Числовые ряды функциональные последовательности и ряды учебное пособие Москва 2015 Предисловие
 Скачать 392.56 Kb.
|
|
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. МВ. Ломоносова ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ КАФЕДРА МАТЕМАТИКИ В.Ф. Бутузов ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ Учебное пособие Москва 2015 Предисловие Учебное пособие предназначено как для студентов, таки для преподавателей, ведущих семинарские занятия по математическому анализу. Его содержание относится к разделу Числовые ряды. Функциональные последовательности и ряды, не вошедшему в известное учебное пособие Математический анализ в вопросах и задачах (авторы В.Ф. Бутузов, НЧ. Крутицкая, Г.Н. Медведев, А.А. Шишкин). Структура данного пособия такая же, как и структура глав в упомянутом учебном пособии. Каждый параграф разбит на четыре пункта Основные понятия и теоремы, где даются определения и приводятся (без доказательства) основные теоремы Контрольные вопросы и задания, способствующие усвоению основных понятий Примеры решения задач (начало и конец решения каждой задачи отмечены знаками и N) и Задачи и упражнения для самостоятельной работы” (в конце пособия приведены ответы и указания к задачам этих пунктов). Автор признателен Е.А. Михайловой за компьютерный набор текста пособия. Рекомендовано Советом отделения прикладной математики в качестве пособия для студентов физического факультета МГУ им. МВ. Ломоносова, обучающихся по направлениям «физика» и «астрономия». c Физический факультет МГУ им. МВ. Ломоносова, 2015. §1. Понятие числового ряда. Критерий Коши сходимости числового ряда Основные понятия и теоремы. Сходимость и сумма ряда. Под словом ряд в математическом анализе понимают сумму бесконечного числа слагаемых. Рассмотрим числовую последовательность a 1 , a 2 , . . . , a k , . . . и образуем формальное выражение a 1 + a 2 + · · · + a n + · · · = ∞ X k=1 a k Назовём это выражение числовым рядом (или просто рядом), а числа a k – членами ряда. Сумма первых n членов ряда называется частичной суммой (ой частичной суммой) ряда. Определение. Числовой ряд называется сходящимся, если сходится последовательность {S n } его частичных сумм. При этом число = lim n→∞ S n называется суммой ряда. Пишут S = P ∞ k=1 a Если же последовательность частичных сумм ряда расходится, то ряд называется расходящимся. Теорема 1. Если ряды и сходятся, и их суммы равны соответственно и S B , то для любых чисел α и β ряд k + βb сходится, и его сумма равна αS A + βS B 2. Критерий Коши сходимости числового ряда Теорема 2 (критерий Коши. Для того чтобы ряд сходился, необходимо и достаточно, чтобы было выполнено следующее условие ∀ε > 0 существует номер N , такой, что ∀n > N и ∀p ∈ N выполняется неравенство n+p X k=n+1 a k < Следствие 1 (необходимое условие сходимости ряда Если ряд сходится, то a k → 0 при k → Следствие 2. Если ряд сходится, то для любого n ряд r n = P ∞ k=n+1 a сходится и r n → 0 при n → ∞ (r называется остатком n - го порядка ряда Контрольные вопросы и задания. Объясните, что называется числовым рядом. Сформулируйте определение сходящегося числового ряда. Что называется суммой ряда. В каком случае ряд называется расходящимся Может ли расходящийся ряд стать сходящимся, если из него удалить конечное число членов. Может ли ряд k + b k ) быть сходящимся, если: а) ряд сходится, а ряд k расходится? б) ряды и расходятся. Сформулируйте