Департамент образования и молодежной политики хантымансийского автономного округа югры

• Название: Департамент образования и молодежной политики хантымансийского автономного округа югры
• Дата: 03.12.2019
• Размер: 0.8 Mb.
• Имя файла: Davydov_M_S_Elementy_vysshey_algebry_v_fiziko-matematicheskikh_z.pdf
• Тип: Учебное пособие; #98357
• страница: 1 из 5

ДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ И МОЛОДЕЖНОЙ ПОЛИТИКИ
ХАНТЫ-МАНСИЙСКОГО АВТОНОМНОГО ОКРУГА – ЮГРЫ
_______________________________
БУ ВО «СУРГУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Кафедра радиоэлектроники и электроэнергетики
ЭЛЕМЕНТЫ ВЫСШЕЙ АЛГЕБРЫ
В ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИХ ЗАДАЧАХ
ЭЛЕКТРОЭНЕРГЕТИКИ
Учебное пособие
Сургут
Издательский центр СурГУ
2018

2
УДК 621.31(075.8)+51-7(075.8)
ББК 31.2я73
Э456
Печатается по решению редакционно-издательского совета СурГУ
Рецензенты:
к. техн. н., Тобольский индустриальный институт филиал ФГБОУ ВО «ТИУ» Г. В. Иванов; к. техн. н., доцент кафедры радиоэлектроники и электроэнергетики
СурГУ П. В. Рысев
Э456
Элементы высшей алгебры в физико-математических
задачах электроэнергетики : учеб. пособие / сост. : М. С. Да- выдов [и др.] ; Сургут. гос. ун-т. – Сургут : ИЦ СурГУ, 2018. –
50 с.
Учебное пособие соответствует ФГОС ВО подготовки магистров по направлению 13.04.02 Электроэнергетика и электротехника.
Рассмотрены отдельные положения теории матриц и определите- лей, приведены матричная запись и решения систем n уравнений с n
неизвестными применительно к электроэнергетике. Отличительной осо- бенностью является значительное количество примеров и задач с реше- ниями. Для качественного усвоения материала рекомендуется самостоя- тельно решить ряд задач и выполнить контрольную работу.
Предназначено для магистрантов очной формы обучения, изучаю- щих дисциплину «Физико-математические задачи электроэнергетики».
Может быть полезно инженерам, занятым в области передачи, распре- деления и потребления электрической энергии.
УДК 621.31(075.8)+51-7(075.8)
ББК 31.2я73
© БУ ВО «Сургутский государственный университет, 2018

3
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение ……………………………………………………………
4 1. Матрицы …………………………………………………………
6 1.1. Понятие матрицы ………………………………………...
6 1.2. Общие сведения и определения …………………………
7 1.3. Свойства матриц …………………………………………. 10 1.4. Специальные матрицы …………………………………...
16 2. Детерминанты (определители) и обратная матрица ………….
19 2.1. Понятие определителя …………………………………..
19 2.2. Определители второго порядка …………………………
19 2.3. Определители третьего порядка ………………………..
20 2.4. Определители высших порядков ……………………….
23 2.5. Обратная матрица ………………………………………..
24 3. Применение матричной алгебры к исследованию и решению систем уравнений …………………………………………………. 28 3.1. Два уравнения с двумя неизвестными …………………. 28 3.2. Исследование системы трех уравнений первой степени с тремя неизвестными ……………………………………….. 30 3.3. Матричная запись и решение системы n уравнений с n неизвестными ………………………………………………… 32 3.4. Решения линейных уравнений на основе применения обратных матриц …………………………………………….. 37 4. Упражнения ……………………………………………………... 42 5. Задания на контрольную работу ……………………………….
47 5.1. Общие указания и исходные данные …………………...
47 5.2. Задачи контрольной работы …………………………….
47
Список литературы ………………………………………………... 49

