Числовые ряды функциональные последовательности и ряды учебное пособие Москва 2015 Предисловие
 Скачать 392.56 Kb.
|
|
0 , где 0 < x 0 < 1; б) 0 ≤ x < 1. 4 В примере 2 было установлено, что областью сходимости данного ряда является интервал (−1 < x < 1), причём S(x) = P ∞ k=1 x k = x 1−x . Отсюда следует, что ряд сходится на каждом из промежутков аи б. Для ответа на вопрос орав- номерной сходимости данного ряда на указанных промежутках исследуем последовательность {S n (x)} частичных сумм ряда на равномерную сходимость на этих промежутках. Так как S n (x) = x(1−x n ) 1−x , то при 0 ≤ x < 1 |S n (x) − S(x)| = x n+1 1 − x а) На сегменте 0 ≤ x ≤ x 0 , функция x n+1 1−x имеет, очевидно, наибольшее значение при x = x 0 , и, следовательно) − S(x)| = x n+1 0 1 − x 0 → 0 при n → Это означает, что последовательность {S n (x)} сходится равномерно на сегменте 0 ≤ x ≤ x 0 , те. ряд сходится равномерно на этом сегменте. б) На полусегменте 0 ≤ x < 1 функция x n+1 1−x является неограниченной при любом n, поскольку lim x→1−0 x n+1 1−x = +∞. Следовательно, условие Sup [0;x 0 ] |S n (x) − S(x)| → 0 при n → ∞ не выполнено, и, значит, ряд сходится неравномерно на полусег- менте 0 ≤ x < 1. N 7. Доказать с помощью критерия Коши, что последовательность, где f n (x) = sin x n , сходится неравномерно на всей прямой −∞ < x < +∞. 30 4 Так как lim n→∞ x n = 0 для любого x, то lim n→∞ sin x n = 0, те. последовательность {sin x n } сходится на всей прямой, и предельная функция f (x) = 0, −∞ < x < +Чтобы доказать, опираясь на критерий Коши, что сходимость последовательности {sin x n } не является равномерной на всей прямой, нужно доказать, что ∃ ε > 0, такое, что ∀ N ∃ n > N, p ∈ N и x, для которых выполнено неравенство n (x) − f n+p (x)| ≥ ε. (4) Возьмём ε = 1 и ∀N выберем какое-нибудь n > N и положим p = 2n и x = x n := πn 2 . Тогда n (x n ) − f n+p (x n )| = f n πn 2 − f 3n πn 2 = = sin π 2 − sin π 6 = 1 2 > 1 4 = Таким образом, выполнено условие (4) и, значит, последовательность сходится неравномерно на всей прямой (−∞ < x Отметим, что на любом сегменте сходимость данной последовательности является равномерной (докажите это. Доказать, что ряд P ∞ k=1 x 1+k 4 x 2 сходится равномерно на по- лупрямой R + = {x : x ≥ 0}. 4 Каждый член ряда u k (x) является неотрицательной непрерывной функцией на полупрямой R + , причём u k (0) = и lim x→+∞ u k (x) = 0. Найдём наибольшее значение функции u k (x) на полупрямой R + . C этой целью вычислим производную u 0 k (x) и приравняем её нулю) = 1 · (1 + k 4 x 2 ) − x · 2k 4 x (1 + k 4 x 2 ) 2 = 1 − k 4 x 2 (1 + k 4 x 2 ) 2 = Отсюда находим x другой корень этого уравнения x лежит вне полупрямой R + ). При переходе через точку x производная u 0 k (x) изменяет знак с плюса на минус, поэтому в точке x функция u k (x) имеет наибольшее значение k (x) = u k 1 k 2 = 1 Следовательно k (x)| = u k (x) ≤ 1 2k 2 , x ∈ Таким образом, числовой ряд является мажорантным рядом для данного функционального ряда, итак как мажорантный ряд сходится (это умноженный на 2 обобщённый гармонический ряд сто по признаку Вейерштрасса данный функциональный ряд сходится равномерно на полупрямой