Департамент образования и молодежной политики хантымансийского автономного округа югры
Скачать 0.8 Mb.
|
4. Упражнения Приводятся типовые задачи с примерами решения. Предна- значены для практических занятий [2 : 6]: 1. Произвести алгебраические операции над матрицами: 2 3 2 1 0 1 A ; 1 1 0 2 2 0 B ; 1 2 1 0 0 2 C a) A + B; б) 3А + 2В – С; в) 2A – 4B – 3C; г) 3А – 2В + С; д) 2А + 4В – 3С. Решение варианта д): 3 4 1 10 8 8 ) 1 ( 3 1 4 ) 2 ( 2 2 3 1 4 3 2 1 3 0 4 2 2 0 3 ) 2 ( 4 ) 1 ( 2 0 3 2 4 0 2 ) 2 ( 3 0 4 1 2 ) 1 ( 3 2 3 1 3 0 3 0 3 ) 2 ( 3 1 4 1 4 0 4 ) 2 ( 4 2 4 0 4 ) 2 ( 2 3 2 2 2 ) 1 ( 2 0 2 1 2 3 4 2 C B A 2. Найти произведение числовых матриц: а) 6 1 5 0 2 1 1 3 ; б) 5 3 1 5 3 2 0 3 1 2 ; 43 в) 0 4 0 1 1 0 2 1 3 2 1 5 0 4 3 2 ; г) 1 0 0 0 2 0 0 0 5 4 0 1 7 2 5 6 4 2 ; д) 3 0 0 0 3 0 0 0 3 3 2 1 0 5 4 1 2 3 ; е) 3 2 1 0 5 4 1 2 3 3 0 0 0 3 0 0 0 3 Решение примера в): 11 15 7 6 0 0 1 10 4 3 ) 1 ( 2 0 ) 1 ( 1 5 0 0 3 4 4 0 ) 1 ( 4 0 3 1 ) 2 ( 0 4 0 1 1 0 2 1 3 2 1 5 0 4 3 2 3. Даны матрицы A = [a ij ] 2 × 3 ; В = [b ij ] 3 × 1 ; C = [c ij ] 3 × 3 Существуют ли произведения: а) A × B; б) B × A; в) A × C; г) C × A; д) C × B; е) A × B × C; ж) A × C × B; з) C × B × A. Решение данного типа задач основано на знании правил умно- жения матриц, поэтому последовательность решения не произво- дится. 4. Произвести транспонирование матриц: а) 11 12 13 14 15 21 22 23 24 25 31 32 33 34 35 ; a a a a a A a a a a a a a a a a б) 1 0 1 2 ; 3 2 B в) 2 2 3 4 ; 5 6 K г) 1 2 4 5 2 1 0 6 ; 1 1 5 4 C д) 1 4 0 0 1 5 ; 2 3 1 F е) 1 2 7 ; 0 9 10 F ж) 1 5 6 ; 2 2 3 L з) (B + K) t ; и) (D × K) t 44 5. Найти матрицу обратную заданной: а) 1 3 1 2 0 0 1 0 1 ; б) 6 0 0 0 5 0 0 0 1 ; в) 10 2 2 6 5 3 4 3 1 ; г) 3 2 1 5 0 4 3 2 1 ; д) 6 3 4 5 3 2 2 1 1 ; е) 4 3 3 1 1 2 3 2 1 ; ж) 2 3 2 3 2 1 1 1 2 ; з) 4 1 1 2 3 2 3 2 1 ; и) 1 6 1 2 8 1 0 3 1 ; к) 3 2 5 4 3 6 7 5 2 ; л) 1 5 3 1 3 2 5 4 3 ; м) 7 9 8 6 4 2 5 3 1 Решение примера д): Найти матрицу, обратную матрице: 6 3 4 5 3 2 2 1 1 A , 33 23 13 32 22 12 31 21 11 1 det 1 A A A A A A A A A A A , где A ij = (–1) i + j ∙ M ji – алгебраическое дополнение, определенное по исходной матрице A. Вычисляем det A: det A = 1 ∙ 3 ∙ 6 –1 ∙ 3 ∙ 5 – 1 ∙ 2 ∙ 6 – 2 ∙ 3 ∙ 4 + 2 ∙ 3 ∙ 2 + 1 ∙ 4 ∙ 5 = –1. Так как det A ≠ 0, то матрица A имеет обратную матрицу. Найдем алгебраические дополнения матрицы A: 11 3 5 3; 3 6 A 12 2 5 8; 4 6 A 13 2 3 6; 4 3 A 21 1 2 0; 3 6 A 22 1 2 2; 4 6 A 23 1 1 1; 4 3 A 31 1 2 1; 3 5 A 32 1 2 1; 2 5 A 33 1 1 1. 2 3 A 45 1 3 0 1 3 0 1 1 8 2 1 8 2 1 . 1 6 1 1 6 1 1 A Проверяем правильность расчетов по выражению A –1 ∙ A = = A ∙ A –1 = 1: 1 1 2 3 0 1 3 8 12 0 2 2 1 1 2 1 0 0 2 3 5 8 2 1 6 24 30 0 6 5 2 3 5 0 1 0 1. 4 3 6 6 1 1 12 24 36 0 6 6 4 3 6 0 0 1 6. Найдите матрицы, обратные данным: а) 1 2 ; 3 4 б) cos sin sin cos Ответы: 2 1 cos sin a) ; б) 3 1 sin cos 2 2 7. Найдите сумму матриц: а) 3 5 4 1 и 2 3 ; 1 2 б) 3 5 7 2 1 0 4 3 2 и 1 2 4 2 3 2 . 1 0 1 Ответы: 4 7 11 5 8 a) ; б) 4 2 2 . 5 1 3 3 3 8. Найдите матрицу: а) A + 2B, б) 3A – B, если 1 5 4 3 A , 3 2 1 8 B 46 Ответы: 19 6 1 11 a) ; б) 9 7 13 0 9. Вычислите произведения матриц AB, если а) 1 2 , 3 4 A 1 1 ; 0 1 B б) 5 8 4 6 9 5 , 4 7 3 A 3 2 4 1 . 1 2 B Ответы: 43 10 1 3 a) ; б) 49 11 . 3 7 37 9 Вычислите определители (10–18). 10. 6 4 2 3 Ответы: [26] 11. 10 6 3 2 [–38] 12. sin cos cos sin [1] 13. 154 245 55 105 [2695] 14. 12 6 4 6 4 4 . 3 2 8 [72] 15. 5 0 0 5 1 0 3 2 4 2 5 3 3 0 1 4 [–240] 47 16. 3 2 1 1 2 5 4 3 2 [–10] 17. 