4
ВВЕДЕНИЕ
При планировании развития, проектировании и управлении режимами электроэнергетических систем (ЭЭС) необходимо решать круг технических и технико-экономических задач, которые имеют аналитический и расчетный характер. Физико-технические задачи электроэнергетики достаточно сложны, что обусловлено:
- сложностью ЭЭС;
- высокой скоростью и взаимосвязью процессов, протекаю- щих в различных элементах системы в нормальных и аварийных режимах;
- обеспечением надежной работы при различных авариях.
Как следствие, решаемые задачи электроэнергетики являются многофункциональными, зависящими от многих параметров, гро- моздкими, требующими сложных и объемных расчетов. По этой причине электроэнергетика является одной из отраслей народного хозяйства, где нашли широкое применение различные моделирую- щие и вычислительные устройства.
В настоящее время для выполнения энергетических расчетов широко применяются специализированные расчетно-исследователь- ские программные комплексы: РАСТР, «Мустанг», «Космос» и др.
Данные программные комплексы позволяют решать задачи расчета установившихся режимов (РАСТР, «Мустанг»), электромагнитных и электромеханических переходных процессов («Мустанг»).
Опыт применения этих и других программных комплексов свидетельствует об определенных трудностях их применения. Од- ним из препятствий успешного их использования является недоста- точная подготовка пользователей этими программами в области прикладной математики. Не секрет, что специалисты самой высокой категории тратят массу сил и времени на освоение математических секторов, лежащих за рамками собственной специальности. С дру- гой стороны, при перегрузках дисциплин электроэнергетической науки сложными математическими выкладками, на изучение кото- рых к тому же отводится не достаточное количество часов в вузов- ских программах по высшей математике, достичь полного понима- ния установившегося и переходных режимов электрических сетей и других технических средств довольно сложно. Здесь уместно ука- зать на аналог объединения гантели с теннисной ракеткой, при ко- торой не решаются обе задачи атлета, хотя это не сразу бросается в глаза [9].

5
В условиях информационного «наводнения» инструменты вчерашнего дня перестают работать. Поэтому изучать сложный ма- териал нужно как-то иначе. Короче, те же «колеса», тот же «руль», та же математическая суть, – но по-другому [9]. Математические разработки необходимо освободить от рутины, они должны давать общую картину, мотивы, связи, «что зачем». С этой позиции сдела- на попытка изложить элементы высшей алгебры, которые широко применяются для сокращенной записи систем уравнений, упорядо- чения решения этих систем уравнений, исследования топологиче- ских свойств электрических сетей и т. д.
В данном учебном пособии рассмотрены отдельные положе- ния теории матриц и определителей, приведены матричная запись и решения систем n уравнений с n неизвестными применительно к электротехнике. Отличительной его особенностью является значи- тельное количество примеров и задач с решениями. Это должно способствовать более легкому вхождению в любую тему физико- математических задач электроэнергетики.
Для повышения качества усвоения материала рекомендуется самостоятельно решить ряд задач и выполнить контрольную работу.
В качестве аналога к этому можно привести слова известного мате- матика В. Босса «Самолеты позволяют летать, но добраться до аэропорта приходится самому» [9].

6
1. МАТРИЦЫ
1.1. Понятие матрицы
Пусть даны прямоугольная система координат Oxyz и точка М с координатами х
1
, х
2
, х
3
. Здесь координаты точки М обозначаются через х
1
, х
2
, х
3
вместо x, y, z [1]. Рассмотрим радиус-вектор r точки
M:
r
OM

При этом будем иметь ввиду, что радиусом-вектором точки М называется вектор, идущий из начала координат в эту точку.
Обозначим через
1
,
e
2
,
e
3
e
единичные базисные векторы; то- гда вектор r в данной системе координат запишется так:
1 1 2
2 3
3
r
x e
x e
x e



Преобразуем данную систему координат поворотом ее вокруг начала координат О и будем считать известными углы, которые об- разует каждая ось новой системы координат
z
y
x
O