R + N 9. Привести пример функционального ряда, который сходится равномерно на некотором множестве, ноне имеет сходящегося мажорантного ряда Покажем, что таким рядом является, например, ряд где u k (x) = (−1) k k = const, на любом заданном множестве В самом деле, ряд является рядом Лейбница и, следовательно, сходится, а поскольку его члены являются постоянными функциями, то последовательность {S n } частичных сумм ряда не зависит от x и, значит, сходится равномерно к сумме ряда на любом заданном множесве Так как |u k (x)| = 1 k , то любой мажорантный ряд для нашего функционального ряда удовлетворяет условию p k ≥ 1 k ∀k ∈ N, а поскольку ряд 1 k расходится (это гармонический ряд, то и любой мажорантный ряд расходится (по признаку сравнения). Таким образом, функциональный ряд k (x), где u k (x) = (−1) k k = const, сходится равномерно на любом заданном множестве, ноне имеет сходящегося мажорантного ряда. Исследовать ряд kx k α (α > на равномерную сходимость на промежутке: а) ε ≤ x ≤ 2π − ε, где 0 < ε < б) 0 < x < 2π. 4 В примере 2 из п. 3 §3 было установлено, что этот ряд сходится в каждой точке x числовой прямой. Если α > 1, то данный ряд (5) сходится равномерно на всей числовой прямой по признаку Вейерштрасса – в качестве сходящегося мажорантного ряда можно взять ряди, следовательно, ряд (5) при > 1 сходится равномерно на промежутках аи б). Пусть 0 < α ≤ а) Введи обозначения a k (x) = sin kx, b k (x) и применим признак Дирихле равномерной сходимости функционального ряда (теорема 21). Воспользуемся оценкой (4) для частичной суммы ряда (5), полученной в упомянутом примере, записав её в виде |S n (x)| = n X k=1 sin kx ≤ 1 | sin x 2 | , n ∈ N, x 6= Отсюда следует, что ≤ 1 sin ε 2 дл любого n прите. последовательность {S n (x)} частичных сумм ряда kx равномерно ограничена на сегменте ε ≤ x ≤ 2π − Последовательность {b n (x)} = { 1 n α } не зависит от x и, следовательно, монотонно и равномерно на сегменте [ε, 2π − ε] стремится к нулю при n → Таким образом, выполнены оба условия теоремы 21, и, значит, данный ряд (5) при 0 < α ≤ 1 сходится равномерно на сегменте, 2π − ε] по признаку Дирихле. б) Если 0 < x < 2π, то знаменатель | sin x 2 | в неравенстве (при x → 0 (и также при x → 2π) принимает сколь угодно малые значения, поэтому это неравенство, хотя и гарантирует ограниченность последовательности {S n (x)} при каждом x ∈ (0; ноне позволяет сделать вывод о равномерной ограниченности этой последовательности на интервале (0; 2π) и, значит, нельзя воспользоваться, как в па, признаком Дирихле. Докажем с помощью критерия Коши, что ряд (5) сходится неравномерно на интервале (0; 2π) при 0 < α ≤ 1. Для этого нужно доказать, что ∃ε > 0, такое, что ∀N ∃n > N, p ∈ N и x ∈ (0; 2π), для которых выполнено неравенство n+p X k=n+1 sin kx k α ≥ Покажем, что можно взять ε = 2 и также любое ε < 2 5 . C этой целью ∀N возьмём какое-нибудь n > N , p = 4n и x = x Если n + 1 ≤ k ≤ n + p = 5n, то kx n ≤ 5π 6 , поэтому sin kx n ≥ 1 2 , Следовательно kx n k α ≥ 1 2 · p (5n) α = 2n (5n) α ≥ 2n 5n = 2 Это доказывает, что при 0 < α ≤ 1 ряд (5) сходится неравномерно на интервале (0; 2π). N 