Департамент образования и молодежной политики хантымансийского автономного округа югры

• Название: Департамент образования и молодежной политики хантымансийского автономного округа югры
• Дата: 03.12.2019
• Размер: 0.8 Mb.
• Имя файла: Davydov_M_S_Elementy_vysshey_algebry_v_fiziko-matematicheskikh_z.pdf
• Тип: Учебное пособие; #98357
• страница: 2 из 5

Пример 1.1.




















10 4
5 4
6 3
5 0
3 1
4 2
5 4
2 3
2 1
Легко видеть, что сложение матриц подчиняется перемести- тельному и сочетательному законам [4]:
A + B = B + A,
(A + B) + C = A + (B + C).
(1.14)
Нуль-матрица при сложении матриц выполняет роль обычно- го нуля при сложении чисел: A + 0= A.
Вычитание матриц. Разностью двух матриц A и B одинако- вого размера называется матрица С, такая, что
C + B = A.
Из этого определения следует, что элементы матрицы С рав- ны разности соответствующих элементов матриц A и B.
Обозначается разность матриц A и B так: C = A – B.
Пример 1.2.
2 3
1 2
1 1
1 0
3 1
2 1

 
 




 
 




 
 

Умножение матриц. Произведением матриц A (множимой), имеющей m строк и k столбцов, на матрицу B (множителя), имею- щую k строк и n столбцов, называется матрица С, имеющая m строк

12 и n столбцов, у которой элемент Сij равен сумме произведений эле- ментов i-й строки матрицы A и j-го столбца матрицы B [1]:
1 1 2 2
,
ij
i
j
i
j
ik
kj
c
a b
a b
a b


 
(1.16) где i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n.
Пусть даны две матрицы
,
22 21 12 11







a
a
a
a
A
,
22 21 12 11







b
b
b
b
B
которые необходимо перемножить друг на друга.
В соответствии с (1.16) имеем
11 11 12 21 11 12 12 22 21 11 22 21 21 12 22 22
a b
a b
a b
a b
С
A B
a b
a b
a b
a b




   





(1.17)
Пример 1.3.
1 2
5 6
1 5 2 7 1 6 2 8 19 22 3
4 7
8 3 5 4 7 3 6 4 8 43 50
  
  

 
 
 





 
 
 

  
  

 
 
 

Это правило сохраняется для умножения квадратных матриц третьего и более высокого порядка, а также для умножения прямо- угольных матриц, в которых число столбцов матрицы-множимого равно числу строк матрицы-множителя.
Рассмотрим произведение прямоугольных матриц:





















32 31 22 21 12 11 23 22 21 13 12 11
b
b
b
b
b
b
a
a
a
a
a
a
B
A
C
(1.18)
11 11 12 21 13 31 11 12 12 22 13 32 21 11 22 21 23 31 21 12 22 22 23 32
a b
a b
a b
a b
a b
a b
a b
a b
a b
a b
a b
a b






 








13
Пример 1.4.
1 2
2 1 0 2 1 1 2 0 2 2 2 1 1 0 2 4
5 2
1 3 1 1 3 1 1 2 1 2 3 2 1 1 1 2 7
9 2
2


    
    



 









 



    
    



 





Произведение квадратных матриц третьего порядка:





33 32 31 23 22 21 13 12 11 33 32 31 23 22 21 13 12 11
b
b
b
b
b
b
b
b
b
a
a
a
a
a
a
a
a
a
B
A
C
(1.19)
33 33 23 32 13 31 33 33 22 32 12 31 31 33 21 32 11 31 33 23 23 22 13 21 33 23 22 22 12 21 31 23 21 22 11 21 33 13 23 12 13 11 33 13 22 12 12 11 31 31 21 12 11 11
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a



















Пример 1.5.









1 1
6 1
2 8
1 0
3 1
1 0
1 2
3 0
2 1
B
A
C
0 1
2 4
3 19 3
4 19
)
1
(
1 1
1 1
0
)
1
(
1 2
1 0
0 6
1
)
8
(
1
)
3
(
0
)
1
(
1 1
2 1
3
)
1
(
1 2
2 0
3 6
1
)
8
(
2
)
3
(
3
)
1
(
0 1
2 1
1
)
1
(
0 2
2 0
1 6
0
)
8
(
2
)
3
(
1






























































Произведение матрицы A на вектор-столбец X (1.6):
2 22 1
21 2
12 1
11 2
1 22 21 12 11

























x
a
x
a
x
a
x
a
x
x
a
a
a
a
X
A
C
(1.20)
Пример 1.6.
53 22 8
4 7
3 8
1 7
2 8
7 4
3 1
2









Произведение представляется столбцовой матрицей.

