шпора по аналит геометрии и линейной алгебре. Действия над матрицами

• Название: Действия над матрицами
• Анкор: шпора по аналит геометрии и линейной алгебре
• Дата: 26.01.2020
• Размер: 5.1 Mb.
• Имя файла: Izmenen.docx
• Тип: Документы; #105911
• страница: 30 из 34

или в матричной форме: f = eC

где C — матрица перехода

Замечание. В силу линейной независимости базисных векторов матрица C — невырожденная ( det C ≠ 0 ). Следовательно, C имеет обратную матрицу C ^− 1 .

Теорема 1. Преобразование координат вектора при переходе от "старого" базиса e к "новому" базису fопределяется формулой:

X\f = C − 1X\e.

Доказательство. Обозначим координатные столбцы произвольного вектора

x О Xn в "старом" базисе e





43 вопрос. Пусть дан линейный оператор A, действующий в линейном пространстве X: y = A(x), ∀x ∈ X, y ∈ X. Число λ называется собственным значением оператора A, если существует такой ненулевой вектор x, что справедливо равенство A(x) = λ·x. Любой ненулевой вектор x ≠ 0, удовлетворяющий этому уравнению, называется собственным вектором оператора A, отвечающим собственному значению λ. Теорема 1: Для того чтобы число λ было собственным значением оператора A, необходимо и достаточно, чтобы это число было корнем характеристического уравнения (det(A - λI) = 0) оператора A. Теорема 2: Для того чтобы матрица A линейного оператора А в данном базисе {𝑒𝑘} была диагональной (если все элементы, расположенные не на главной диагонали, равны нулю), необходимо и достаточно, чтобы базисные векторы 𝑒𝑘были собственными векторами этого оператора Теорема 3: Пусть собственные значения 𝜆1 , 𝜆2 , … , 𝜆𝑝оператора А различны. Тогда отвечающие им собственные векторы 𝑒1 ,𝑒2 , … , 𝑒𝑃 линейно независимы. Следствие: Если характеристический многочлен (многочлен, определяющий собственные значение матрицы) оператора А имеет n различных корней, то в некотором базисе матрица оператора А имеет диагональный вид. Для данной матрицы: где Е — единичная матрица, является многочленом от λ, который называется характеристическим многочленом матрицы А. Необходимость характеристического многочлена в том, что собственные значения матрицы являются его корнями.

44. Билинейные и квадратичные формы. Матрица квадратичной формы.

Билинейной формой на линейном пространстве над полем  называется функция  двух векторных аргументов, принимающая значения из поля , линейная по каждому из своих аргументов, т. е. удовлетворяющая следующим условиям: 

1*. ;

2*. ;

3*. ;

4*. .