Департамент образования и молодежной политики хантымансийского автономного округа югры
 Скачать 0.8 Mb.
|
|
Пример 3.5. Найти все решения системы: 4 3 3 4 , 1 2 2 3 , 2 z y x z y x z y x 32 Решение. Так как определитель системы Δ = 0, а определи- тель Δy = 1 ≠ 0, то система решений не имеет. Плоскости не пересе- каются. Случай 3. ∆ = ∆ x = ∆y = ∆z = 0. В этом случае одно из трех уравнений системы (3.5) (любое) является следствием двух других. Система сводится к двум уравне- ниям с тремя неизвестными [7], решений не имеет. 3.3. Математическая запись и решение системы n уравнений с n неизвестными Пусть дана система из n линейных уравнений с n неизвестны- ми x 1 , x 2 , …, x n [4]: , , 2 2 1 1 2 2 2 22 1 21 1 1 2 12 1 11 n n nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a (3.8) Числа a ik называются коэффициентами системы, а числа b 1 , b 2 , …, b n – свободными членами. Система линейных уравнений (3.8) называется однородной, если b 1 = b 2 = … = b n = 0. Матрица nm n n n n a a a a a a a a a A 2 1 2 22 21 1 12 11 (3.9) называется матрицей системы (3.8), а ее определитель – определи- телем системы. Решением системы называется совокупность чисел x 1 = λ 1 , x 2 = λ 2 , …, x n = λ n , которые обращают все уравнения системы в тож- дества. Система, имеющая хотя бы одно решение, называется совме- стимой. Система, не имеющая решений, называется несовместимой. 33 Пусть определитель системы Δ отличен от нуля. Обозначим матрицу-столбец из неизвестных через X и матри- цу-столбец из свободных членов через B: 1 2 , n x x X x 1 2 n b b B b Согласно правилу умножения матриц имеем: n nn n n n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a AX 2 2 1 1 2 2 22 1 21 1 2 12 1 11 Используя определение равенства матриц, данную систему (3.8) можно записать следующим образом: AX = B. (3.10) Равенство (3.10) называется матричным уравнением (здесь в роли неизвестного выступает матрица X). Так как по условию Δ ≠ 0, то для матрицы A существует обратная матрица A –1 . Умножим обе части уравнения (3.10) слева на A –1 . Получим A –1 (AX)=A –1 B. (3.11) Используя сочетательный закон умножения матриц, можно написать: (A –1 A)X = A –1 B. Но так как A –1 A = E = 1 и EX = X, то получаем решение мат- ричного уравнения в виде: X = A –1 B. (3.12) Следует, однако, отметить, что, несмотря на кажущуюся про- стоту решения матричного уравнения, объем вычислений по этому 34 решению остается достаточно большим. Причем, наибольшие труд- ности связаны с нахождением обратной матрицы. Однако, незави- симо от сложности технического выполнения этой операции, сама запись матричных преобразований с ее использованием значительно упрощает решение задач в общем виде. В общем виде изложенное представляется математическим выражением [5]: A ∙ X =B→A –1 ∙A ∙ X = A –1 ∙B→X = A –1 ∙B. (3.13) Пример 3.6. Решить матричным способом систему уравнений: 13 2 , 23 2 3 , 10 2 3 2 3 2 1 2 1 x x x x x x x В матричной форме эта система запишется в виде AX=B. Здесь , 2 1 0 1 2 3 0 2 1 A , 3 2 1 x x x X 13 23 10 B Матрица A –1 была найдена ранее (см. пример 2.9). Теперь согласно равенству (3.12) имеем: 1 4 2 3 9 9 10 4 2 2 1 23 3 . 3 9 9 13 5 1 1 4 3 9 9 X Используя определение равенства матриц, получаем x 1 = 4, x 2 = 3, x 3 = 5. Непосредственной проверкой убеждаемся, что эти значения неизвестных удовлетворяют данной системе. 35 Продолжая рассмотрение системы (3.8), отметим, что при ра- венстве свободных членов нулю (b 1 = b 2 , …, = b n = 0) она превраща- ется в линейную однородную систему n уравнений с n неизвестны- ми [4]: 0 , 0 , 0 2 2 1 1 2 2 22 1 21 1 2 12 1 11 n nn n n n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a (3.14) Система уравнений (3.14) является частным случаем системы (3.8), но имеет свои особенности. Если определитель Δ однородной системы не равен нулю (Δ ≠ 0), то эта система имеет нулевое решение: x 1 = 0, x 2 = 0, …, x n = 0. Это решение называют тривиальным решением однородной системы. Если определитель Δ однородной системы равен нулю (Δ = 0), то система имеет не нулевое решение. Такое решение назы- вают нетривиальным решением однородной системы [4]. Пример 3.7.