14
Умножение матрицы на число. Произведением матрицы A на число λ есть матрица C, элементы которой равны произведению числа λ на соответствующие элементы матрицы A [1]:
C = λ A = λ∙a
ij
= (λ a
ij
),
(1.21) где i = 1, 2, …, m;
j = 1, 2, …, n.
Пример 1.7.
11 12 21 22 31 32
a
a
C
A
a
a
a
a






  
 









Отсюда следует, что при умножении матрицы на нуль полу- чается нуль-матрица.
Пример 1.8.
Пусть [4]
,
1 3
2 2
0 1







A
1 1
2 1
0 2







B
Найти матрицу Aλ+ Bμ, где λ, μ – скалярные величины.
На основании определения суммы матриц и умножения мат- рицы на число имеем:
2 0
2 2
2 3
A
B
  
  


    

  
  
  


Отличительные особенности перемножения матриц заключа- ются так же в следующих положениях [1, 4]:
1. Умножение матриц не обладает перестановочным свой- ством:
A ∙ B ≠ B ∙ A.
(1.22)
Убедиться в этом можно при рассмотрении численных при- меров.

15
Пример 1.9.
5 6
1 2
5 1 6 3 5 2 6 4 23 34 7
8 3
4 7 1 8 3 7 2 8 4 31 46
A B
  
  

 
 
 

 




 
 
 

  
  

 
 
 

С другой стороны, как установлено выше (пример 1.3):
1 2
5 6
19 22 3
4 7
8 43 50
B A

 








 




 



, таким образом

















50 43 22 19 46 31 34 23
A
B
B
A
Перестановочное свойство выполняется только для произве- дения матрицы A на единичную матрицу E =1 (1.8):
A ∙ 1 = 1 ∙ A.
(1.23)
Следовательно, умножение квадратной матрицы любого по- рядка на соответствующую единичную матрицу не меняет матрицу.
2. Известно [1, 4], что произведение двух отличных от нуля чисел не равно нулю. Для матриц подобное обстоятельство может и не иметь места, т. е. произведение двух ненулевых матриц может оказаться равным нуль-матрице [4].
Пример 1.10.Если







1 1
1 1
A
и









1 1
1 1
B
, то
0 0
0 0
)
1
(
1 1
1
)
1
(
1 1
1
)
1
(
1 1
1
)
1
(
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1















































B
A
3. Умножение матриц подчиняется сочетательному закону [4]
A ∙ (B ∙ C) = (A ∙ B) ∙ C.
В этом легко убедиться при операциях с простейшими квад- ратными матрицами.

16 4. Основные соотношения, которые необходимо учитывать при действии над матрицами [1].
Анализ изложенных свойств матриц и непосредственная про- верка убеждает [1], что для суммы, разности и произведения матриц справедливы следующие соотношения:
(A + B) ∙ C = A ∙ C + B ∙ C
C ∙ (A + B) = C ∙ A + C ∙ B
A ∙ (B ∙ C) = (A ∙ B) ∙ C
(A + B) + C = A + (B + C)
C = A – B
A ∙ B ≠ B ∙ A
0 0
0




B
A
A
T
∙ A = A ∙ A
t
= 1
1.4. Специальные матрицы
В матричной алгебре имеются специальные классы матриц, которые отличаются друг от друга системами связи с их транспони- рованными матрицами. В связи с этим рассмотрим свойства транс- понированной матрицы более подробно [6].
Эта матрица (1.11) получается из матрицы A размером m∙n
(1.4), если элементы строк матрицы A расставлены в столбцы (при этом одновременно элементы столбцов расставляются в строки), и обозначается A
T
или A
t
Пример 1.11.
Имеется прямоугольная матрица
,
1 8
5 6
4 7
1 0
6 2
3 4











A
найти матрицу A
t
. (1.24)

17
Согласно определению транспонированной матрицы запишем:
4 0
6 3
1 5
2 7
8 6
4 1
t
A













Квадратная матрица A называется:
- симметричной, если A
T
= A;
- кососимметричной, если A
T
= –A;
- ортогональной, если A не вырождена и A
T
= A
-1
Пусть A – квадратная матрица с комплексными элементами;
Α – матрица, комплексно сопряженная к A, т. е. получаемая из матрицы A заменой ее элементов на комплексно сопряженные. В этом случае матрица называется:
- эрмитовой, если
Α
Α
Τ

;
- косоэрмитовой, если
A
A
T


;
- унитарной, если A не вырождена и
1
Τ
Α
Α


Пример 1.12. Определить классы матриц A, B, C.
2 1
3 1
0 5 .
3 5
4
A

 

2 1
3 1
0 5 .
3 5
4
T
A

 

Так как A
T
= A, то матрица является симметрической.
0 1
3 1
0 5 .
3 5
0
B




0 5
3 5
0 1
3 1
0
B
B
T






Так как B
T
= –B, то матрица B является кососимметрической. cos sin sin cos
C






1
cos sin
1
sin cos
T
C
C
C

 






, то матрица C является ортогональной.

