Департамент образования и молодежной политики хантымансийского автономного округа югры

• Название: Департамент образования и молодежной политики хантымансийского автономного округа югры
• Дата: 03.12.2019
• Размер: 0.8 Mb.
• Имя файла: Davydov_M_S_Elementy_vysshey_algebry_v_fiziko-matematicheskikh_z.pdf
• Тип: Учебное пособие; #98357
• страница: 5 из 5

4. Упражнения
Приводятся типовые задачи с примерами решения. Предна- значены для практических занятий [2 : 6]:
1. Произвести алгебраические операции над матрицами:
2 3
2 1
0 1



A
;
1 1
0 2
2 0


B
;
1 2
1 0
0 2



C
a) A + B; б) 3А + 2В – С; в) 2A – 4B – 3C; г) 3А – 2В + С; д) 2А + 4В – 3С.
Решение варианта д):
3 4
1 10 8
8
)
1
(
3 1
4
)
2
(
2 2
3 1
4 3
2 1
3 0
4 2
2 0
3
)
2
(
4
)
1
(
2 0
3 2
4 0
2
)
2
(
3 0
4 1
2
)
1
(
3 2
3 1
3 0
3 0
3
)
2
(
3 1
4 1
4 0
4
)
2
(
4 2
4 0
4
)
2
(
2 3
2 2
2
)
1
(
2 0
2 1
2 3
4 2



































































C
B
A
2. Найти произведение числовых матриц: а)
6 1
5 0
2 1
1 3



; б)
5 3
1 5
3 2
0 3
1 2



;

43 в)
0 4
0 1
1 0
2 1
3 2
1 5
0 4
3 2





; г)
1 0
0 0
2 0
0 0
5 4
0 1
7 2
5 6
4 2




; д)
3 0
0 0
3 0
0 0
3 3
2 1
0 5
4 1
2 3



; е)
3 2
1 0
5 4
1 2
3 3
0 0
0 3
0 0
0 3



Решение примера в):
11 15 7
6 0
0 1
10 4
3
)
1
(
2 0
)
1
(
1 5
0 0
3 4
4 0
)
1
(
4 0
3 1
)
2
(
0 4
0 1
1 0
2 1
3 2
1 5
0 4
3 2


































3. Даны матрицы A = [a
ij
]
2 × 3
; В = [b
ij
]
3 × 1
; C = [c
ij
]
3 × 3
Существуют ли произведения: а) A × B; б) B × A; в) A × C; г) C × A; д) C × B; е) A × B × C; ж) A × C × B; з) C × B × A.
Решение данного типа задач основано на знании правил умно- жения матриц, поэтому последовательность решения не произво- дится.
4. Произвести транспонирование матриц: а)
11 12 13 14 15 21 22 23 24 25 31 32 33 34 35
;
a
a
a
a
a
A
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a

б)
1 0
1 2 ;
3 2
B
 

в)
2 2
3 4 ;
5 6
K


 
г)
1 2
4 5
2 1 0 6 ;
1 1
5 4
C



д)
1 4 0
0 1
5 ;
2 3
1
F



е)
1 2 7
;
0 9 10
F

ж)
1 5
6
;
2 2
3
L


з) (B + K)
t
; и) (D × K)
t

44 5. Найти матрицу обратную заданной: а)
1 3
1 2
0 0
1 0
1

; б)
6 0
0 0
5 0
0 0
1
; в)
10 2
2 6
5 3
4 3
1



; г)
3 2
1 5
0 4
3 2
1


; д)
6 3
4 5
3 2
2 1
1
; е)
4 3
3 1
1 2
3 2
1
; ж)
2 3
2 3
2 1
1 1
2



; з)
4 1
1 2
3 2
3 2
1
; и)
1 6
1 2
8 1
0 3
1




; к)
3 2
5 4
3 6
7 5
2


; л)
1 5
3 1
3 2
5 4
3




; м)
7 9
8 6
4 2
5 3
1
Решение примера д):
Найти матрицу, обратную матрице:
6 3
4 5
3 2
2 1
1