критерий Коши сходимости числового ряда. Сформулируйте необходимое условие сходимости числового ряда. Примеры решения задач. Исследовать, для каких значений q ряд + q + q 2 + · · · + q n + · · · = ∞ X k=1 q сходится и для каких – расходится Вычислим частичную сумму ряда при q 6= 1, используя формулу суммы членов геометрическй прогрессии k−1 = 1 − q n 1 − Если |q| < 1, то q n → 0 при n → ∞, и, следовательно, lim n→∞ S n = 1 1−q . Таким образом, если |q| < 1, то ряд (2) сходится, и его сумма выражается формулой S = 1 Если |q| > 1, то {q n } и также {S n } являются бесконечно большими последовательностями, поэтому ряд (2) расходится. Если q = 1, то ряд (2) принимает вид + 1 + · · · + 1 + · · · , 2 следовательно, S n = n, lim n→∞ S n = ∞ и, значит, ряд расходит- ся. Если q = −1, то ряд (2) имеет вид − 1 + 1 − 1 + · · · + 1 − 1 + · · · Последовательность его частичных сумм = 1, 0, 1, 0, · · · , 1, 0, · · · явлется расходящейся, поэтому ряд расходится. Итак, ряд (2) сходится, если |q| < 1, и расходитя, если |q| ≥ 1.N 2. Доказать, что ряд 1 k = 1 + 1 2 + 1 3 + · · · + 1 n + · · он называется гармоническим рядом) расходится Сгруппируем члены ряда следующим образом + 1 2 + 1 3 + 1 4 + 1 5 + 1 6 + 1 7 + 1 8 + + 1 9 + · · · + 1 16 + 1 17 + · · · + 1 32 + · · · Сумма дробей в каждой из круглых скобок больше 2 , откуда следует, что последовательность {S n } частичных сумм ряда (является бесконечно большой lim n→∞ S n = +∞, и, значит, гармонический ряд расходится. Исследовать, для каких значений α ряд 1 k α − 1 (k + сходится и для каких - расходится Рассмотрим частичную сумму данного ряда 1 k α − 1 (k + 1) α = 1 − 1 2 α + 1 2 α − 1 3 α + · · · + + 1 n α − 1 (n + 1) α = 1 − 1 (n + Если α > 0, то lim n→∞ 1 (n+1) α = 0, поэтому lim n→∞ S n = 1, т.е. при α > 0 ряд сходится, и его сумма равна Если α < 0, то lim n→∞ 1 (n+1) α = ∞, поэтому lim n→∞ S n не существует, те. при α < 0 ряд расходится. Если α = 0, то все члены ряда равны нулю 1 − 1 = поэтому ряд сходится и его сумма равна нулю 4. Доказать, что ряд сходится для любого x, и найти его сумму Вспомним формулу Маклорена для функции e x : e x = n X k=0 x k κ! + где R n+1 (x) – остаточный член, причём R n+1 (x) → 0 при n → для любого x). Сумма S n (x) = P n k=0 x является частичной суммой данного ряда (4), итак как lim n→∞ R n+1 (x) = 0, то lim n→∞ S n (x) = e Таким образом, для любого x данный ряд сходится, и k κ! = e x .N 5. C помощью критерия Коши доказать, что ряд 1 k = 1 − 1 2 + 1 3 − 1 4 + · · · + (−1) n−1 1 n + · · сходится Сначала получим оценку для величины n+p X k=n+1 a фигурирующей в критерии Коши (см. (1)). Для ряда (5) эта величина (обозначим её |S np |) имеет вид 1 k = (−1) n 1 n + 1 + (−1) n+1 1 n + 2 + · · · + +(−1) n+p−1 1 n + p = 1 n + 1 − 1 n + 2 + · · · + (−1) p−1 1 n + Если число p – чётное, то + 1 − 1 n + 2 + 1 n + 3 − 1 n + 4 +· · ·+ 1 n + p − 1 − 1 n + p > поскольку разность двух дробей в каждой из круглых скобок положительна. С другой стороны + 1 − 1 n + 2 − 1 n + 3 −· · ·− 1 n + p − 2 − 1 n + p − 1 − 1 n + p < 1 n + Таким образом, если p – чётное число, то 0 < S np < 1 n+1 4 Если число p – нечётное, то + 1 − 1 n + 2 +· · ·+ 1 n + p − 2 − 1 n + p − 1 + 1 n + p > ас другой стороны + 1 − 1 n + 2 − 1 n + 3 −· · ·− 1 n + p − 1 − 1 n + p < 1 n + Итак, в любом случае < S np < 1 n + и, следовательно, |S np | для любого p ∈ Зададим теперь произвольное ε > 0 и возьмём номер N столь