с каждой осью старой. Обозначим через
1 2
3
,
,
х х х
  
координаты точки М в новой си- стеме координат, а через
1
,
e

2
,
e

3
e

единичные базисные векторы новых осей. Тогда вектор r в новой системе координат запишется в виде [1]:
3 3
2 2
1 1
e
x
e
x
e
x
r









Приравнивая выражения для вектора r , получаем векторное равенство:
3 3
2 2
1 1
3 3
2 2
1 1
e
x
e
x
e
x
e
x
e
x
e
x











(1.1)
Рассмотрим преобразование координат точки М при повороте систем координат.
Разложим векторы
1
,
e

2
,
e

3
e

по старому базису:

















,
,
3 33 2
23 1
13 3
3 32 2
22 1
12 2
3 31 2
21 1
11 1
e
a
e
a
e
a
e
e
a
e
a
e
a
e
e
a
e
a
e
a
e
(1.2)

7
Каждый из векторов
1
,
e

2
,
e

3
e

является единичным, поэтому для каждого из них коэффициентами разложения служат направля- ющие косинусы, т. е.
,
cos
,
,
cos
,
,
cos
,
,
cos
,
,
cos
,
,
cos
,
,
cos
,
,
cos
,
,
cos
3 3
33 2
3 32 1
3 31 3
2 23 2
2 22 1
2 21 3
1 13 2
1 12 1
1 11

















































































e
e
a
e
e
a
e
e
a
e
e
a
e
e
a
e
e
a
e
e
a
e
e
a
e
e
a
Заменяя в равенстве (1.1) векторы
1
,
e

2
,
e

3
e

их разложениями
(1.2) и группируя подобные члены, получаем

 



3 3
33 2
32 1
31 2
3 23 2
22 1
21 1
3 13 2
12 1
11 3
3 2
2 1
1
e
x
a
x
a
x
a
e
x
a
x
a
x
a
e
x
a
x
a
x
a
e
x
e
x
e
x





















Отсюда, приравнивая коэффициенты при одинаковых базис- ных векторах, находим:























,
,
3 33 2
32 1
31 3
3 23 2
22 1
21 2
3 13 2
12 1
11 1
x
a
x
a
x
a
x
x
a
x
a
x
a
x
x
a
x
a
x
a
x
(1.3)
Следовательно, координаты x
1
, x
2
, x
3
представляют собой ли- нейные комбинации координат
1 2
3
,
,
х х х
  
, полностью определяемые совокупностью коэффициентов a
11
, …, a
33
. Таким образом, мы при- шли к понятию матрицы [1], как математическому представлению векторов в алгебраической форме.
1.2. Общие сведения и определения
Матрицей в общем случае называют упорядоченную запись ее элементов, располагаемых в определенной последовательности в форме условной таблицы [2].

8














nm
n
n
m
m
a
a
a
a
a
a
a
a
a
2 1
2 22 21 1
12 11
(1.4)
Элементами матрицы могут быть числа любого вида или даже функции одной или нескольких переменных; их запись в форме матрицы не предусматривает каких-либо действий над ними. В мат- рице элементы располагаются по строкам и столбцам, поэтому лю- бая матрица имеет прямоугольную (иногда квадратную) форму.
Элементы каждой строки, а также каждого столбца обладают каким- либо общим свойством.
Алгебра матриц определяет алгебраические операции над массивами элементов описанного типа; при этом предполагается, что каждый массив представляет собой единое целое, в связи с чем он может быть обозначен одним символом. Алгебраические опера- ции осуществляются с отдельными элементами, содержащимися внутри массива, и все же предметом алгебры матриц являются дей- ствия с самими массивами, которые выступают в ней в качестве обособленных и целостных систем [2].
На практике все элементы матрицы обычно обозначают одной буквой. Положение элементов в матрице определяется двумя индек- сами, записанными рядом; первый из них (i) обозначает строку, а второй (j) – столбец, которым принадлежит данный элемент. Такие обозначения позволяют в весьма компактной форме записать не только элементы строк и столбцов, но и целые матрицы. Например, матрицу (1.4) можно записать в следующем виде:
 