18
В общем квадратная матрица A с числовыми элементами име- ет следующие основные свойства:
1. Дважды транспортированная матрица равна исходной:
(
)
(
)
T
T
t t
A
A
A


(1.25)
2. Транспортированная матрица суммы двух матриц равна сумме транспортированных матриц:
(A + B)
T
= (A + B)
t
= A
t
+ B
t
= A
T
+ B
T
(1.26)
3. Транспонированная матрица произведения двух матриц равна обратному произведению транспонированных матриц:
(A ∙ B)
T
= (A ∙ B)
t
= B
t
∙ A
t
= B
T
∙ A
T
(1.27)
4. Детерминанты (определители) матриц A и A
t
= A
T
равны: det A
T
= det A
t
= det A.
(1.28)
5. Симметричная матрица не изменяется при транспонировании:
A = A
t
= A
T
.
(1.29)
6. Для каждой матрицы A матрицы A ∙ A
T
и A
T
∙ A являются симметричными.
7. Любую квадратную матрицу A можно разложить в сумму симметрической и кососимметрической матриц:
1 1
(
)
(
)
2 2
T
T
A
A
A
A
A




(1.30)
8. Любая ортогональная матрица 2-го порядка имеет вид: cos sin sin cos



 

,
(1.31) где
1;
[0, 2 ]
   

– некоторый угол.
9. Для ортогональной матрицы
1
det


A
(1.32)

19
2. ДЕТЕРМИНАНТЫ (ОПРЕДЕЛИТЕЛИ)
И ОБРАТНАЯ МАТРИЦА
2.1. Понятие определителя
Понятие определителя (детерминанта) тесно связано с поня- тием матрицы. Каждой квадратной матрице A порядка n с действи- тельными или комплексными элементами можно однозначно поста- вить в соответствие действительное или комплексное число D, ко- торое называется определителем матрицы A. Существует несколько его обозначений [7]:
nn
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
A
D
det
2 1
2 22 21 1
12 11




(2.1)
2.2. Определители второго порядка
Рассмотрим квадратную матрицу второго порядка:
22 21 12 11
a
a
a
a
A

(2.2)
Элементы матрицы A называются элементами определителя
∆, элементы a
11
, a
22
образуют главную диагональ, a элементы a
12
и
a
21
– побочную.
Значение определителя 2-го порядка вычисляется по мнемо- ническому правилу «произведение главных диагональных элемен- тов минус произведение побочных диагональных элементов»:
21 12 22 11 22 21 12 11
det
a
a
a
a
a
a
a
a
A



(2.3)
˗
+
Пример 2.1. Вычислить определитель квадратной матрицы
2-го порядка:

20 2
12 14 7
3 4
2
det






A
Пример 2.2. Определить детерминант единичной матрицы:
1 1
0 0
1
det




A
Таким образом, определитель единичной матрицы равен единице.
Определитель имеет следующие свойства, которые легко про- веряются с помощью правила его вычисления по формуле (2.3).
Величина определителя [4]:
- не меняется, если заменить его строки соответствующими столбцами;
- не меняется, если к элементам какой-либо его строки или столбца прибавить соответствующие элементы другой строки или столбца, умноженные на одно и то же число;
- меняет знак, если поменять местами его строки или столбцы;
- увеличивается в k раз, если элементы какого-либо его столб- ца или строки увеличить в k раз, т. е. общий множитель, имеющийся в строке или столбце, можно выносить за знак определителя;
- равна нулю, если элементы какого-либо его столбца или строки равны нулю;
- равна нулю, если элементы двух строк или столбцов соот- ветственно равны.
2.3. Определители третьего порядка
Рассмотрим квадратную матрицу третьего порядка:
33 32 31 23 22 21 13 12 11











a
a
a
a
a
a
a
a
a
A
(2.4)
Для нахождения значения определителя 3-го порядка также можно указать мнемоническое правило (правило Саррюса): припи- сать к матрице справа два первых столбца, не меняя их порядка, и

21 составить сумму произведений главных диагональных элементов и элементов, параллельных главной диагонали, из которой затем вы- честь сумму произведений элементов побочной диагонали и элемен- тов, параллельных побочной диагонали [6].






31 22 13 32 21 13 31 23 12 33 22 11 32 31 22 21 12 11 33 32 31 23 22 21 13 12 11
det
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
A
˗ ˗ ˗ + + +
33 21 12 32 23 11
a
a
a
a
a
a


(2.5)