большим, что +1 < ε. Тогда ∀n > N и ∀p ∈ N получим неравенства те. ∀n > N и ∀p ∈ N выполнено неравенство (1) из теоремы По теореме 2 ряд (5) сходится. N Задачи и упражнения для самостоятельной работы. Приведите пример числового ряда k , у которого a k → 0 при k → ∞, но ряд расходится (тем самым будет доказано, что условие a k → 0 при k → ∞ является только необходимым, ноне достаточным условием сходимости ряда. Докажите, что если ряд расходится, то и его остаток любого порядка расходится. Докажите, что следующие ряды сходятся (используя определение сходящегося ряда, и найдите их суммы: а) ∞ X k=1 2 k + б 1 k(k + в 1 k(k + г 1 k(k + 1)(k + д. Докажите сходимость рядов из упражнения 3 с помощью критерия Коши. Докажите, что следующие ряды сходятся для указанных значений x, и найдите их суммы − 1)! , −∞ < x < +∞; 5 ∞ X k=0 x 2k (2k)! , −∞ < x < +∞; ∞ X k=1 (−1) k−1 x k k , −1 < x ≤ 1. §2. Ряды с положительными членами Основные понятия и теоремы. Необходимое и достаточное условие сходимости ряда с положительными членами. Ряд P ∞ k=1 a называется рядом с положительными членами, если все его члены неотрицательны, те. a k ≥ 0 ∀k ∈ N. Члены такого ряда часто обозначают p k : P ∞ k=1 p k (p k ≥ Теорема 3. Для сходимости ряда с положительными членами необходимо и достаточно, чтобы последовательность его частичных сумм была ограниченной. Признак сравнения. Теорема 4. Песть два ряда ряди ряд являются рядами с положительными членами, и пусть ∈ N : p k ≤ q Тогда) из сходимости ряда Q следует сходимость ряда P ; 2) из расходимости ряда P следует расходимость ряда Замечание. Теорема 4 остаётся в силе, если вместо неравенства, начиная с k = 1, выполнены неравенсива p k ≤ c · q начиная с некоторого номера k 0 , где c > 0 – какое-то число. Следствие (признак сравнения в предельной форме). Если существует lim k→∞ p k q k = a > то ряды P и Q сходятся или расходятя одновременно. Признаки Даламбера и Коши. Теорема 5 (признак Деламбера). Если начиная с некоторого номера выполнены неравенсва p k+1 p k ≤ q < 1 p k+1 p k ≥ то ряд сходится (расходится Теорема 5’ (признак Далембера в предельной форме). Если существует lim k→∞ p k+1 p k = q < 1 (q > то ряд сходится (расходится). Теорема 6 (признак Коши. Если начиная с некоторого номера выполнены неравенства k √ p k ≤ q < 1 ( k √ p k ≥ 1) то ряд сходится (расходится). Теорема 6’ (признак Коши в предельной форме). Если существует lim k→∞ k √ p k = q < 1 (q > то ряд сходится (расходится). Замечание. Признак Коши имеет более широкую область применимости по сравнению с признаком Даламбера. Можно доказать (задача 9), что если начиная с некоторого номера для членов ряда выполнено неравенство p k+1 p k ≤ q < то есть работает признак Даламбера, то начиная с некоторого номера выполнено неравенство k √ p k ≤ q 1 < те. работает и признак Коши). Обратное неверно (см. пример 3). 4. Признак Гаусса. Теорема 7 (признак Гаусса. Если члены ряда удовлетворяют условию p k+1 p k = 1 − α k + o( 1 k ) при k → то при α > 1 ряд сходится, а при α < 1 ряд расходится. Замечание. Если условие (1) выполнено для α = 1, то ряд может сходиться и может расходиться. Если же p k+1 p k = 1 − 1 k + при k → где γ > 0 – некоторое число, то ряд расходится 5. Интегральный признак Коши – Маклорена. Теорема 8. Пусть ряд является рядом с положительными членами и пусть существует функция f (x), неотрицательная и невозрастающая на полупрямой x ≥ 1 и такая, что ∀k ∈ N : f(k) = p Тогда ряд сходится тогда и только тогда, когда сходится последовательность {a n }, где a n = R n 1 f (Контрольные вопросы и задания. Какой ряд называется рядом с положительными членами? Приведите пример такого ряда. Сформулируйте необходимое и достаточное условие сходимости ряда с положительными членами. Является ли это условие а) необходимым б) достаточным условием сходимости произвольного ряда. Сформулируйте теорему о признаке сравнения рядов с положительными членами. Опираясь на эту теорему, ответьте на вопрос (и обоснуйте ответ что можно сказать о связи между сходимостью (расходимостью) рядов с положительными членами и если lim k→∞ p k q k = 0. 4. Сформулируйте утверждение о признаке сравнения рядов с положительными членами в предельной форме. Сформулируйте теорему о признаке Даламбера. Можно ли условие p k+1 p k ≤ q < 1 этой теоремы заменить условием p k+1 p k < Ответ обоснуйте. Сформулируйте теорему о признаке Даламбера в предельной форме. Приведите пример двух рядов вида k , для каждого из которых выполнено условие lim k→∞ p k+1 p k = 1, но при этом один ряд сходится, а другой расходится. Сформулируйте теорему о признаке Коши. Можно ли условие этой теоремы заменить условием k √ p k < Ответ обоснуйте. Сформулируйте теорему о признаке Коши в предельной форме. Приведите пример двух рядов вида k , для каждого из которых выполнено условие lim k→∞ k √ p k = 1, но при этом один ряд сходится, а другой расходится. Сформулируйте теорему о признаке Гаусса. Опираясь на эту теорему, обоснуйте следующее утверждение (признак Раабе 8 в предельной форме если lim k→∞ k(1− p k+1 p k ) = α, то ряд при α > 1 сходится, а при α < 1 расходится. Сормулируйте теорему об интегральном признаке Коши Маклорена. Приведите пример, показывающий, что если не требовать, чтобы функция f (x) была невозрастающей, сохранив остальные условия теоремы, то утверждение теоремы становится неверным. Примеры решения задач. Доказать, что ряд 1 √ k расходится Сравним этот ряд с гармоническим рядом 1 k . Так как ∈ N, и гармонический ряд расходится, то по признаку сравнения (теорема 4) данный ряд 1 √ k расходится. Доказать, что ряд сходится при a > 1 и расходится при 0 < a ≤ 1. 4 Обозначим член ряда k 2 a через p и воспользуемся признаком Даламбера. Так как p k+1 p k = (k + 1) 2 k 2 · 1 a = 1 a 1 +то lim k→∞ p k+1 p k = 1 a , а поскольку 1 при a > 1 и 1 при < a < 1, то, согласно признаку Даламбера в предельной форме (теорема 5‘), данный ряд сходится при a > 1 и расходится при 0 < a < 1. К такому же выводу приводит признак Коши в предельной форме (теорема 6’), поскольку lim k→∞ k √ p k = lim k→∞ 1 a Если a = 1, то данный ряд принимает вид. Этот ряд, очевидно, расходится, т.к. для него не выполнено необходимое условие сходимости ряда – общий член ряда не стремится к нулю при k → ∞. N 3. Доказать, что для исследования на сходимость ряда 2 + (−1) k−1 4 k признак Даламбера непригоден, а признак Коши даёт ответ на вопрос о сходимости ряда 4 Рассмотрим отношение p k+1 p k , фигурирующее в признаке Даламбера, если k = 2m − 1, 1 4 · 3 2m+1 > 1, если k = 2m, m = 1, 2, . . . Полученные неравенства показывают, что признак Даламбера (теорема 5) в применении к данному ряду не работает”. Непригоден также признак Даламбера в предельной форме теорема, поскольку lim k→∞ p k+1 p не существует. Рассмотрим теперь величину k √ p k , фигурирующую в признаке Коши k = 2 + (−1) k−1 4 ≤ 3 4 < Из этих неравенств следует, что по признаку Коши (теорема данный ряд сходится. Исследовать на сходимость ряд в зависимости от числа β (при β 6= 1 ряд (2) называется обоб- щённым гармоническим рядом Если β ≤ 0, то ряд (2) расходится, поскольку не выполнено необходимое условие сходимости ряда - общий член ряда не стремится к нулю при k → Для β > 0 проведём исследование ряда (2) тремя способами. 