Числовые ряды функциональные последовательности и ряды учебное пособие Москва 2015 Предисловие
 Скачать 392.56 Kb.
|
|
сходится? Ответ обоснуйте. Функциональные последовательности и ряды Основные понятия и теоремы. Сходимость функциональных последовательностей и рядов. Если каждому наиуральному числу n поставлена в соответствие некоторая функция f n (x), пределённая на множестве, то говорят, что на множестве X задана функциональная последовательность. Зафиксировав какое-нибудь значение аргумента x, получим числовую последовательность {f n (x 0 )}. Если эта числовая последовательность сходится (расходится, то говорят, что функциональная последовательность сходится (расходится) в точке, а точка называется точкой сходимости (расходимости) последовательности {f Если последовательность {f n (x)} сходится в каждой точке x множества X, то говорят, что она сходится на множестве При этом lim n→∞ f n (x) зависит, вообще говоря, от x, те. является функцией, определённой на множестве X. Эта функция (обозначим её f (x)) называется пределом (или предельной функицей) последовательности {f n (x)}, что обозначается так n→∞ f n (x) = f (x) или f n (x) → f (x) при n → ∞ на множестве Говорят также, что последовательность {f n (x)} сходится к фук- ции f (x) на множестве X. Множество всех точек x, в которых функциональная последовательность {f n (x)} сходится, называется областью сходимости этой последовательности Рассмотрим теперь ряд, членами которого являются не числа, а функции u k (x), k = 1, 2, . . . , определённые на некотором множестве X: u 1 (x) + u 2 (x) + · · · + u n (x) + · · · = ∞ X k=1 u Такой ряд называется функциональным рядом. При фиксированном значении аргумента x он становится числовым рядом Если числовой ряд k (x 0 ) сходится (расходится, того- ворят, что функциональный ряд k (x) сходится (расходится) в точке Если ряд k (x) сходится в каждй точке x множества то говорят, что он сходится на множестве X. При этом его сумма зависит, вообще говоря, от x. Будем обозначать её Множество всех точек x, в которых функциональный ряд k (x) сходится, называется областью сходимости этого ряда. Чтобы установить, сходится ли функциональный ряд в данной точке, можно использовать признаки сходимости числовых рядов. Равномерная сходимость функциональных последовательностей и рядов. Пусть функциональная последовательность сходится на множестве X к функции f (Определение 1. Говорят, что последовательность {f равномерно сходится к функции f (x) на множестве X, если > 0 ∃ номер N , такой, что ∀n > N и ∀x ∈ X выполняется неравенство n (x) − f (x)| < Главным моментом в этом определении является то, что для любого ε найдётся нужный номер N , один и тот же для всех x из множества X. Термин равномерно сходится означает равномерность (одинаковость) по отношению ко всем значениям переменной x – неравенство (1) выполняется для всех x из множества X, начиная с одного итого же для всех x номера. С геометрической точки зрения неравенство (1) означает, что при n > N график функции y = f n (x) лежит в ε - окрестности графика предельной функции y = f (x), те. между кривыми y = f (x) − ε и y = f (x) + Обозначение равномерной сходимости последовательности {f к функции f (x): 21 f n (x) ⇒ f (x) на множестве Определение 2 (эквивалентное определению 1). Последовательность называется равномерно сходящейся к функции f (x) на множестве X, если числовая последовательность является бесконечно малой, те n (x) − f (x)| → 0 при n → Рассмотрим теперь функциональный ряд k (x), сходящийся в каждой точке множества X. Пусть его сумма равна Определение. Говорят, что функциональный ряд сходится равномерно на множестве X, если последовательность его частичных сумм сходится равномерно к S(x) на множестве В соответствии с определением 1 это означает, что ∀ε > 0 ∃ N такой, что ∀n > N и ∀x ∈ X выполняется неравенство) − S n (x)| = ∞ X k=n+1 u k (x) < а в соответствии с определением 2, что k (x) → 0 при n → ∞. 