Численные методы

• Название: Численные методы
• Дата: 25.12.2019
• Размер: 1.8 Mb.
• Имя файла: chislenie_metodi.doc
• Тип: Лабораторная работа; #102180
• страница: 5 из 158

Лабораторная работа № 1

Тема. Решение систем линейных алгебраических уравнений

методом Гаусса

Задание. Решить систему уравнений методом Гаусса


Порядок выполнения работы

1. 
   Заполнить ячейки следующим образом (обратить внимание на названия и номера столбцов при заполнении - они должны быть такими же, как на рисунке 1):
   

Рисунок 1 – Расширенная матрица

2. 
   В ячейку E1 ввести текст Контрольные суммы, а в F1 – Строчные суммы.
   
3. 
   В ячейку E2 ввести формулу =СУММ(A2:D2) (для подсчета контрольных сумм) и методом протягивания заполнить ячейки E3, E4.
   
4. 
   После этого необходимо выполнить "Прямой ход" - преобразование исходной системы к системе с треугольной матрицей, на главной диагонали которой стоят единицы. Для этого нужно выполнить следующие действия:
   
   • 
     Чтобы коэффициент при x₁ равнялся 1, нужно в ячейку A5 ввести формулу =A2/$A$2, затем методом протягивания скопировать ее в ячейки B5:D5.
     
   • 
     Над столбцом контрольных сумм необходимо выполнить те же действия, что и над коэффициентами при неизвестных, следовательно в ячейку E5 нужно ввести формулу =E2/$A$2.
     
   • 
     В ячейку F5 ввести формулу =СУММ(A5:D5) (для подсчета строчных сумм).
     
   • 
     В ячейку A6 ввести формулу =A3-$A$3*A5 (для обнуления коэффициента при x₁ во втором уравнении системы), заполнить этой формулой методом протягивания диапазон ячеек B6:E6.
     
   • 
     В ячейку A7 ввести формулу =A4-A5*$A$4 (для обнуления коэффициента при x₁ в третьем уравнении системы), заполнить этой формулой методом протягивания диапазон ячеек B7:E7.
     
   • 
     В ячейку B8 ввести формулу =B6/$B$6, заполнить этой формулой методом протягивания диапазон ячеек C8:E8.
     
   • 
     В ячейку B9 ввести формулу =B7-B8*$B$7, заполнить этой формулой методом протягивания диапазон ячеек C9:E9.
     
   • 
     В ячейку C10 ввести формулу =C9/$C$9, скопировать эту формулу в диапазон ячеек D10:E10.
     
   • 
     Формулой из ячейки F5 методом протягивания заполнить ячейки F6:F10 (следует обратить внимание на то, что значения в столбцах строчных и контрольных сумм попарно равны).
     
5. 
   После этого необходимо выполнить "Обратный ход" - последовательное нахождение значений x₃, x₂, x₁. Для этого нужно выполнить следующие действия:
   
   • 
     В ячейки C11, B12, A13 ввести единицы.
     
   • 
     В ячейку D11 ввести формулу =D10 и скопировать ее в ячейку E11.
     
   • 
     В ячейку F11 ввести формулу =A11+B11+C11+D11.
     
   • 
     В ячейку D12 ввести формулу =D8-C8*D11.
     
   • 
     В ячейку E12 ввести формулу =E8-C8*E11.
     
   • 
     В ячейку D13 ввести формулу =D5-C5*D11-B5*D12.
     
   • 
     В ячейку E13 ввести формулу =E5-C5*E11-B5*E12.
     
   • 
     Формулу из ячейки F11 скопировать диапазон ячеек F12:F13.
     
6. 
   Таким образом, получены x₃, x₂, x₁. Для проверки правильности решения задачи необходимо выполнить следующие действия:
   
   • 
     Диапазон ячеек A15:A18 последовательно заполнить следующими словами: проверка, 1 уравнение, 2 уравнение, 3 уравнение.
     
   • 
     В ячейку C16 ввести формулу =A2*$D$13+B2*$D$12+C2*$D$11, затем скопировать ее в диапазон ячеек C17:C18.
     
7. 
   Нужно обратить внимание, что полученный результат в ячейках C17:C18 полностью совпадает с ячейками D2:D4, следовательно, задача решена верно.
   

Таким образом, получаем следующее:



Рисунок 2 – Решение системы методом Гаусса

Ответ: x₁=3.333, x₂ =3.561, x₃ =3.782.

Контрольные вопросы

1. 
   В чем суть метода Гаусса?
   
2. 
   Метод Гаусса точный или приближенный?
   
3. 
   В чем суть прямого хода?
   
4. 
   В чем суть обратного хода?
   
5. 
   Какая система называется невырожденной?
   
6. 
   Что называется матрицей?
   
7. 
   Как называется матрица А, В, Х в уравнении ?
   
8. 
   Какая матрица называется треугольной?
   

Вариант	Система уравнений				Матричное уравнение
1