1-й способ. Сравним ряд (2) с рядом из примера 3 §1 ∞ X k=1 1 k α − 1 (k + Было установлено, что ряд (3) сходится при α > 0 и расходится при α < 0. Преобразуем общий член q ряда (при α > 0 следующим образом k = 1 k α 1 − k k + 1 α = 1 k α " 1 − 1 + 1 k −α # = = 1 k α 1 − 1 − α k + o 1 k = α k α+1 (1 + при k → Положим β = α + 1 и обозначим общий член ряда (2) через p k : p k = 1 k α+1 . Очевидно, что для α > 0 (те. для β > 1) выполняется равенство lim k→∞ p k q k = 1 α > 0, 10 и, следовательно, при β > 1, согласно признаку сравнения в предельной форме, обобщённый гармонический ряд (2) сходится. Если β = 1, то ряд (2) явлется гармоническим рядом, ион расходится (см. примера если 0 < β < 1, то, итак как ряд 1 k расходится, то ряд также расходится. Итак, обобщённый гармонический ряд (2) сходится при β > и расходится при β ≤ й способ. Получим тот же самый результат с помощью признака Гаусса. Так как p k+1 p k = k k + 1 β = 1 + 1 k −β = 1 − β k + O при k → то, согласно теореме 7 и замечанию к ней, ряд (2) сходится при > 1 и расходится при β ≤ й способ. При β > 0 применим кряду) интегральный признак Коши – Маклорена. С этой целью введём функцию f (x) = 1 x β , x ≥ 1. Она удовлетворяет всем условиям теоремы f (x) – неотрицательная и невозрастающая функция на полу- прямой x ≥ 1, и f (k) = p k = 1 k β . Рассмотрим последовательность n }, где a n = Z n 1 f (x)dx = Z n 1 dx x β = 1 1−β (n 1−β − 1), если β 6= 1, ln n, если β = Очевидно, что если β > 1, то существует lim n→∞ a n = 1 β−1 , а если ≤ 1, то последовательность {a n } является бесконечно большой и, значит, расходится. Поэтому, согласно интегральному признаку Коши – Маклорена (теорема 8), ряд (2) сходится при β > 1 и расходится при 0 < β ≤ 1. N 5. Исследовать на сходимость ряд 1 k в зависимости от числа β. 4 Если β ≤ 0, то ln β k ≥ 1 k при k ≥ итак как гармонический ряд расходится, то, согасно признаку сравнения, ряд (4) также расходится. Для β > 0 воспользуемся интегральным признаком Коши – Маклорена (при этом нужно учесть, что ряд (4) начинается с k = 2). Введём функцию f (x) = 1 x ln β x , x ≥ 2. 11 Она является неотрицательной и невозрастающей при x ≥ 2 и удовлетворяет условию f (k) = p k , где p k = 1 k ln β k – члены ряда. Рассмотрим последовательность {a n } где a n = Z n 2 f (x)dx = Z n 2 dx x ln β x = 1 1−β ln 1−β n − ln 2 , если 6= 1, ln ln n − ln ln 2, если β = Если β > 1, то ln 1−β n → 0 при n → ∞, поэтому существует lim n→∞ a n = ln 2 β−1 , а если 0 < β ≤ 1, то a n → ∞ при n → и, значит, lim n→∞ a не существует. Следовательно, по теореме ряд (4) сходится при β > 1 и расходится при 0 < β ≤ Итак, ряд (4) сходится, если β > 1, и расходится, если β ≤ Задачи и упражнения для самостоятельной работы. Частичные суммы S P n и S Q n рядов с положительными членами ряди k (рядQ) удовлетворяют неравенствам (начиная с некоторого номера n 0 ) S P n ≤ S Q n (n = n 0 , n 0 + 1, . . Докажите, что из сходимости ряда Q следует сходимость ряда , а из расходимости ряда P следует расходимость