Найти токи в электрической схеме, представлен- ной на рисунке, с помощью метода контурных токов на основе ал- гебры матриц. Числовые значения сопротивлений (Ом) и ЭДС (В) указаны на рис. 3.7 [8]. Рис. 3.7. Электрическая схема c b a d m Iam Icm I 22 I 33 I 11 5 10 8 2 2 5 4 1 10 10 36 Решение. Из курса «Теоретических основ электротехники» [8] известно, что при расчете методом контурных токов полагают, что в каждом независимом контуре схемы течет свой контурный ток. Уравнения составляют относительно контурных токов, после чего определяют токи ветвей через контурные токи. Число уравне- ний равно числу независимых контуров. Выбираем направления всех контурных токов I 11 , I 22 и I 33 по часовой стрелке. Составляем исходную систему уравнений: , 33 33 33 22 32 11 31 22 33 23 22 22 11 21 11 33 13 22 12 11 11 E I R I R I R E I R I R I R E I R I R I R Определяем: R 11 = 5 + 5 + 4 = 14 Ом; R 22 = 5 + 10 + 2 = 17 Ом; R 33 = 2 + 2 + 1 = 5 Ом; R 12 = R 21 = –5 Ом; R 13 = R 31 = 0; R 23 = R 32 = – 2 Ом; E 11 = –10 В; E 22 = 10 В; E 33 = –8 В. Подставляя значения свободных членов и коэффициентов в исходные уравнения, получаем систему уравнений: 14I 11 – 5I 22 = –10; –5I 11 + 17I 22 – 2I 33 = 10; –2I 22 + 5I 33 = –8. Представляем эту систему в матричной форме: 8 5 2 0 10 2 17 5 10 0 5 14 Вычисляем определитель системы: 1009 5 2 0 2 17 5 0 5 14 Определитель системы не равен нулю. Это означает, что си- стема имеет единственное решение [7]: 37 11 11 I , 22 22 I , 33 33 I Определитель Δ 11 получается из определителя Δ заменой эле- ментов первого столбца свободными членами: 640 5 2 8 2 17 10 0 5 10 11 Аналогично получаются Δ 22 = 226, Δ 33 = –1524. Определяем контурные токи: I 11 = Δ 11 /Δ = –640/1009 = –0,634 A, I 22 = 0,224 А, I 33 = –1,51 А. Рассчитываем токи в ветвях: Icm = I 11 – I 22 = –0,634 – 0,224 = –0,86 A, Iam = I 22 – I 33 = 0,224 + 1,51= 1,734 A, Ibc = I 11 = –0,634, Ica = I 22 = 0,224 А, Iad = I 33 = –1,51 А, Iam = I 33 = –1, 51 А. 3.4. Решение линейных уравнений на основе применения обратных матриц В ряде электротехнических задач приходится многократно решать системы уравнений при неизменной схеме замещения элек- троэнергетической системы, например, при расчете режимов макси- мальных и минимальных нагрузок, когда задаются различные уров- ни напряжения источников, при изменении нагрузок в узлах. В та- ких случаях приходится многократно решать одну и ту же систему (3.8) уравнений с изменяющимися правыми частями, т. е. матрица системы (3.9) остается неизменной, а в каждом расчете меняются столбцы правых частей. При решении таких задач рекомендуется использовать матричное уравнение вида (3.12). Поскольку коэффициенты системы уравнений не меняются, то обратная матрица A –1 вычисляется один раз. Для получения ре- шения относительно неизвестных Xс другими правыми частями нужно лишь умножить эту обратную матрицу на новый столбец 38 правых частей. Так как операция умножения матрицы является бо- лее экономичной по сравнению с операцией решения системы урав- нений, то применение обратной матрицы для многократного реше- ния уравнений также является более экономичной операцией [9]. Пример 3.8. Найти токи в ветвях электрической схемы, рас- смотренной в примере 3.7, при различных значениях E 11 , E 22 , E 33 Случай 1. E 11 = –10 В, E 22 = 10 В, E 33 = –8 В, т. е. такие как в предыдущем примере. В матричной форме исходная система уравнений (пример 3.7) имеет вид [8]: [R][I] = [E], где 11 12 13 21 22 23 31 32 33 ; R R R R R R R R R R 11 22 33 ; I I I I 11 22 33 E E E E Так как определитель Δ = det[R] = 1009 ≠ 0, то матрица [R] яв- ляется неособенной (невырожденной) и имеет обратную ей матрицу [R] –1 . Учитывая это, можем записать: [I] = [E][R] –1 Для составления обратной матрицы необходимо: а) каждый элемент определителя исходной матрицы: 5 2 0 2 17 5 0 5 14 заменить его алгебраическим дополнением; б) транспонировать полученную матрицу, т. е. строки сделать столбцами; в) разделить транспонированную матрицу на определитель исходной матрицы [R]. Алгебраическим дополнением элемента является его минор, взятый со своим или с противоположным знаком согласно следую- щему правилу: если сумма номеров столбца и строки, на пересече- нии которых стоит элемент, есть число четное, то минор берется со своим знаком, если нечетное, то с противоположным [7]. 