Цель работы изучение связи между видом свободного процесса в элек трической цепи и расположением ее собственных частот (корней характери стического уравнения) на комплексной плоскости

• Название: Цель работы изучение связи между видом свободного процесса в элек трической цепи и расположением ее собственных частот (корней характери стического уравнения) на комплексной плоскости
• Анкор: 3 lr toe leti
• Дата: 23.05.2023
• Размер: 4.04 Mb.
• Имя файла: 3 LR TOE.docx
• Тип: Документы; #1152527

Цель работы: изучение связи между видом свободного процесса в элек- трической цепи и расположением ее собственных частот (корней характери- стического уравнения) на комплексной плоскости; экспериментальное опре- деление собственных частот и добротности RLC-контура по осциллограм- мам.

Основные теоретические положения.

Поведение линейных цепей описывается линейными дифференциаль- ными уравнениями; при этом вид свободного процесса определяется корнями

p_kхарактеристического уравнения (собственными частотами цепи).

R

а б в
Рис. 3.1

При возбуждении цепи источником тока собственные частоты можно

рассчитать как нули входной проводимости цепи

^{нения Y} ^p <sup> 0 .

Y</sup> ^p^{, т. е. как корни урав-}

Для цепи первого порядка, представленной на рис. 3.1, а,

 pC1 R, откуда

Y_ p_ 

p₁    1 _RC_. (3.1)

Для цепи второго порядка, изображенной на рис. 3.1, б,

 pC1 _ pL R_1 , откуда




Y_ p_ 

^(3.2)
Для цепи третьего порядка, представленной на рис. 3.1, в,

откуда

^Y ^p ^{ pC 1  ,}

R

² LC

^

(3.3)

Определение добротности Q RLC- контуров по виду свободного процесса. Для последовательного RLC-контура

Q  ^L  ^L₀  ^0 , (3.4)



R R 2

где

₀  1 LC

– частота незатухающих колебаний в идеальном контуре

^{R  R}₁ ^{ 0}^{. Согласно (3.2) собственные частоты последовательного RLC-} контура можно записать следующим образом:


причем:

Q < 0,5 соответствует апериодический режим;

Q = 0,5 – критический режим;

Q > 0,5 – колебательный режим;

Q → ∞ – незатухающий колебательный режим;

При Q> 10 с высокой степенью точности можно считать

p_1,2   ^0 

2Q

j₀ .

В этом случае формула, позволяющая определить добротность по ос- циллограмме схемы представленной на рис. 3.2, б,

Q ^0

2

_ 2 _

2T

^ . (3.10)

Для повышения точности можно брать отношение напряжений за nпе- риодов колебаний. Тогда















Обработка результатов

1. Исследование свободных процессов в цепи первого порядка
   

Схема цепи представлена на рисунке 3.1, а.
C = 0,02 мкФ, R = 5 кОм
k_р (коэффициент развертки)= 0,1 мс/дел
k_о (коэффициент отклонения)= 0,2 В/дел Рисунок 3.2 – Осциллограмма цепи первого порядка

Расчеты:
Р исунок 3.3 – Расчет собственной частоты цепи, диаграмма расположения собственной частоты

Вопросы:


1) Каким аналитическим выражением описывается осциллографируемый процесс?


2) Соответствует ли найденная собственная частота теоретическому расчету?

Ответы:

1 ) Осциллографируемый процесс описывается выражением

(В нашем случае u(t)=A*e^(-9*10³*t))

2) Найденная собственная частота цепи не соответствует теоретическому расчету (погрешность измерения порядка 10%)

2. Исследование свободных процессов в цепи второго порядка
   

Схема цепи представлена на рисунке

3.1, б.
C = 0,02 мкФ, L = 25 мГн
Колебательный режим:

Рисунок 3.4 – Осциллограмма цепи второго порядка (колебательный режим)

Расчеты:

Рисунок 3.5 - Расчет добротности и собственной частоты цепи



Рисунок 3.6 – Диаграмма расположения собственной частоты для цепи второго порядка в колебательном режиме
Апериодический режим:



Рисунок 3.7 – Осциллограмма цепи второго порядка (апериодический режим)

Рисунок 3.8 - Расчет собственной частоты цепи, диаграмма расположения собственной частоты для цепи второго порядка в апериодическом режиме
Критический режим:

R₁=1,5 кОм



Рисунок 3.9 – Осциллограмма цепи второго порядка (критический режим)

Расчеты:
Рисунок 3.10 - Расчет собственной частоты цепи, диаграмма расположения собственной частоты для цепи второго порядка в критическом режиме
Незатухающий колебательный режим:

R₁= 0 Ом

Рисунок 3.11 – Осциллограмма цепи второго порядка (незатухающий колебательный режим)

Расчеты:

Рисунок 3.12 - Расчет добротности и собственной частоты цепи, диаграмма расположения собственной частоты для цепи второго порядка в незатухающем колебательном режиме

Вопросы:

3. 
   
   Какими аналитическими выражениями (в общем виде) описываются процессы во всех четырех случаях?
   

4) Соответствуют ли найденные собственные частоты теоретическому расчету?

5) Каковы теоретические значения собственных частот при R₁  3 кОм и соответствует ли этим значениям снятая осциллограмма?


6) Как соотносятся найденные значения добротности с результатами теоретического расчета?
Ответы:

3) Процессы описываются следующими аналитическими выражениями: для колебательного затухающего режима;

для апериодического режима;

для критического режима;

u(t) = A₁cos(ω₀t) + A₂sin(ω₀t) для колебательного незатухающего режима;

3. 
   Найденные собственные частоты не соответствуют теоретическому расчету в незатухающем и затухающем колебательных режимах, в критическом режиме вычисленная частота с учетом небольшой погрешности равна теоретическому значению.
   
4. 
   Теоретические значения собственных частот при R₁  3 кОм равны -2*10⁴ с^-1 и -10⁵ с^-1. Осциллограмма соответствует найденным значениям, т.к. теоретическая зависимость соответствует экспериментальной (см. рис. 3.13 и рис 3.7). Оба графика затухают к 0.3 мс. Максимумы графиков приходятся на одно и тоже значение (примерно 0,02-0,03 мс)
   

Рисунок 3.13 - График теоретической зависимости напряжения на резисторе от времени

3. 
   Вычисленные значения добротности отличаются от теоретических. Так, в колебательном затухающем режиме результаты отличаются примерно на 1, в незатухающем режиме (где добротность в теории стремится к бесконечности) значение равно 24
   

3. Исследование свободных процессов в цепи третьего порядка
   

Схема цепи представлена на рисунке 3.1, в
Рисунок 3.13 – Осциллограмма цепи третьего порядка
Расчеты:

Рисунок 3.14 - Расчет собственных частот цепи, диаграмма расположения собственных частот для цепи третьего порядка

Вопросы:

3. 
   
   Каким аналитическим выражением описывается осциллографируемый процесс?
   
4. 
   Каковы значения собственных частот, вычислен­ные согласно (3.3), и соответствует ли этим значениям снятая осциллограм­ма?
   

Ответы:

7) Процесс в цепи третьего порядка описывается следующим аналитическим выражением:

u(t) = A₁e^−α1t + A₂e^−α2tsin(ωt) + A₃e^−α2tcos(ωt)

8) Значения собственных частот рассчитаны на рис. 3.14. При сравнении двух графиков зависимостей (теоретической и экспериментальной) можно сделать вывод о том, что зависимости примерно одинаковы.


Рисунок 3.15. – Теоретическая зависимость входного напряжения от времени

Значения параметров a,b,c (A₁, A₂, A₃ соответственно) заданы произвольно с целью упрощения работы с графиком зависимости
Выводы:

В ходе лабораторной работы были исследованы и проанализированы различные режимы свободного процесса в цепях первого, второго и третьего порядков. Были получены теоретические и экспериментальные значения собственных частот цепи для режимов. Так, теоретическое значение частоты для цепи первого порядка равно р=10^-4 с^-1 , что, в свою очередь, с учетом малой погрешности совпадает с экспериментальным значением, полученным с помощью осциллограммы (р=9 * 10^-3 с^-1 )


Получены значения добротности, также были найдены значения собственных частот, которые, в свою очередь, сравнивались с результатами вычислений полученными с помощью осциллограмм. Различия в полученных данных может быть вызвано неточностью снятия показаний, наличием ненулевого сопротивления проводов и т.п.