2-файл. Что такое функция
![]()
|
Что такое функция? Фу́нкция (отображе́ние, опера́тор, преобразова́ние) — в математике соответствие между элементами двух множеств, установленное по такому правилу, что каждому элементу первого множества соответствует один и только один элемент второго множества. Функция – это соответствие между двумя множествами такое, что каждому элементу одного множества ![]() ![]() ![]() ![]() Пример 1: задана функция, которая ставит в соответствие каждому человеку размер его обуви. Область определения функции ![]() ![]() Пример 2: задана функция, которая ставит в соответствие каждому дню месяца среднюю температуру воздуха. Область определения функции ![]() ![]() ![]() Способы задания функций Числовые функции можно задавать разными способами. Аналитический. Графический. Табличный. Аналитический способ — это способ задания функции с помощью формулы. Например, формула y = x - 2 показывает, как с помощью значения аргумента x вычислить соответствующее ему значение функции y. Табличный способ — это способ задания функции с помощью таблицы со значениями. Например, если измерять температуру воздуха каждый час в течении суток, то каждому часу (t) будет соответствовать определённая температура (T). Такое соответствие можно записать в виде таблицы:
Следовательно, T функция от t — T(t), определённая с помощью множества целых чисел от 0 до 24 и заданная таблицей. Соответствие между величинами двух переменных задаётся в данном случае не формулой, а таблицей. Графический способ — это способ задания функции с помощью графика. В этом случае аргумент является абсциссой точки, а значение функции, соответствующее данному аргументу, ординатой. Графики позволяют быстро находить значение функции по значению аргумента и наоборот — значение аргумента по значению функции. Например, рассмотрим уже готовый график функции: ![]() Чтобы узнать, какое значение функции будет соответствовать аргументу x = 1, надо провести из соответствующей точки оси абсцисс (оси x) перпендикуляр на график. Ордината точки пересечения перпендикуляра с графиком (точки M) и будет соответствующим значением функции. Поэтому, так как точка M имеет координаты (1; 2), то запись этих значений в виде функции будет выглядеть так: y(1) = 2. Какие элементарные функции вы знаете? 1)Показательная функция y = αx,a>0, a 1; Рис.1 ![]() 2) Степенная функция y = xα, α∈R . Графики степенных функций, соответствующих различным показателям степени, представлены на рис. 2 ![]() 3) Логарифмическая функция y = logax, a>0, a 1; + ![]() Рис. 3 4) Тригонометрические функции y = sinx, y = cosx, ![]() Рис. 4 y = tgx, y = ctgx ![]() Рис. 5 5) Обратные тригонометрические функции y=arcsinx, D (f) = [-1; 1], E (f) = ![]() y = arccos x, D (f ) = [- 1; l], E (f) = ![]() y = arctg x, D (f) = R, E (f) = ![]() y = arcctg x, D (f) = R, E (f) = ![]() К ![]() акие функции называются четными (нечетными)? Нечётная фу́нкция — это функция, меняющая знак при изменении знака независимого переменного. Чётная фу́нкция — это функция, не изменяющая своего значения при изменении знака независимого переменного. Определения Функция ![]() называется нечётной, если справедливо равенство ![]() Функция ![]() ![]() Если не выполняется ни одно из этих равенств, то функция называется функцией общего вида. Примеры Нечётные функции функции с нечетными степенями .y=sin x, y=tg x, y=ctg x Чётные функции Чётная степень ![]() где ![]() Какие функции называются периодическими? 1. ЧислоT≠0называетсяпериодомфункции f, если вместе со всяким числомx∈D(f) числа х+Т и x-Т также принадлежат D(f) и выполняется равенство f(x+Т)=f(x). 2. Функция называетсяпериодической, если она имеет хотя бы один период. Естественно, функцию называют периодической с периодом Т, если число Т является ее периодом. Сама форма определения периода подсказывает, что периодов у функции может быть много: в нем подразумевается, что всякое число Т с указанным свойством является периодом функции f, а вы прекрасно знаете, что если Т — период f, то любое его кратное, т.