3 5 4 0 7 0 3 1 2 0 6 5 2 3 0 1 [513] 18. b b b b 0 0 0 1 1 [–2b 2 ] 5. ЗАДАНИЯ НА КОНТРОЛЬНУЮ РАБОТУ 5.1. Общие указания и исходные данные Контрольную работу следует выполнять после освоения раз- дела «Элементы высшей алгебры в физико-математических задачах электроэнергетики» курса «Физико-математические задачи электро- энергетики». Исходными данными является расчетная электриче- ская схема (см. рис. 5.1.) и числовые значения сопротивлений и ЭДС, приведенные в таблице 5.1. Номер варианта определяется по последней цифре шифра ма- гистранта (студента, аспиранта). При выполнении контрольной ра- боты можно ориентироваться на решения задач 3.7 и 3.8, которые соответствуют нулевому варианту. 5.2. Задачи контрольной работы Требуется определить токи в схеме с помощью метода кон- турных токов. Решение осуществить на основе применения теории определителей и обратных матриц. Сравнить полученные результа- ты. Выделить область применения обратных матриц при исследова- нии данной электрической схемы. 48 Рис. 5.1. Электрическая схема к индивидуальному заданию Таблица 5.1 Элементы расчетной схемы Вари- анты Сопротивления, Ом ЭДС, В R 1 R 2 R 3 R 4 R 5 R 6 R 7 E 1 E 2 E 3 0 10 2 1 4 5 5 2 10 8 10 1 4 3 2 3 4 3 1 20 6 8 2 6 2 0,5 2 3 4 2 25 10 10 3 8 1 1,5 3 2 5 1 10 8 12 4 10 2 3 4 5 3 2 15 10 8 5 9 1 1 1 5 4 1,5 10 12 10 6 5 2 0,5 3 5 5 3 15 8 10 7 10 3 1 4 4 5 2 10 10 8 8 8 2 2 2 5 4 1,5 15 8 12 9 10 4 1 4 4 3 2 8 10 10 c b a d m R5 E3 E2 R2 R6 R4 R3 E1 R1 R7 49 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Шипачев В. С. Высшая математика : учеб. для вузов. 6-е изд., стер. М. : Высш. шк., 2003. 479 с. 2. Васюра Ю. Ф., Вильнер А. В. Математические методы рас- чета установившихся режимов работы электроэнергетических си- стем с примерами и иллюстрациями : учеб. пособие. Киров : Киров- ский облстат, 2009. 146 с. 3. Медведева С. Н. Математические задачи в энергетике. Курс лекций. Пенза : ПГУ, 2005. 90 c. 4. Баврин И. И. Высшая математика : учеб. 5-е изд., стер. М. : Академия, 2005. 616 с. 5. Алферова Т. В., Попова Л. М. Математическое моделирова- ние в энергетике : практикум для студентов. [Электронный ресурс]. Гомель : ГГТУ им. П. О. Сухого, 2009. 61 с. URL: http://lib/gstu.local. 6. Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по матема- тике для инженеров и учащихся вузов ; под ред. Г. Гроше, В. Цигле- ра ; пер. с нем. М. : Наука, 1981. 718 с. 7. Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике. 14-е изд. М. : Большая медведица, 2001. 860 с. 8. Бессонов Л. А. Теоретические основы электротехники. Элек- трические цепи : учеб. 7-е изд., перераб. и доп. М. : Высш. школа, 1978. 528 с. 9. Босс В. Лекции по математике. М. : КомКнига, 2005. Т. 4. 216 с. 10. Иванова Е. В., Руппель А. А. Кондуктивные электромагнит- ные помехи в сетях 6-10 кВ ; под ред. В. П. Горелова. Омск : ОФ НГАВТ, 2004. 284 с. 50 Учебное издание ЭЛЕМЕНТЫ ВЫСШЕЙ АЛГЕБРЫ В ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИХ ЗАДАЧАХ ЭЛЕКТРОЭНЕРГЕТИКИ Учебное пособие Составители: Давыдов Михаил Сергеевич Иванова Елена Васильевна Кислицин Евгений Юрьевич Рыжаков Виталий Владимирович Сальников Василий Герасимович Семенов Олег Юрьевич Редактор М. Г. Азнагулова Верстка О. Н. Медведковой Подписано в печать 28.02.2018 г. Формат 60×84/16. Усл. печ. л. 3,2. Уч.-изд. л. 2,5. Тираж 30. Заказ № 3. Оригинал-макет подготовлен и отпечатан в издательском центре СурГУ. Тел. (3462) 76-30-65, 76-30-66. (3462) 76-30-67. БУ ВО «Сургутский государственный университет» 628400, Россия, Ханты-Мансийский автономный округ, г. Сургут, пр. Ленина, 1. Тел. (3462) 76-29-00, факс (3462) 76-29-29. |