39 C учетом изложенного строится матрица: 213 28 10 28 70 25 10 25 81 С Транспонируем полученную матрицу: 213 28 10 28 70 25 10 25 81 T С Составляем обратную матрицу: 211 , 0 028 , 0 01 , 0 028 , 0 069 , 0 025 , 0 01 , 0 025 , 0 08 , 0 213 28 10 28 70 25 10 25 81 1009 1 ] [ 1 R Осуществляем проверку правильности вычислений [R] -1 по формуле: [R][R] –1 = 1; 14 5 0 0, 08 0, 025 0, 01 1 0 0 5 17 2 0, 025 0, 069 0, 028 0 1 0 1. 0 2 5 0, 01 0, 028 0, 211 0 0 1 Подставляем значения [R] –1 и [E] в матричное уравнение си- стемы: [I] = [R] –1 [E], Получаем 11 22 32 0, 08 0, 025 0, 01 10 0, 08 ( 10) 0, 025 10 0, 01 ( 8) 0, 63 0, 025 0, 069 0, 028 10 0, 025 ( 10) 0, 069 10 0, 028 ( 8) 0, 22 . 0, 01 0, 028 0, 211 8 0, 01 ( 10) 0, 028 10 0, 211 ( 8) 1, 51 I I I 40 Таким образом, имеем I 11 = – 0,63 A, I 22 =0,22 А, I 33 = –1,51 А. При этом токи в ветвях схемы составляют: Icm = I 11 – I 22 = – 0,63 – 0,22 = – 0,85 A, Iam = I 22 – I 33 = 0,22 + 1,51 = 1,73 A, Ibc = I 11 = – 0,63, Ica = I 22 = 0,22 А, Iad = I 33 = –1,51 А, Iam = I 33 = –1, 51 А. Полученные результаты совпадают с результатами решения задачи 3.7 с помощью определителей. Случай 2. Требуется определить токи в ветвях при изменяю- щихся ЭДС в контурах схемы. Пусть в какой-то момент E 11 = –20 В, E 22 = 10 В, E 33 = –10 В, тогда матричное уравнение примет вид: 11 22 32 0, 08 0, 025 0, 01 20 0, 08 ( 20) 0, 025 10 0, 01 ( 10) 1, 45 0, 025 0, 069 0, 028 10 0, 025 ( 20) 0, 069 10 0, 028 ( 10) 0, 09 . 0, 01 0, 028 0, 211 10 0, 01 ( 20) 0, 028 10 0, 211 ( 10) 2, 03 I I I Таким образом получили I 11 = –1,45 A, I 22 = –0,09 А, I 33 = –2,03 А. При этом токи в ветвях схемы составляют: Icm = I 11 – I 22 = –1,45 + 0,09 = –1,36 A, Iam = I 22 – I 33 = – 0,09 + 2,03 = 1,94 A, Ibc = I 11 = –1,45, Ica = I 22 = – 0,09 А, Iad = I 33 = –2,03 А, Iam = I 33 = –2,03 А. Пример 3.9. Найти решения системы уравнений третьего по- рядка с использованием обратной матрицы, полученной классиче- ским способом [2]: 2 , 9 3 2 , 4 3 2 1 3 2 1 3 2 1 x x x x x x x x x Записываем матрицу коэффициентов системы: 1 1 1 1 3 2 1 1 1 A 41 Вычисляем определитель исходной матрицы: Δ = –3 + 1 – 2 – 3 + 1 + 2 = –4. Тогда в соответствии с правилами определения обратную матрицу A –1 получим в следующем виде: 4 1 5 , 0 4 5 4 1 5 , 0 4 3 5 , 0 0 5 , 0 3 1 2 1 1 1 1 1 1 3 1 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 3 1 1 1 1 1 1 1 1 3 4 1 1 A Убеждаемся в достоверности определителя А –1 по формуле (2.10): 1 0,5 0 0,5 1 1 1 1 0 0 3 1 2 3 1 0,5 0 1 0 1. 4 4 1 1 1 0 0 1 5 1 0,5 4 4 A A Для нахождения решения системы уравнений умножаем по- лученную обратную матрицу на матрицу-столбец правых частей: 1 2 1 2 9 4 4 1 5 , 0 4 5 4 1 5 , 0 4 3 5 , 0 0 5 , 0 3 2 1 x x x Таким образом, получили x 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = 1. Приведенные примеры 3.8 и 3.9 свидетельствуют об эффек- тивности использования обратной матрицы при решении систем уравнений с изменяющимися свободными членами. Однако, класси- 42 ческий способ обращения матриц трудоемок, так как при его ис- пользовании необходимо вычислить определитель n степени и n 2 , определителей (n–1) степени, где n – порядок решаемой системы уравнений. Вычисление определителей порядка n требует 3 ) 3 )( 1 ( 2 n n n операций умножения и деления, поэтому сейчас используются так же другие способы получения обратных матриц. Эти способы будут рассмотрены при решении задач установившихся и переходных ре- жимов ЭЭС. |