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡)⌋ 2 , который имеет смысл 81 плотности вероятности нахождения частицы в объеме ∆𝑉 = ∆𝑥∆𝑦∆𝑧 в отличии от самой пси-функции 𝛹(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) , которая должна быть непрерывной, конечной и однозначной. Условием вероятности нахождения частицы в определенном объеме является W = ∫⌊𝛹(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡)⌋ 2 dV. Но так как частица обязательно имеется в объеме, то следует нормировка вероятностей, по которой вероятность нахождения частицы в пространстве равна единице ∫ ⌊𝛹(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡)⌋ 2 +∞ −∞ dV = 1 Уравнение движения микрочастицы в силовых полях должно быть волновым, позволяющее интерпретировать результаты экспериментов и расчетов как существующие в природе события. Таким уравнением для нерелятивистской квантовой механики является уравнение Э.Шредингера (1887 – 1861 НП) 1925 г 𝑖ℎ 2𝜋 𝜕𝛹 𝜕𝑡 = ℎ 2 4𝜋𝑚 ( 𝜕 2 𝛹 𝜕𝑥 2 + 𝜕 2 𝛹 𝜕𝑦 2 + 𝜕 2 𝛹 𝜕𝑧 2 ) + U(x,y,z,t) = , где U(x,y,z,t) потенциальная энергия, которая в случае ее независимости от времени не изменяет значение полной энергии частицы. Использование в левой части мнимой единицы подчеркивает, что от уравнения не следует ждать вещественного результата, так как это только поведение волновой функции во времени в математической интерпретации. Другое дело, квадрат модуля этой функции, которая становится вещественной. Если полная энергия, выраженная через импульс и стационарную потенциальную энергию U: E = 𝑝 2 2𝑚 + U, тогда получим уравнение Шредингера стационарного состояния потрем координатам 𝜕 2 𝛹 𝜕𝑥 2 + 𝜕 2 𝛹 𝜕𝑦 2 + 𝜕 2 𝛹 𝜕𝑧 2 + 4𝜋𝑚 ℎ 2 ( E –U) 𝛹 = 0. Для стационарного состояния при свободном движении частицы вдоль одной координаты, когда потенциальная энергия равна нулю, уравнение Шредингера имеет вид 𝜕 2 𝛹 𝜕𝑥 2 + 4𝜋𝑚 ℎ 2 Е = 0. 82 Данное уравнение имеет решения только для определенных энергий, которые называются собственными значениями энергии, образующие дискретны или непрерывный ряд состояний дискретный или сплошной спектр. Частным решениям этого уравнения может быть функция видах Аехр(ikx), где собственное значение энергии есть Е = ℎ 2 𝑘 2 8𝜋 2 𝑚 и значение k = √ 8𝜋 2 𝐸𝑚 ℎ 2 – волновое число. Для свободной частицы энергия может быть любой, следовательно, энергетический спектр свободной частицы является непрерывным. В результате плотность вероятности нахождения частицы в данной точке пространства. для свободной частицы определяется как ⌊𝛹⌋ 2 = А . Для стационарного силового поля потенциальная энергия не зависит от времени, тогда уравнение Шредингера можно записать в виде произведения двух функций. Первая зависит только от положения частицы в пространстве, а вторая функция зависит только от времени. 