11. Исследовать ряд kx · arctg kx k α (α > 0) 33 на равномерную сходимость на сегменте ε ≤ x ≤ 2π − ε, где < ε < π. 4Введём обозначения k (x) = sin kx k α , b k (x) = arctg kx и применим признак Абеля равномерной сходимости функционального ряда (теорема Ряд k (x) = ∞ X k=1 sin kx сходится равномерно на сегменте [ε, 2π − ε] (это доказано в примере Последовательность {b n (x)} = {arctg nx} равномерно ограничена на сегменте [ε, 2π − ε] (поскольку 0 ≤ arctg kx < π 2 ∀k ∈ и ∀x ∈ [ε, 2π − ε]) и при каждом x ∈ [ε, 2π − ε] она является монотонной. Таким образом, выполнены оба условия теоремы 22, и, значит, данный ряд сходится равномерно на сегменте [ε, 2π − ε] по признаку Абеля. N 12. Доказать, что последовательность {f n (x)} = { nx 1+nx } сходится неравномерно на сегменте 0 ≤ x ≤ 1, однако lim n→∞ Z 1 0 f n (x)dx = Z 1 0 h lim n→∞ f n (x) i dx. (7) 4 Запишем f n (x) в виде f n (x) = 1 − 1 1+nx . Если 0 < x ≤ 1, то lim n→∞ 1 1+nx = 0, поэтому lim n→∞ f n (x) = 1. Если же x = 0, то f n (0) = 0 и lim n→∞ f n (0) = 0. Таким образом (x) = lim n→∞ f n (x) = 1, 0 < x ≤ 1, 0, x = Предельная функция f (x) разрывна в точке x = 0, в то время как все функции f n (x) непрерывны на сегменте [0; 1], поэтому последовательность {f n (x)} сходится неравномерно на этом сег- менте. Вычислим lim n→∞ R 1 0 f n (x)dx и 0 [lim n→∞ f n (x)] dx : Z 1 0 f n (x)dx = Z 1 0 1 − 1 1 + nx dx = x − 1 n ln(1 + nx) 1 0 = 1− ln(n + итак как lim n→∞ ln(n+1) n = 0, то lim n→∞ R 1 0 f n (x)dx = 1; Z 1 0 h lim n→∞ f n (x) i dx = Z 1 0 f (x)dx = Z 1 0 1 · dx = 1. 34 Итак, левая и правая части искомого равенства (7) равны 1, т.е. это равенство справедливо. Доказать, что ряд можно почленно интегрировать на сегменте 0 ≤ x ≤ 1 2 , и с помощью почленного интегрирования найти сумму ряда 1 k·2 k 4 Все члены данного ряда являются непрерывными функциями на сегменте [0, 1 2 ], и ряд сходится равномерно на этом сегменте (это доказано в примере 6), поэтому данный ряд можно почленно интегрировать на сегменте [0, 1 2 ] (по теореме 26). Учитывая, что сумма ряда равна x 1−x , и интегрируя ряд почленно на сегменте [0, 1 2 ], получим равенство 2 0 x 1 − x dx = ∞ X k=1 Z 1 2 0 x Вычислим интегралы, входящие в это равенство 2 0 x 1 − x dx = Z 1 2 0 −1 + 1 1 − x dx = [−x − ln(1 − x)] 1 2 0 = − 1 2 −ln 1 2 = ln 2− 1 2 , Z 1 2 0 x k dx = x k+1 k + 1 1 2 0 = 1 (k + Равенство (8) можно теперь записать так 2 − 1 2 = ∞ X k=1 1 (k + 1)2 k+1 = ∞ X k=2 1 k · 2 k = ∞ X k=1 1 k · 2 k − 1 Отсюда следует, что 1 k · 2 k = ln 2. N 14. Доказать, что ряд можно почленно дифференцировать на сегменте 0 ≤ x ≤ 1 2 , и с помощью почленного дифференцирования найти сумму ряда Все члены данного ряда имеют непрерывные производные k ) 0 = kx на сегменте [0, 1 2 ]; данный ряд сходится на сегменте и его сумма равна x 1−x ; ряд k−1 , составленный из произвольных членов данного ряда, сходится равномерно на сегменте [0, 1 2 ] – это следует из того, что мажорантный ряд для функционального ряда на сегменте сходится (это можно доказать с помощью признака Даламбера или признака Коши. Таким образом, для данного ряда выполнены все условия теоремы 28, поэтому ряд можно