ij
a


при i = 1, 2, …, n и j=1, 2, …, m. (1.5)
При проведении операций над матрицами большое значение имеет их порядок – размерность. Порядок матрицы определяется числом ее строк и столбцов. Так, матрица A в соответствии с (1.4), имея n строк и m столбцов, имеет порядок n∙m.
Если элементы матрицы записаны в форме одного столбца

9 1
2
,
n
a
a
a
 
 
 
 
 
 
 
(1.6) то такая матрица называется матрицей-столбцом (столбцовой) или
вектором-столбцом [2].
В том случае, когда элементы матрицы записаны в форме од- ной строки:


1 2
,
m
a
a
a
 
(1.7) то такая матрица называется матрицей-строкой (строчной) или
вектором-строкой.
Матрица, состоящая из нескольких строк и столбцов, как, например, (1.4), называется прямоугольной.
Как видно из (1.6) и (1.7), элементы столбцовой и строчной матриц имеют один индекс – соответственно i или j. Элементы пря- моугольной матрицы снабжают двумя индексами – i и j.
Если число строк матрицы n равно числу столбцов m, то та- кую матрицу называют квадратной. В этом случае элементы a
11
,
a
12
, …, a
nm
, находящиеся на пересечении строк и столбцов, отмечен- ных одинаковыми номерами, считаются расположенными на глав-
ной диагонали и называются диагональными.
Когда элементы квадратной матрицы, расположенные сим- метрично относительно главной диагонали, одинаковы (a
ij
= a
ji
), то такая матрица называется симметричной [2]. Если же указанные элементы, кроме того, равны нулю, то матрица называется диаго-
нальной.
Диагональная матрица, каждый из диагональных элементов которой равен единице, называется единичной:
1 0
0 0
0 1
0 0
1 0
0 1
0 0
0 0
1
E






 






(1.8)

10
В практике матричных операций находят также применение единичная матрица-столбец n:
1 1
,
1
n
 
 
 

 
 
 
(1.9) и транспонированная относительно нее единичная матрица-строка n
t
n
t
= [1,
1, …, 1].
(1.10)
Транспонированной матрицей A
T или A
t
размером m∙n относи- тельно матрицы A размера n∙m называется матрица, получаемая из матрицы A заменой ее строк соответствующими столбцами. Напри- мер, если A имеет вид (1.4), то транспонированную относительно нее получим в виде:














nm
m
m
n
n
t
T
a
a
a
a
a
a
a
a
a
A
A
2 1
2 22 12 1
21 11
(1.11)
Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нуль-
матрицей и обозначается (0) или просто 0.
Две матрицы A и B являются равными (A = B), если они одина- кового размера (т. е. имеют одинаковое число строк и одинаковое число столбцов) и их соответствующие элементы равны. Так, если [4]







22 21 12 11
a
a
a
a
A
и







22 21 12 11
b
b
b
b
B
,
(1.12) то A = B, если a
11
= b
11
, a
12
= b
12
, a
21
= b
21
, a
22
= b
22
1.3. Свойства матриц
Матрицы подобно векторам можно складывать и вычитать, умножать на число и друг на друга, кроме того осуществлять преоб- разование в виде транспонирования и обращения [1 : 4].

11
Сложение матриц. Матрицы одинакового размера можно складывать [1, 2].
Суммой двух таких матриц A и B называется матрица C, элемен- ты которой равны сумме соответствующих элементов матриц A и B.









































32 32 31 31 22 22 21 21 12 12 11 11 32 31 22 21 12 11 32 31 22 21 12 11
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
b
b
b
b
b
a
a
a
a
a
a
B
A
C
. (1.13)