𝛹(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) = 𝛹(𝑥, 𝑦, 𝑧, )𝑒 −𝑖 2𝜋 𝐸 ℎ 𝑡 , ℎ 2 4𝜋𝑚 ( 𝜕 2 𝛹 𝜕𝑥 2 + 𝜕 2 𝛹 𝜕𝑦 2 + 𝜕 2 𝛹 𝜕𝑧 2 ) 𝑒 −𝑖 2𝜋 𝐸 ℎ 𝑡 + + U 𝛹𝑒 −𝑖 2𝜋 𝐸 ℎ 𝑡 = 𝑖ℎ 2𝜋 (-−𝑖 2𝜋 𝐸 ℎ ) 𝛹𝑒 −𝑖 2𝜋 𝐸 ℎ 𝑡 , где Е – полная энергия частицы в силовом поле U и вероятность найти частицу в объеме dV равна W = ∫⌊𝛹(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡)⌋ 2 dV. Пусть описание основного состояния электрона в атоме водорода задано волновой функцией 𝛹 = 𝐴𝑒 −𝑟 𝑎 , где а – первый боровский радиуса расстояние электрона от ядра. Тогда наиболее вероятное расстояние электрона от ядра будет dW=⌊𝛹(𝑟)⌋ 2 𝑑𝑉, где dV=4𝜋𝑟 2 dr. Если w= 𝑑𝑊 𝑑𝑟 = 4𝜋𝑟 2 𝐴𝑒 −𝑟 𝑎 , то 𝑑𝑤 𝑑𝑟 = 8𝜋𝐴𝑟𝑒 −𝑟 𝑎 + 4𝜋𝑟 2 𝐴𝑒 −𝑟 𝑎 ( −2 𝑎 ), 83 из условия экстремума в данной точке аргумента следует 𝑑𝑤 𝑑𝑟 = 0, или 8𝜋𝐴𝑟𝑒 −𝑟 𝑎 (1 − 𝑟 𝑎 ) = 0. В итоге r вера, наиболее вероятное расстояние электрона от ядра водорода равно первому боровскому радиусу. Хотя решение уравнения Шредингера непростая задача, но, если решение получено, пусть в частном случае, тогда можно говорить о распределении вероятности нахождения частицы в малом объеме, а также вероятностей собственных значений импульса, момента импульса, энергии. Для решения уравнения Шредингера в частных случаях используют конкретный вид пси-функции, например,𝛹(х) = А + 𝛼). При этом, сама функция и ее производные должны быть непрерывны, конечны и однозначны. Для случая потенциальной ямы значения функции для точек вне ямы должны быть равны нулю, тех, так как там частицы не может быть. Для свободной частицы вне потенциального поля (U = 0) уравнение Шредингера в одномерном варианте имеет вид х + 2𝑚𝐸 ħ 2 ψ = 0, которое имеет решение в виде функции ψ(x) = Аехр(ikx), а собственные значения функции определяются через значения энергии E = ħ 2 k 2 /2m, но 2mE = ħ 2 или ikx = ix √2mE, тогда ψ(x) = Аехр(ikx) = Аехр( ix√2mE ħ ) = Аехр( 𝑖р𝑥) ħ ). Если добавить временную составляющую ехр(− 𝑖𝐸𝑡) ħ ), то получим волновую функцию де Бройле вдоль одной оси ψ(x,t) = А ехр(− 𝑖𝐸𝑡) ħ + р ħ ). Плотность вероятности имеет физический смысл |ψ(x,t)| 2 = |A| 2 , то есть не изменяется во времени. Пусть потенциальная энергия в потенциальном ящике имеет видна отрезке, 𝑙 ] ∞ для хи ха общее решение имеет вид ψ(x) = ASin(kx + α), где 2mE = ħ 2 k 2 и ψ(0) = ψ(l) = 0, тогда ψ(x) = ASinkx. Если х = l, то ψ(l) = ASinkl = 0, то есть kl = n𝜋 и n = 1, 2, 3, 4,… В итоге k и E квантуются k = n𝜋 𝑙 и Е = 𝑛 2 𝜋 2 ħ 2 2𝑚𝑙 2 , где n = 1, 2, 3,… Так как минимальная энергия частицы при n = 1 составит Е = 𝜋 2 ħ 2 2𝑚𝑙 2 , но по неопределенности Гейзенберга ха р ≈ ℎ 𝑙 . С учетом волнового числа k = n𝜋 𝑙 имеем ψ(x) = ASin n𝜋 𝑙 x, тогда постоянную А найдем из условия ∫ |ψ| ∞ −∞ 2 dV = 1, или A 2 ∫ 𝑆𝑖𝑛 2 n𝜋𝑥 𝑙 𝑙 0 dx = A 2 𝑙 2 = 1. Интеграл квадрата синуса можно заменить через 0,5 с учетом, что на концах ямы пси-функция равна нулю. В итоге Аи значения функции с учетом Е получим ψ n (x) = √ 2 𝑙 Sin n𝜋 𝑙 x, где n = 1, 2, 3,… и плотность вероятности меняется от 0 до 2 𝑙 , так как выражается периодической функцией координаты х |ψ n (x)| 2 = 2 𝑙 Sin 2 n𝜋 𝑙 x, где n = 2, 3, 4, … , но, например, при n = 2 частица может находиться