3. Критерий Коши равномерной сходимости функциональных последовательностей и рядов. Теорема 18 (критерий Коши равномерной сходимости функциональнй последовательности. Для того, чтобы функциональная последовательность {f n (x)} сходилась равномерно на множестве X, необходимо и достаточно, чтобы было выполнено следующее условие ∀ε > 0 ∃ номер N , такой, что ∀n > N , для любого натурального числа p и ∀x ∈ X выполняется неравенство f n+p (x) − f n (x) < Замечание. Неравенство (2) означает, что ∀x ∈ X числовая последовательность {f n (x)} является фундаментальной, а поскольку номер N – один и тот же для всех x из множества, то функциональную последовательность {f n (x)}, удовлетворяющую условию (2) ∀n > N, ∀p и ∀x ∈ X, можно назвать равномерно фундаментальной на множестве X. 22 В соответствии с этим теорему 18 можно переформулировать так для того, чтобы функциональная последовательность n (x} сходилась равномерно на множестве X, необходимо и достаточно, чтобы она была равномерно фундаментальной на этом множестве. Теорема 19 (Критерий Коши равномерной сходимости функционального ряда. Для того чтобы функциональный ряд k (x) сходился равномерно на множестве X, необходимо и достаточно, чтобы было выполнено следующее условие > 0 ∃N , такой, что ∀n > N, ∀ натурального числа p и ∈ X выполняется неравенство n+p X k=n+1 u k (x) < ε. 4. Признак Вейерштрасса. Определение. Числовой ряд с положительными членами называется мажорантным (или мажорирующим) для функционального ряда k (x) на множестве X, если ∀k ∈ N и ∈ X выполнено неравенство k (x)| ≤ p Теорема 20 (признак Вейерштрасса. Если для функционального ряда k (x) на множестве X существует сходящийся мажорантный ряд, то этот функциональный ряд сходится равномерно на множестве X. 5. Признаки Дирихле и Абеля. Эти признаки относятся к рядам вида k (x)b k (x), x ∈ Определение. Функциональная последовательность {f называется равномерно ограниченной на множестве X, если существует число M > 0, такое, что ∀n ∈ N и ∀x ∈ X выполнено неравенство n (x)| ≤ Теорема 21 (признак Дирихле. Если) последовательность частичных сумм ряда k (x) равномерно ограничена на множестве X, 2) последовательность {b n (x)} при каждом x ∈ X является монотонной и b n ⇒ 0 на множестве X, то ряд (3) сходится равномерно на множестве X. 23 Теорема 22 (признак Абеля). Если) ряд k (x) равномерно сходится на множестве X, 2) последовательность {b n (x)} равномерно ограничена на множестве и при каждом x ∈ X является монотонной, то ряд) сходится равномерно на множестве X. 6. Свойства равномерно сходящихся функциональных последовательностей и рядов. Теорема 23 (о непрерывности предельной функции). Если все члены последовательности {f n (x)} являются непрерывными функциями на промежутке X и f n (x) ⇒ f (x) на этом промежутке, то предельная функция f (x) нерерывна на промежутке Теорема 24 (о непрерывности суммы ряда. Если все члены ряда k (x) являются непрерывными функциями на промежутке X, и ряд сходится равномерно на этом промежутке, то его сумма – непрерывная функция на промежутке X. Теорема 25 (о переходе к пределу под знаком инте- грала).Если все члены последовательности {f n (x)} являются непрерывными функциями на сегменте [a, b] и f n (x) ⇒ f (x) на, b], то для любых и x из сегмента [a, b] справедливо равенство (те. можно переходить к пределу под знаком интеграла, прич м x 0 f n (t)dt ⇒ Z x x 0 f (t)dt на сегменте [a, Теорема 26 (о почленном интегрировании ряда).Если все члены ряда k (x) являются непрерывными функциями на сегменте [a, b], и ряд сходится равномерно на этом сегменте, то для любых и x из сегмента [a, b] справедливо равенство те. ряд можно интегрировать почленно на любом сегменте, x], принадлежащем сегменту [a, b]), причём ряд x 0 u k (t)dt сходится равномерно на сегменте [a, Теорема 27 (о переходе к пределу под знаком произ- водной). Если: 1) все члены последовательности {f n (x)} имеют непрерывные производные f 0 n (x) на сегменте [a, b], 2) f n (x) → f (x) на сегменте [a, b], 3) f 0 n (x) ⇒ ϕ(x) на сегменте [a, то функция f (x) дифференцируема на сегменте [a, b], и справедливо равенство f 0 (x) = ϕ(x), x ∈ [a, Это равенство можно записать в виде (поменяв местами левую и правую части равенства n→∞ f 0 n (x) = lim n→∞ f n (x) 0 , x ∈ [a, и такая запись позволяет говорить о переходе к пределу под знаком производной на сегменте [a, Теорема 28 (о почленном дифференцировании ряда). Если: 1)все члены ряда k (x) имеют непрерывные производные u 0 k (x) на сегменте [a, b], 2) ряд k (x) сходится на сегменте [a, b], и его сумма равна) ряд) сходится равномерно на сегменте [a, b], и его сумма равна то функция S(x) дифференцируема на сегменте [a, b] и справедливо равенство) = ϕ(x), x ∈ [a, Это равенство можно записать в виде k (x) ! 