ряда Q. 7. Исследуйте ряды на сходимость, используя признак Да- ламбера: а) ∞ X k=1 100 k k! ; б 100 k p(k + 1)! ; в где. Исследуйте ряды на сходимость, используя признак Коши: а) ∞ X k=1 (1 + 1 k ) −k 2 ; б 2 k (1 − 1 k ) k 2 ; в k (1 + 1 k ) −k 2 (a > где. Докажите, что если для ряда с положительными членами начиная с некоторого номера выполнено условие p k+1 p k ≤ q < 1, 12 то найдётся число q 1 < 1, такое, что начиная с некоторого номера будет выполнено условие k √ p k ≤ q 1 10. Докажите, что ряд с положительными членами сходится (расходится, если начиная с некоторого номера выполнено неравенство ln p k ln k ≥ q > 1 − ln p k ln k ≤ 1 . 11. Исследуйте ряды на сходимость, используя различные признаки: а) ∞ X k=1 arcsin 1 √ k ; б в 1 pk(k + 1)(k + где ж k 2 + 2 k 2 + 1 ; з k + 1 k ; и+ кл мн оп р 1 (ln ln k) ln k ; ст уф. Ряды с членами произвольного знака. Основные понятия и теоремы. Абсолютная и условная сходимость числового ряда. Пусть членами ряда ряд А) являются числа произвольного знака. Определение. Ряд A называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд Теорема 9. Если ряд A сходится абсолютно, то он сходится Определение. Ряд A называется условно сходящимся, если он сходится, а ряд k | расходится. Пусть ряд A содержит бесконечно много положительных членов и бесконечно много отрицательных членов. Обозначим через p 1 , p 2 , · · · , p n , · · · положительные члены ряда A, выписанные в том порядке, как они содержатся в ряде A, а через −q 1 , −q 2 , · · · , − q n , · · · – отрицательные члены ряда A. Образуем два ряда с положительными членами ряди ряд Теорема 10. Если ряд A сходится абсолютно, то ряды P и сходятся, и для сумм S A , и этих рядов справедливо равенство S P − Теорема 11. Если ряд A сходится условно, то ряды P и расходятся. Теоремы о перестановке и группировке членов ряда. Переставив члены ряда произвольным образом, получим ряд где a 0 k = a n k и a k = a 0 m k , n и m k – какие-то номера. Теорема 12. Если ряд A сходится абсолютно, то ряд также сходится абсолютно, и их суммы равны S A = Теорема 13 (теорема Римана. Если ряд A сходится условно, то для любого числа S можно так переставить члены ряда, что сумма полученного ряда будет равна Из теорем 12 и 13 следует, что в отличие от конечных сумм, не изменяющихся при перестановке слагаемых, числовой ряд обладает перестановочным свойством тогда и только тогда, когда он сходится абсолютно. Другим свойством конечных сумм – сочетательным свойством обладает любой сходящийся ряд. Теорема 14. Если в сходящемся ряде k какие-то группы слагаемых заключить в скобки и заменить каждую группу слагаемых в скобках их суммой, то полученный ряд будет также сходящимся, и его сумма равна сумме исходного ряда. Иначе говоря, если ряд сходится, (a 1 +a 2 +· · ·+a n 1 ) = b 1 , (a n 1 +1 + · · · + a n 2 ) = b 2 . . . , (a n k−1 +1 + · · · + a n k ) = b k , . . . , то ряд также сходится и его сумма равна сумме ряда k 14 3. Признаки Дирихле и Абеля, ряд Лейбница. Признаки Дирихле и Абеля применяются к рядам вида k b Теорема 15 (признак Дирихле. Если 1) последовательность частичных сумм ряда k – ограниченная, 2) последовательность монотонная и бесконечно малая, то ряд) сходится. Теорема 16 (признак Абеля). Если 1) ряд сходится) последовательность {b k } – монотонная и ограниченная, то ряд (1) сходится. Определение. Числовой ряд называется знакочередующимся, если любые два его соседних