только в крайних положениях потенциального ящика, ноне в середине, в тоже время в классическом подходе частица может быть в любом положении, так как импульс и энергия не квантуются. На графике распределение плотности вероятности выглядят как чередующиеся максимумы, под которыми располагаются минимумы и максимумы собственных функций. В качестве вывода относительно квантомеханического подхода следует, что несмотря на то, что наблюдать за поведением микрочастиц в силовых полях принципиально невозможно, косвенные эксперименты, подтверждающие теорию, позволяют получать полезные для практики результаты. С помощью квановомеханической теории удалось объяснить периодичность химических 85 свойств атомов, природу спектральных линий не только атомов водорода, но и всех химических элементов. Рассматривая поведение электронов внутри металлической решетки удобно остановиться на одномерной модели, когда N электронов находятся в прямоугольной потенциальной яме шириной L и неограниченной глубины вроде длинного проводника диаметром L). С помощью концепции квантовой механики и уравнения Шредингера можно формально описать повеление электронов в периодическом потенциальном поле атомной решетки, предложенной Р.Кроннигом (1904-1995) и ДЖ.Пенни (1909-1991). В этом частном случае уравнение Шредингера имеет решение, если периодический потенциал выражен в виде волновой функции Ф.Блоха (1905- 1983, НП): 𝛹(𝑥) = 𝑈 𝑘 (𝑥) 𝑒 𝑖𝑘𝑥 и 𝑈 𝑘 (𝑥) = 𝑈 𝑘 (𝑥 + 𝑛𝐿), где 𝑈 𝑘 (𝑥) - прямоугольный периодический потенциал, n – целое число, а L ширина потенциальной ямы, k-= 2𝜋 𝜆 – волновое число, 𝑒 𝑖𝑘𝑥 – плоская волна для свободных электронов. Для уравнения Шредингера - ħ 2 2𝑚 𝑑 2 𝛹(𝑥) 𝑑𝑥 2 + 𝑈 𝑘 (𝑥)𝛹(𝑥) = х) 𝛹(𝑥), х) – полная энергия электрона в одномерном стационарном состоянии. Период d решетки состоит из ширины потенциальной ямы a = L и промежутка между ямами b, тогда d = a + b. На дне потенциальной ямы интервал 0 < х < a; в промежутке интервал -b < x < 0, тогда волновая функция Блоха для двух интервалов 𝛹(𝑥) = А) + Аи В) + В exp(β𝑥), где 𝑘 ′ = √2𝑚𝐸 ħ , и 𝛽 = 2𝑚√𝑈 0 − 𝐸 ħ . С учетом периодичности в общем случае (n ≫ 1) имеем 𝛹(𝑥 + 𝑛(𝑎 + 𝑏)) = 𝛹(𝑥)exp(ikn(a +b)). Для конечной глубины потенциальной ямы необходимо определить А , А , В , В с учетом непрерывности волновой функции и ее производной в точках хи ха, результатом 86 вычислений оказывается, что в спектре энергетических уровней имеется запрещенная зона, для которой нет решения. Из теории спектров Н.Бора (1885-1962, НП) для разрешенных энергетических уровней имеет место выражение E n = 𝑛 2 8𝑚 ℎ 2 𝐿 2 где n = 1,2,3, 4, … и т.