0 = ∞ X k=1 u 0 k (x), x ∈ [a, и такая запись означает, что ряд k (x) можно дифференцировать почленно на сегменте [a, Контрольные вопросы и задания. Объясните, что такое функциональная последовательность, и что называется пределом функциональной последовательности. Что означают слова последовательность {f n (x)} сходится к функции f (x) на множестве X”? 2. Объясните, что такое функциональный ряди что означают слова ряд k (x) сходится на множестве X”. 3. Сформулируйте два определения равномерной сходимости функциональной последовательности {f n (x)} на множестве Докажите эквивалентность этих определений. Дайте геометрическую интерпретацию равномерной сходимости функциональной последовательности 5. Сформулируйте два определения равномерной сходимости функционального ряда на данном множестве, опираясь на два определения равномерной сходимости функциональной последовательности. Сформулируйте критерий Коши равномерной сходимости на данном множестве а) функциональной последовательности; б) функционального ряда. Сформулируйте отрицание к критерию Коши. Дайте определение мажорантного ряда для данного функционального ряда. Являются ли следующие рялы мажорантны- ми для ряда kx на сегменте [0, а sin б 1 k ; в г 1 k 3 2 ? 8. Сформулируйте теорему о признаке Вейерштрасса равномерной сходимости функционального ряда. Какие из рядов а) г) в вопросе 7 являются подходящими для применения признака Вейерштрасса кряду на сегменте [0, 2π]? 9. Дайте определение равномерно ограниченной на данном множестве функциональной последовательности. Является ли последовательность { xn а) ограниченной при каждом x ∈ R + = {x : x > б) равномерно ограниченной на множестве R + ? 10. Сформулируйте теорему о признаке Дирихле равномерной сходимости функционального ряда. Можно ли этот признак применить кряду на множестве R + = {x : x > 0}? 11. Сформулируйте теорему о признаке Абеля равномерной сходимости функционального ряда. Можно ли этот признак применить кряду на сегменте [0; 100]? 12. Сформулируйте теорему о непрерывности предельной функции функциональной последовательности (теорема 23). Применима ли эта теорема к функциональной последовательности { x на промежутке R + = {x : x > 0}? Является ли непрерывной на R + предельная функция этой последовательности. Сформулируйте теорему о непрерывности суммы функционального ряда. Может ли сумма ряда быть непрерывной функцией, если какие-то члены ряда не являются непрерывными функциями. Сформулируйте теорему о переходе к пределу под знаком интеграла. Справдливо ли равенство lim n→∞ R π 0 f n (x)dx = 26 R π 0 (lim n→∞ f n (x)) dx, если: а) f n (x) = sin nx б) f n (x) = sin nx? 15. Сформулируйте теорему о почленном интегрировании функционального ряда. Можно ли ряд kx интегрировать почленно на произвольном сегменте [a, b]? 16. Сформулируйте теорему о переходе к пределу под знаком производной. Верно ли равенство lim n→∞ f 0 n (x) = (lim n→∞ f n (x)) 0 , если: а) f n (x) = sin nx б n (x) = sin nx n ? 17. Сформулируйте теорему о почленном дифференцирование функционального ряда. Можно ли ряд kx дифференцировать почленно на произвольном сегменте [a, Примеры решения задач. Найти область сходимости и предельную функцию функциональной последовательности {x n }. 4 Если |x| < 1, то x n → 0 при n → ∞; если x = 1, то n } = 1, 1, . . . , 1, . . . → 1 при n → ∞; если x = −1, то {x n } = −1, 1, −1, 1, . . . , −1, 1, . . . – эта последовательность расходится; если |x| > 1, то {x n } – бесконечно большая последовательность и, следовательно, расходится. Итак, областью сходимости последовательности {x n } является полусегмент −1 < x ≤ 1, причём lim n→∞ x n = f (x) := 0, если − 1 < x < 1, 1, если x = Отметим, что все функции x непрерывны на полусегменте (−1; а предельная функция f (x) разрывна в точке x = 1. N 2. Найти область сходимости и сумму функционального ряда Члены этого ряда образуют геометрическую прогрессию со знаменателем, равным x. Если |x| 6= 1, то частичная сумма ряда выражается формулой) = n X k=1 x k = x(1 − x n ) 1 − Отсюда следует: если |x| < 1, то lim n→∞ S n (x) если |x| > 1, то последовательность {S n (x)} – бесконечно большая и, следовательно, расходится; если x = 1, то S n (x) = 1 + 1 + · · · + 1 = n, и ряд расходится