A
,
33 23 13 32 22 12 31 21 11 1
det
1
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A


, где A
ij
= (–1)
i + j
∙ M
ji
– алгебраическое дополнение, определенное по исходной матрице A.
Вычисляем det A: det A = 1 ∙ 3 ∙ 6 –1 ∙ 3 ∙ 5 – 1 ∙ 2 ∙ 6 – 2 ∙ 3 ∙ 4 + 2 ∙ 3 ∙ 2 + 1 ∙ 4 ∙ 5 = –1.
Так как det A ≠ 0, то матрица A имеет обратную матрицу.
Найдем алгебраические дополнения матрицы A:
11 3 5 3;
3 6
A


12 2
5 8;
4 6
A
 

13 2 3 6;
4 3
A

 
21 1
2 0;
3 6
A
 

22 1
2 2;
4 6
A

 
23 1 1 1;
4 3
A
 

31 1 2 1;
3 5
A

 
32 1
2 1;
2 5
A
 
 
33 1
1 1.
2 3
A



45 1
3 0
1 3
0 1
1 8
2 1
8 2
1 .
1 6
1 1
6 1
1
A





  




Проверяем правильность расчетов по выражению A
–1
∙ A =
= A ∙ A
–1
= 1:
1 1 2 3
0 1
3 8 12 0 2 2 1 1 2 1 0 0 2 3 5 8
2 1
6 24 30 0 6 5 2 3 5 0 1 0 1.
4 3 6 6
1 1
12 24 36 0 6 6 4 3 6 0 0 1

  
 
 
 
   
 
  

 
  
 
 
6. Найдите матрицы, обратные данным: а)
1 2
;
3 4
б) cos sin sin cos
 



Ответы:
2 1
cos sin a)
;
б)
3 1
sin cos
2 2

















7. Найдите сумму матриц: а)
3 5
4 1
и
2 3
;
1 2

б)
3 5
7 2
1 0
4 3
2

и
1 2
4 2
3 2 .
1 0
1


Ответы:
4 7 11 5
8
a)
;
б) 4 2 2 .
5 1
3 3 3












8. Найдите матрицу: а) A + 2B, б) 3A – B, если
1 5
4 3

A
,
3 2
1 8

B

46
Ответы:
19 6
1 11
a)
; б)
9 7
13 0






9. Вычислите произведения матриц AB, если а)
1 2
,
3 4
A

1 1
;
0 1
B

б)
5 8
4 6
9 5 ,
4 7
3
A




3 2
4 1 .
1 2
B

Ответы:
43 10 1 3
a)
; б) 49 11 .
3 7 37 9










Вычислите определители (10–18).
10.
6 4
2 3

Ответы: [26]
11.
10 6
3 2

[–38]
12. sin cos cos sin





[1]
13.
154 245 55 105
[2695]
14.
12 6
4 6
4 4 .
3 2
8

[72]
15.
5 0
0 5
1 0
3 2
4 2
5 3
3 0
1 4


[–240]

47 16.
3 2
1 1
2 5
4 3
2

[–10]
17.
3 5
4 0
7 0
3 1
2 0
6 5
2 3
0 1




[513]
18.
b
b
b
b

0 0
0 1
1
[–2b
2
]
5. ЗАДАНИЯ НА КОНТРОЛЬНУЮ РАБОТУ
5.1. Общие указания и исходные данные
Контрольную работу следует выполнять после освоения раз- дела «Элементы высшей алгебры в физико-математических задачах электроэнергетики» курса «Физико-математические задачи электро- энергетики». Исходными данными является расчетная электриче- ская схема (см. рис. 5.1.) и числовые значения сопротивлений и
ЭДС, приведенные в таблице 5.1.
Номер варианта определяется по последней цифре шифра ма- гистранта (студента, аспиранта). При выполнении контрольной ра- боты можно ориентироваться на решения задач 3.7 и 3.8, которые соответствуют нулевому варианту.
5.2. Задачи контрольной работы
Требуется определить токи в схеме с помощью метода кон- турных токов. Решение осуществить на основе применения теории определителей и обратных матриц. Сравнить полученные результа- ты. Выделить область применения обратных матриц при исследова- нии данной электрической схемы.