е. число вида nТ, где n — любое целое число, является ее периодом. В частности, поэтому некорректны, строго говоря, часто встречающиеся фразы типа «Периодом функции y=sinxy=sinx является 2π» — периодов у синуса много, и лишь один из них равен 2π. В то же время не может вызвать никаких возражений фраза — из те же слов, но в другом порядке: «2π является периодом функции y=sinxy=sinx». Дать определение убывающей функции Функция ![]() ![]()
(Большему значению аргумента соответствует меньшее значение убывающей функции). Имеется тесная взаимосвязь между поведением функции ![]() ![]() ![]() Если ![]() ![]() ![]() Тогда ![]() и, следовательно, функция ![]() ![]() Функция ![]() ![]()
Другими словами, большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Дана функция f(x)=x2+4x-5. Вычислить f(5) f(5)=x2+4x-5=25+4•5-5=40 ответ: f(5)=40 Свойства тригонометрических функций Свойства синуса. Область определения функции — множество всех действительных чисел: D(y)=R. Множество значений — интрервал [−1; 1]: E(y) = [−1;1]. Функция y=sin(α) - нечетная: sin(−α)=−sinα. Функция оказывается периодической, самый маленький неотрицательный период соответствует 2π: sin(α+2π)=sin(α). График функции пересекает ось Ох при α=πn,n∈ Z. Промежутки знакопостоянства: y>0 при (2πn+0;π+2πn),n∈Z и y<0 при (π+2πn;2π+2πn),n∈Z. Функция является непрерывной и у нее есть производная с любым значением аргумента: (sinα)′=cosα. Функция y=sinα возрастает при α∈(−π/2+2πn;π/2+2πn) n∈Z, и убывает при α∈(π2+2πn;3π2+2πn), n∈Z. Минимум функции при α=−π/2+2πn, n∈Z, а максимум при α=π/2+2πn, n∈Z. Свойства косинуса. Область определения функции — множество всех действительных чисел: D(y)=R. Множество значений — интервал [−1; 1]: E(y) = [−1;1]. Функция y=cos(α) - четная: cos(−α)=cosα. Функция периодическая, самый маленький неотрицательный период соответствует 2π: cos(α+2π)=cos(α). График функции пересекает ось Ох при α=π/2+πn,n∈Z. Промежутки знакопостоянства: y>0 при (−π/2+2πn;π/2+2πn),n∈Z и y<0 при (π/2+2πn;3π/2+2πn),n∈Z. Функция является непрерывной, у нее есть производная с любым значением аргумента: (cosα)′=−sinα. Функция y=cosα возрастает при α∈(−π+2πn;2πn),n∈Z, и убывает при α∈(2πn;π+2πn),n∈Z. У функции есть минимум при α=π+2πn,n∈Z, а максимум при α=2πn,n∈Z. ![]() Свойства тангенса.Область определения функции — множество действительных чисел: D(y)=R, исключая числа α=π/2+πn. Множество значений — множество действительных чисел: E(y)=R. Функция y=tg(α) - нечтная: tg(−α)=−tg α. Функция оказывается периодической, самый маленький неотрицательный период соответствует π: tg(α+π)=tg(α). График функции пересекает ось Ох при α=πn,n∈Z. Промежутки знакопостоянства: y>0 при (πn;π/2+πn),n∈Z и y<0 при (−π/2+πn;πn),n∈Z. Функция является непрерывной, есть производная с любым значением аргумента из области определения: (tgx)′=1/cos2x. Функция y=tg α возрастает при α∈(−π/2+πn;π/2+πn),n∈Z. ![]() Свойства котангенса. Область определения функции — множество действительных чисел: D(y)=R, исключая числа α=πn. Множество значений — множество действительных чисел: E(y)=R. Функция y=ctg(α) - нечетная: ctg(−α)=−ctg α. Функция периодическая, самый маленький неотрицательный период равен π: ctg(α+π)=ctg(α). График функции пересекает ось Ох при α=π/2+πn,n∈Z. Промежутки знакопостоянства: y>0 при (πn;π/2+πn),n∈Z и y<0 при (π/2+πn;π(n+1)),n∈Z. Функция является непрерывной, есть производная в любом значении аргумента из области определения: (ctgx)′=−1/sin2x. Функция y=ctg α убывает при α∈(πn;π(n+1)),n∈Z. ![]() Определить на четность данной функции ![]() ![]() ![]() Функция общего вида. Не является ни чётной, ни нечётной |