члена имеют разные знаки. Определение. Знакочередующийся ряд называется рядом Лейбница, если последовательность {|a k |} – монотонная и бесконечно малая. Теорема 17. Любой ряд Лейбница сходится. Контрольные вопросы и задания. Какой ряд называется абсолютно сходящимся и какой условно сходящимся Может ли ряд, содержащий лишь конечное число положительных членов и бесконечно много отрицательных членов быть условно сходящимся. Может ли условно сходящийся ряд содержать лишь конечное число отрицательных членов. Ряд, составленный из всех положительных членов данного ряда, сходится. Может ли данный ряда) сходиться условно б) сходиться абсолютно в) расходиться. Сформулируйте теорему о перестановке членов абсолютно сходящегося ряда. Сформулируйте теорему Римана о перестановке членов условно сходящегося ряда. Сформулируйте теорему о сочетательном свойстве сходящихся рядов. Может ли расходящийся ряд в результате группировки членов (те. заключения в скобки каких-то групп членов) стать сходящимся. Сформулируйте теорему о признаке Дирихле. Приведите пример ряда, сходящегося по признаку Дирихле 8. Сформулируйте теорему о признаке Абеля. Приведите пример ряда, сходящегося по признаку Абеля. 9. Какой ряд называется знакочередующимся рядом Лейбница. Является ли ряда) знакочередующимся б) рядом Лейбница в) сходящимся рядом Примеры решения задач. Для каких значений α ряд сходится абсолютно и для каких условно Если α ≤ 0, то ряд (2) расходится, так как его общий член не стремится к нулю при k → Если α > 0, то ряд (2) является, очевидно, рядом Лейбница и, следовательно, сходится (по теореме Ряд k α , составленный из модулей членов ряда (представляет собой обобщённый гармонический ряд, который сходится при α > 1 и расходится при α ≤ Таким образом, ряд (2) сходится абсолютно при α > 1 и сходится условно при 0 < α ≤ 1. N 2. Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость ряд kx где x – любое фиксированное число, неравное Положим a k = sin kx, b и применим признак Дирихле. Последовательность {b k } = 1 k α при α > 0 является монотонной и бесконечно малой и, значит, удовлетворяет условию теоремы Рассмотрим последовательность {S n } частичных сумм ряда k : S n = ∞ X k=1 a k = ∞ X k=1 sin kx. 16 Умножим обе части равенства на 2 sin и воспользуемся формулой Получим sin x 2 = cos x 2 −cos 3x 2 +cos 3x 2 −cos 5x 2 +cos 5x 2 −cos 7x 2 +· · · + + cos (n − 1 2 )x − cos (n + 1 2 )x = cos x 2 − cos (n + 1 откуда, разделив на 2 sin x 2 , приходим к равенству x 2 − cos (n + 1 2 )x 2 sin Отсюда следует неравенство ≤ 1 | sin x 2 | ∀n ∈ N, x 6= Таким образом, последовательность {S n } частичных сумм ряда ограничена, те. выполнено условие теоремы 15 в отношении ряда По признаку Дирихле (теорема 15) ряд (3) сходится при α > для любого x 6= mπ, m ∈ Если x = mπ, m ∈ Z, то все члены ряда (3) равны нулю и, значит, ряд (3) сходится абсолютно. Исследуем ряд (3) на абсолютную сходимость при x 6= mπ, m Воспользуемся очевидной оценкой для членов ряда sin kx Если α > 1, то ряд сходится (это обобщённый гармонический ряду которого α > 1), поэтому ряд kx также сходится (по признаку сравнения, и, следовательно, при α > ряд (3) сходится абсолютно. Если 0 < α ≤ 1, то ряд расходится, однако оценка (не позволяет сделать вывод о расходимости ряда kx Воспользуемся другой оценкой kx k α ≥ sin 2 kx k α = 1 − cos 2kx 2k α =: q Ряд расходится при 0 < α ≤ 1. Это следует из того, что его