48
Рис. 5.1. Электрическая схема к индивидуальному заданию
Таблица 5.1
Элементы расчетной схемы
Вари-
анты
Сопротивления, Ом
ЭДС, В
R
1
R
2
R
3
R
4
R
5
R
6
R
7
E
1
E
2
E
3 0
10 2
1 4
5 5
2 10 8
10 1
4 3
2 3
4 3
1 20 6
8 2
6 2
0,5 2
3 4
2 25 10 10 3
8 1
1,5 3
2 5
1 10 8
12 4
10 2
3 4
5 3
2 15 10 8
5 9
1 1
1 5
4 1,5 10 12 10 6
5 2
0,5 3
5 5
3 15 8
10 7
10 3
1 4
4 5
2 10 10 8
8 8
2 2
2 5
4 1,5 15 8
12 9
10 4
1 4
4 3
2 8
10 10 c
b
a
d
m
R5
E3
E2
R2
R6
R4
R3
E1
R1
R7

49
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Шипачев В. С. Высшая математика : учеб. для вузов. 6-е изд., стер. М. : Высш. шк., 2003. 479 с.
2. Васюра Ю. Ф., Вильнер А. В. Математические методы рас- чета установившихся режимов работы электроэнергетических си- стем с примерами и иллюстрациями : учеб. пособие. Киров : Киров- ский облстат, 2009. 146 с.
3. Медведева С. Н. Математические задачи в энергетике.
Курс лекций. Пенза : ПГУ, 2005. 90 c.
4. Баврин И. И. Высшая математика : учеб. 5-е изд., стер. М. :
Академия, 2005. 616 с.
5. Алферова Т. В., Попова Л. М. Математическое моделирова- ние в энергетике : практикум для студентов. [Электронный ресурс].
Гомель : ГГТУ им. П. О. Сухого, 2009. 61 с. URL: http://lib/gstu.local.
6. Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по матема- тике для инженеров и учащихся вузов ; под ред. Г. Гроше, В. Цигле- ра ; пер. с нем. М. : Наука, 1981. 718 с.
7. Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике. 14-е изд. М. : Большая медведица, 2001. 860 с.
8. Бессонов Л. А. Теоретические основы электротехники. Элек- трические цепи : учеб. 7-е изд., перераб. и доп. М. : Высш. школа,
1978. 528 с.
9. Босс В. Лекции по математике. М. : КомКнига, 2005. Т. 4.
216 с.
10. Иванова Е. В., Руппель А. А. Кондуктивные электромагнит- ные помехи в сетях 6-10 кВ ; под ред. В. П. Горелова. Омск : ОФ
НГАВТ, 2004. 284 с.

50
Учебное издание
ЭЛЕМЕНТЫ ВЫСШЕЙ АЛГЕБРЫ
В ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИХ ЗАДАЧАХ
ЭЛЕКТРОЭНЕРГЕТИКИ
Учебное пособие
Составители:
Давыдов Михаил Сергеевич
Иванова Елена Васильевна
Кислицин Евгений Юрьевич
Рыжаков Виталий Владимирович
Сальников Василий Герасимович
Семенов Олег Юрьевич
Редактор М. Г.
Азнагулова
Верстка О. Н. Медведковой
Подписано в печать 28.02.2018 г. Формат 60×84/16.
Усл. печ. л. 3,2. Уч.-изд. л. 2,5. Тираж 30. Заказ № 3.
Оригинал-макет подготовлен и отпечатан в издательском центре СурГУ.
Тел. [phone], 76-30-66.
[phone].
БУ ВО «Сургутский государственный университет»
628400, Россия, Ханты-Мансийский автономный округ, г. Сургут, пр. Ленина, 1.
Тел. [phone], факс [phone].