дифференцировать почленно на сегменте [0, 1 2 ]: S 0 (x) = ∞ X k=1 (x k ) 0 , 0 ≤ x ≤ 1 те − x 0 = ∞ X k=1 kx или − x) 2 = ∞ X k=1 kx Полагая в последнем равенстве x = 1 2 , получаем = ∞ X k=1 k 1 Умножив обе части равенства на 2 , находим искомую сумму числового ряда Задачи и упражнения для самостоятельной работы. Найдите область сходимости и предельную функцию f (функциональной последовательности {f n (x)}, если: а)f n (x) = arcsin(x n ); б n (x) = arctg(x n ); в n (x) где ж n (x) = ln(1 − x n ); з n (x) = arctg(nx); и n (x) = x n − x кл. Найдите области сходимости и абсолютной сходимости функционального ряда: а) P ∞ k=1 k x k ; б в где ж) P ∞ k=1 arctg(kx) k 2 +|x| ; з) P ∞ k=1 2 k sin(3 −k x); и к kx k 2 19. Исследуйте функциональные последовательности из задания на равномерную сходимость 1) во всей области сходимости) на каждом сегменте из области сходимости. Исследуйте функциональные ряды из задания 18 на равномерную сходимость 1) во всей области сходимости, 2) на каждом сегменте из области сходимости. Докажите, что последовательность {f n (x)} сходится на сегменте [a, b], и выясните, сходится ли она равномерно на этом сегменте и справедливо ли равенство lim n→∞ Z b a f n (x)dx = Z b a h lim n→∞ f n (x) i dx, 36 если: а) f n (x) = x sin nx n , [a; b] = [0; б) f n (x) = xe − √ nx , [a; b] = [0; в) f n (x) = nxe −nx 2 , [a; b] = [0; где) f n (x) = √ n cos x sin n x, [a; b] = ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ. а 2 ; б) 1; в 4 ; г 4 ; да) сходится б) сходится в) сходится г) расходится д) сходится при 0 < a < e, расходится при a ≥ e; е) сходится. а) сходится; б) сходится; в) сходится при 0 < a < расходится при a ≥ г) сходится при 0 < a < 1, расходится при a ≥ д) сходится; е) сходится. а) расходится; б) сходится; в) сходится; г) сходится при α < − 1 2 , расходится при α ≥ − 1 д) сходится при > 1, расходится при α ≤ е) сходится при α < − 1 2 , расходится при α ≥ − 1 ж) сходится; з) сходится при α < расходится при α ≥ и) расходится; к) сходится; л) сходится м) сходится; н) сходится при α > 2, расходится при ≤ о) сходится указание начиная с некоторого номера k) ln k = 1 k ln ln п) расходится указание начиная с некоторого номера k) ln ln k = 1 e (ln ln k)2 > 1 e ln р) сходится указание начиная с некоторого номера ln k) ln k = 1 k ln ln ln k < 1 k 2 ; с) сходится; т) сходится при α > 1, расходится при α ≤ у) сходится ф) расходится указание воспользоваться неравенством k! < κ k при k > 1. 13. а) сходится условно б) сходится абсолютно всходит- ся условно; г) сходится абсолютно; д) сходится условно е) сходится условно ж) сходится условно з) сходится условно и) сходится условно к) сходится условно л) сходится условно м) сходится абсолютно н) сходится абсолютно о) расходится п) сходится абсолютно при α > 1, сходится условно при 0 < α ≤ расходится при α ≤ 0. 