д., а E 1 = 1 8𝑚 ℎ 2 𝐿 2 энергия основного состояния при этом число электронов в этом состоянии равно 0,5 N с учетом принципа Паули. Под энергией Ферми (1901-1954, НП) понимают наибольшую энергию электрона при нулевой температуре или энергетический зазор между зоной проводимости и валентной зоной. Для электронного газа в металлах энергия Ферми выражается Е ф = 0,25N 2 8𝑚 ℎ 2 𝐿 2 , и если линейная плотность электронов по длине проводника есть 𝑁 𝐿 , то энергия Ферми пропорциональна квадрату линейной плотности распределения электронов по длине (для меди эта плотность около 4,4*10 9 на один метр длины. В результате Е ф = 0,25N 2 8𝑚 ℎ 2 𝐿 2 = 0,25N 2 8𝑚с 2 ℎ 2 с 2 𝐿 2 = (1,24 эВ∗нм) 2 (нм 32∗511 кэВ ≈ 1,8 эВ. Средняя энергия Ферми Е ф ср составляет 0,6 эВ, что враз выше средней кинетической энергии молекулы водорода при нормальном давлении и T = 300K: Е к = 𝑚𝑉 2 2 = 𝑚 2 3𝑅𝑇 𝑀 , Е к = 0,0390 эВ. Энергия Ферми для некоторых металлов Cu(7,06), Fe(11,2), Au(5,55), Ag(5,53), Na(3,26), K(2,13), Al(11,7), Mg(7,14) эВ (1 эВ = 1,6*10 -19 Дж. Если под температурой Ферми понимать выражение T = Е ф /k , где k = 1,38*10 -23 Дж/К, так для меди Е ф = 7,06 эВ, что соответствует температуре более 80000 КВ электрическом поле электроны ускоряются до момента столкновения. Мгновенная скорость электрона, или скорость Ферми, оценивается из выражения Е ф = ф 2 , то есть ф = 2Еф 𝑚 𝑒 . Например для меди получим ф 2∗7,06∗1,6∗10 −19 9,1∗10 −31 Дж/кг = 2,48*10 12 мс , ф = 1,57*10 6 мс. Зная концентрацию 87 электронов n = N/V,1/M 3 , средний пробег между столкновениями λ = 1 𝑛 0 𝜋𝑟 2 , где число атомов в единице объема n 0 = 𝜌𝑁 𝐴 𝑀 или для меди n 0 = 8,93∗6,02∗10 23 63,5 = 8,47*10 22 ат./см 3 , тогда, λ = 3,8*10 -10 м если r = 10 -10 м. Расчетное значение удельного электрического сопротивления в классической электропроводности для меди составляет 𝜌 = 1,2*10 -7 Ом*м, что в несколько раз выше экспериментального значения. В квантовомеханическом варианте 𝜌 = ф скорость Ферми враз выше средней классической средняя длина пробега на два порядка выше у квантового подхода, тогда, удельное сопротивление близко к экспериментальному. В отличие от классической теории электропроводности квантовая теория учитывает а) волновые свойства электронов б) рассеивание в основном происходит на дефектах кристаллической решетки в) дрейфовая скорость и длина свободного пробега для ферми-газа выше, чем в классической теории электропроводности г) нарушение периодичности решетки д) линейность температурной зависимости удельного сопротивления. Объяснить различие электропроводности металлов и кристаллических диэлектриков удалось с помощью зонной теории расположения разрешенных энергетических уровней, то есть зон валентной (полностью заполненной электронами, запрещенной и проводимости (свободная или частично заполненная. У металлов нижние энергетические уровни, как правило, заняты. В верхних энергетических уровнях зона проводимости перекрывает валентную зону, тогда, возникают незаполненные энергетические уровни и под действием электрического поля валентные электроны могут переходить в незаполненные зоны, создавая ток проводимости. Запрещенная зона разделяет валентную и зону проводимости, и если ширина этой зоны более 3 эВ (для алмаза это 6,4 эВ, NaCl-8,5, NaF -11,5, эВ, то валентные электроны не могут перескочить в |