если x = −1, то {S n (x)} = −1, 1, −1, 1, . . . , −1, 1, . . . – эта последовательность расходится. Итак, областью сходимости функционального ряда является интервала его сумма S(x) выражается формулой S(x) = x 1−x N 3. Найти область сходимости и сумму функционального ряда − x) · x k 4 Согласно результату, полученному в примере 2, данный ряд сходится на интервале (−1; 1) и его сумма S(x) на этом интервале равна (1 − x) · x 1−x = x. Кроме того, данный ряд сходится в точке x = 1, поскольку все его члены в точке x = 1 равны нулю, а, значит, и сумма равна нулю S(1) = 0. В остальных точках числовой прямой, те. при x ≤ −1 и x > 1, ряд расходится. Таким образом, областью сходимости данного ряда является полусегмент −1 < x ≤ 1, причём S(x) = x, если − 1 < x < 1, 0, если x = Заметим, что все члены ряда непрерывны на полусегменте (−1; 1], а сумма ряда разрывна в точке x = 1.N 4. Исследовать последовательность {x n } на равномерную сходимость на промежутке: а)0 ≤ x ≤ x 0 , где 0 < x 0 < б ≤ x < в ≤ x ≤ 1. 4 В примере 1 было установлено, что областью сходимости последовательности {x n } является полусегмент −1 < x ≤ 1, прич м f (x) = lim n→∞ x n = 0, если − 1 < x < 1, 1, если x = Отсюда следует, что последовательность {x n } сходится на каждом из промежутков а, б) ив. Для исследования данной последовательности на равномерную сходимость на указанных промежутках, воспользуемся определением 2 равномерной сходимости функциональной последовательности. С этой цедью найдём на каждом промежутке Sup |f n (x) − f (а) Sup [0;x 0 ] |f n (x) − f (x)| = Sup [0;x 0 ] x n = x Так как 0 < x 0 < 1, то x n 0 → 0 прите при n → ∞, и, следовательно, согласно пределению 2, последовательность {x n } сходится равномерно на сегменте 0 ≤ x ≤ x 0 < б) Sup [0;1) |f n (x) − f (x)| = Sup [0;1) x Так как x принимает значения, сколь угодно близкие кто и x n при любом n принимает значения, сколь угодно близкие к единице, причём x n < 1. Поэтому Sup [0;1) x n = 1 для любого n ∈ Следовательно, условие Sup [0;1) |f n (x) − f (x)| → 0 при n → ∞ не выполнено, и, значит, последовательность {x n } сходится на промежутке неравномерно. в) Сегмент 0 ≤ x ≤ 1 включает в себя полусегмент 0 ≤ x < атак как на этом полусегменте последовательность {x n } сходится неравномерно, то и на сегменте 0 ≤ x ≤ 1 она сходится неравномерно. Этот же факт можно установить другим способм, если воспользоваться теоремой 23. Согласно этой теореме предельная функция f (x) последовательности {x n } была бы непрерывной на сегменте 0 ≤ x ≤ 1, если бы эта последовательность сходилась равномерно на данном сегменте (поскольку все члены последовательности непрерывные функции. Однако предельная функция f (x) = 0, если 0 ≤ x < 1, 1, если x = не является непрерывной на сегменте 0 ≤ x ≤ 1 (она разрывна в точке x = 1), и, значит, последовательность {x n } сходится на этом сегменте неравномерно. Исследовать на равномерную сходимость последовательность, где f n (x) = n x+n , на промежутке: а) 0 ≤ x ≤ x 0 , где x 0 > 0 – заданное число; б) 0 ≤ x < +∞. 4 Очевидно, что ∀x ≥ 0: lim n→∞ f n (x) = lim n→∞ n x + n = те. последовательность {f n (x)} сходится в каждой точке полу- прямой 0 ≤ x < +∞, и предельная функция f (x) = 1. Для исследования этой последовательности на равномерную сходимость на каждом из указанных промежутков воспользуемся определением равномерной сходимости функциональной последова- тельности. а) Sup [0;x 0 ] |f n (x) − f (x)| = Sup [0;x 0 ] n x+n − 1 = Sup [0;x 0 ] 1 − n x+n Функция n x+n на сегменте 0 ≤ x ≤ принимает наименьшее значение при x = x 0 , поэтому функция 1 − n x+n принимает наибольшее на этом сегменте значение при x = x 0 . Это значение равно 1 − n x 0 +n = x 0 x 0 +n . Таким образом, Sup [0;x 0 ] |f n (x) − f (x)| = x 0 x 0 +n → 0 при n → ∞. Отсюда следует, согласно определению что последовательность x+n сходится равномерно на сегменте ≤ x ≤ б) Так как n x+n → 0 при x → +∞ (для любого n ∈ N), то функция 1 − n x+n принимает значения, сколь угодно близкие к и при этом (1 − n x+n ) < 1 ∀x. Поэтому Sup [0;+∞) 1 − n x+n = 1 для любого n и, следовательно, Sup [0;+∞) |f n (x) − f (x)| не стремится к нулю при n → ∞, а это означает, что последовательность { n сходится на полупрямой 0 ≤ x < +∞ неравномерно. Исследовать ряд на равномерную сходимость на промежутке а) 0 ≤ x ≤ x |