14. Не следует. Не следует. Не следует 17. а) −1 < x ≤ 1; lim n→∞ f n (x) = f (x) = 0, 0 < x < 1, π 2 , x = б) −1 < x < ∞; f (x) = 0, −1 < x < 1, π 4 , x = 1, π 2 , x > в) x ≥ 0; f (x) = 0, x = 0, 1, x > где) −∞ < x < ∞; f (x) = 1, x = 0, 0, x 6= ж) −1 < x < 1; f (x) = з) −∞ < x < ∞; f (x) = − π 2 , x < 0, 0, x = 0, π 2 , x > и) −1 < x ≤ 1; f (x) = кл. а) сходится абсолютно при |x| > б) сходится абсолютно при x > в) сходится абсолютно при x > г) сходится абсолютно при x ≥ д) сходится абсолютно при |x| 6= 1; е) сходится абсолютно при −∞ < x < ж) сходится абсолютно приз) сходится абсолютно при −∞ < x < и) сходится условно при x ≥ к) сходится абсолютно при < x < ∞. 19. а 1) сходится неравномерно) сходится равномерно на каждом сегменте [a, b], где −1 < a < b < 1; сходится неравномерно на каждом сегменте [a, 1], где a > б 1) сходится неравномерно) сходится равномерно на каждом сегменте, не содержащем точки x = 1, и неравномерно на каждом сегменте, содержащем точку x = в 1) сходится неравномерно; 2) сходится равномерно на каждом сегменте [a, b], где 0 < a < b, и неравномерно на каждом сегменте [0, г 1) сходится неравномерно) сходится равномерно на каждом сегменте; д: 1) сходится неравномерно) сходится равномерно на каждом сегменте [a, b], где 0 < a < b, и неравномерно на каждом сегменте [0, е 1) сходится неравномерно) сходится равномерно на каждом сегменте, не содержащем точки x = 0, и неравномерно на каждом сегменте, содержащем точку x = ж 1) сходится неравномерно) сходится равномерно на любом сегменте, b], где −1 < a < b < з 1) сходится неравномерно; 2) сходится равномерно на каждом сегменте, не содержащем точки x = 0, и неравномерно на каждом сегменте, содержащем точку x = и 1) сходится неравномерно) сходится равномерно на каждом сегменте [a, b], где −1 < a < b < к 1) сходится неравномерно) сходится равномерно нна каждом сегменте, не содержащем точки x = 0, и неравномерно на каждом сегменте, содержащем точку x = л 1) сходится неравномерно; 2) сходится равномерно на каждом сегменте, не содержащем точки x = 0, и неравномерно на каждом сегменте, содержащем точку x = 0. 20. а 1) сходится неравномерно) сходится равномерно на каждом сегменте из области сходимости; б: 1) сходится неравномерно) сходится равномерно на каждом сегменте [a, где 0 < a < в 1) сходится неравномерно) сходится равномерно на каждом сегменте [a, b], где 0 < a < г 1) сходится неравномерно) сходится равномерно на каждом сегменте, где 0 < a < b, и неравномерно на каждом сегменте, д 1) сходится неравномерно) сходится равномерно на каждом сегменте из области сходимости; е: 1) сходится неравномерно) сходится равномерно на каждом сегменте из области сходимости; ж: 1) сходится равномерно) сходится равномерно на каждом сегменте из области сходимости; з: 1) сходится неравномерно) сходится равномерно на каждом сегменте из области сходимости; и: 1) сходится равномерно) сходится равномерно на каждом сегменте из области сходимости к 1) сходится равномерно) сходится равномерно на каждом сегменте из области сходимости. а) сходится равномерно, равенство справедливо; б) сходится равномерно, равенство справедливо; в) сходится неравномерно, равенство несправедливо г) сходится неравномерно, но равенство справедливо; д) сходится неравномерно, равенство несправедливое) сходится неравномерно, но равенство справедливо Подписано к печати г. Тираж 100 экз. Заказ Отпечатано в отделе оперативной печати Физического факультета МГУ |