можно представить в виде разности двух рядов k = 1 2 ∞ X k=1 1 k α − 1 2 ∞ X k=1 cos 2kx k α , 17 причём ряд расходится (это обобщённый гармонический ряд при 0 < α ≤ 1), а ряд 2kx сходится (это можно доказать с помощью признака Дирихле также, как была доказана сходимость исходного ряда (3) при α > 0; сделайте это. Так как разность расходящегося и сходящегося рядов является расходящимся рядом (докажите это, то ряд при 0 < α ≤ расходится. Поэтому в силу оценки (6) ряд kx также расходится (по признаку сравнения). Итак, ряд kx при x 6= mπ, m ∈ Z сходится абсолютно для α > 1 и сходится условно для 0 < α ≤ 1. Если же x = mπ, m ∈ Z, то этот ряд сходится абсолютно для любого α.N 3. Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость ряд kx · arctg k где x – любе фиксированное число, неравное Положим a k = sin kx k , b k = arctg k. Ряд сходится для любого x (см. пример 2), последовательность {b k } – монотонная и ограниченная (0 < b k < π 2 ), поэтому данный ряд (сходится по признаку Абеля (теорема Исследуем ряд (7) на абсолютную сходимость. Так как arctg k ≥ π 4 (∀k ∈ N), то sin kx · arctg k k ≥ π 4 sin kx а поскольку при x 6= mπ, m ∈ Z ряд kx k расходится (см. пример 2), то ряд kx·arctg k также расходится (по признаку сравнения). Итак, приданный ряд (7) сходится условно. Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость ряд kx 2k α + sin где x – любое фиксированное число, неравное Если α ≤ 0, то общий член ряда не стремиться к нулю при k → ∞, и, следовательно, ряд расходится. Пусть α > 0. Для общего члена ряда справедлива оценка sin kx 2k α + sin kx ≤ 1 2k α − Если α > 1, то ряд сходится – это следует из сравнения со сходящимся обобщённым гармоническим рядом 1 k α : 1 2k α − 1 ≤ 1 k α 18 Поэтому приданный ряд (8) сходится абсолютно. Если же 0 < α ≤ 1, то оценка (9) не позволяет сделать вывод о сходимости или расходимости ряда (Преобразуем выражение для общего члена ряда, используя формулу Тейлора k = sin kx 2k α + sin kx = sin kx 2k α 1 + sin kx 2k α −1 = = sin kx 2k α 1 − sin kx 2k α + o sin kx k α = (10) = sin kx 2k α − sin 2 kx 4k 2α + o sin 2 kx Ряд сходится по признаку Дирихле (см. примера ряд sin 2 kx 4k 2α + o sin 2 kx k 2α i сходится или расходится одновременно в рядом k 2α . В свою очередь, ряд сходится, если 2α > 1, те. α > 1 2 , и расходится, если 2α ≤ 1, те ≤ 1 это было установлено входе решения примера 2). Таким образом, если 2 < α ≤ 1, то ряд (8) сходится, а если α ≤ 1 2 , то этот ряд расходится. Остаётся исследовать ряд (8) на абсолютную сходимость при 2 < α ≤ 1. Так как k | ≥ | sin kx| 2k α + и ряд P ∞ k=1 sin 2 kx 3k α расходится при α ≤ 1, то ряд k | расходится при 2 < α ≤ Итак, ряд (8) расходится при α ≤ 1 2 , сходится условно при 2 < α ≤ 1 и сходится абсолютно при α > Задачи и упражнения для самостоятельной работы. Известно, что ряды P и Q, фигурирующие в теоремах и 11, сходятся. Докажите, что ряд A сходится и справедливо равенство S A = S P − S Q 13. Исследуйте ряды на сходимость и абсолютную сходимость: а) ∞ X k=1 (−1) k √ k 2 + 1 ; б+ k ; в + 1) − ln где+ ж k √ k 2 + k ; з k ln k ; и+ 1 − √ k 2 − 1 ; 19 кл мн оп. Пусть p k > 0 (k = 1, 2, . . .) и p k → 0 при k → ∞. Следует ли отсюда, что ряд p k сходится Ответ обоснуйте. Пусть ряд сходится и lim k→∞ b k a k = 1. Следует ли отсюда, что ряд сходится Ответ обоснуйте. Пусть ряд сходится и последоватльность {b ограниченная. Следует ли отсюда, что ряд k b k |