Департамент образования и молодежной политики хантымансийского автономного округа югры

• Название: Департамент образования и молодежной политики хантымансийского автономного округа югры
• Дата: 03.12.2019
• Размер: 0.8 Mb.
• Имя файла: Davydov_M_S_Elementy_vysshey_algebry_v_fiziko-matematicheskikh_z.pdf
• Тип: Учебное пособие; #98357
• страница: 3 из 5

Пример 2.3. Вычислить определитель 3-го порядка квадрат- ной матрицы:
5 4
3 4
3 2
3 2
1

A
Вычисление произведем по правилу Саррюса:
0 20 16 27 24 24 15 4
3 3
2 2
1 5
4 3
4 3
2 3
2 1
det










A
Пример 2.4. Вычислить определитель единичной матрицы
3-го порядка.
Очевидно, что
1 1
0 0
0 1
0 0
0 1
det




A
Все свойства определителей второго порядка остаются спра- ведливыми и для определителей 3-го порядка (проверка их осу- ществляется по формуле 2.5).
Определитель 3-го порядка матрицы A (2.4) можно также определить по формуле [7]:

22 det
32 21 12 11 13 33 31 23 21 12 33 32 23 22 11 33 32 31 23 22 21 13 12 11
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
A






(2.6)
Здесь буквы a
11
, a
12
, a
13
, a
21
, a
22
, a
23
, a
31
, a
32
, a
33
являются эле- ментами определителя.
Определители
33 32 23 22
a
a
a
a
,
33 31 23 21
a
a
a
a
, –
32 21 12 11
a
a
a
a
называются минорами элементов определителя.
Вообще минором какого-либо элемента называется определи- тель, получаемый из данного определителя вычеркиванием той строки и того столбца, на пересечении которых стоит элемент. Обо- значается минор через M
ij
Пример 2.5. Минор элемента a
11
определителя (2.6) есть определитель
33 32 23 22
a
a
a
a
, полученный по схеме:
33 32 31 23 22 21 13 12 11
a
a
a
a
a
a
a
a
a
В формуле (2.6) элементы a
11
, a
12
, a
13 множатся на +
33 32 23 22
a
a
a
a
, –
33 31 23 21
a
a
a
a
, +
32 21 12 11
a
a
a
a
, которые называются ал- гебраическими дополнениями элементов a
11
, a
12
, a
13
и обозначаются
A
11
, A
12
, A
13
Вообще алгебраическим дополнением элемента является ми- нор, взятый со своим или с противоположным знаком согласно сле- дующему правилу: если сумма номеров столбца и строки, на пересе- чении которых стоит элемент, есть число положительное, то минор берется со своим знаком, если нечетное, – то с противоположным.
Элемент a
11
определителя (2.6) стоит на пересечении первой строки и первого столбца. Так как (i + j) = 1 + 1 = 2 есть число чет- ное, то минор элемента a
11
(как алгебраическое дополнение) берется со знаком +. Элемент a
12
стоит на пересечении первой строки и вто-

23 рого столбца. Так как 1 + 2 = 3 есть число нечетное, то алгебраиче- ское дополнение элемента a
12
имеет знак (–). Элемент a
13
стоит на пересечении первой строки и третьего столбца. Так как 1 + 3 = 4 есть число четное, то алгебраическое дополнение элемента a
13
имеет знак +.
Таким образом, определитель ∆ или детерминант detA равен сумме произведений элементов какого-либо столбца на их алгебра- ические дополнения.
Пример 2.6. Найти определитель матрицы:
2 5
2 3
8 0 .
1 3
5

Со- гласно (2.6) можем записать:
3 3
1 8
3 2
5 1
0 3
5 5
3 0
8 2
det






A
Пример 2.7. Найти определитель матрицы A (пример 2.6), разлагая его по элементам второй строки:
3 3
1 5
2 0
5 1
2 2
8 5
3 2
5 3
det









A
2.4. Определители высших порядков
Свойство определителя третьего порядка, выраженное прави- лами его определения, допускает обобщение, которое может быть принято за определение определителя любого порядка.
В общем случае определителем n-го порядка, соответствую- щим квадратной матрице n-го порядка













nn
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
A
2 1
2 22 12 1
21 11
,
(2.7)

24 можно назвать число, равное сумме парных произведений элемен- тов какой-либо строки (столбца) на их алгебраические дополнения.
Заметим, что определители порядка n обладают всеми полу- ченными выше свойствами. В том числе, квадратная матрица A и транспонированная к ней матрица
A

имеют равные определители:






A
A
det det
(2.8)
Определитель произведения квадратных матриц A и B одного порядка с их определителями равен произведению определителей перемножаемых матриц [4]: det (A ∙ B) = det A ∙ det B.
(2.9)
Пример 2.8. Вычислить определитель:
54 39 2
8 3
1 2
5 3
4 0
4 3
2 2
1 0
2 3
2 4
4 1
3 3
1 0
2 5
3 2
4 0
4 1
3 2
0 2
0 3












Заметим, что если в определителе все элементы какой-либо строки (столбца), кроме одного, равны нулю, то при вычислении определителя выгодно разложить его по элементам этой строки
(столбца).
2.5. Обратная матрица
Понятие обратной матрицы вводится и относится только для квадратной матрицы. Если A – квадратная матрица, то обратной для нее матрицей называется матрица A
–1
и удовлетворяющая условиям [4]:
A ∙ A
–1
= E = 1, A
–1
∙ A = E = 1,
(2.10) где E = 1 – единичная матрица.
Операция нахождения обратной матрицы называется операци- ей упрощения [2]. Не всякая квадратная матрица имеет обратную се- бе, а только неособенная или невырожденная, детерминант которой не равен нулю. Матрица, детерминант которой равен нулю, называет- ся особенной или вырожденной и себе обратной не имеет [4].

25
Рассмотрим алгоритм применения классического способа вы- числения обратной матрицы A
–1
для квадратной матрицы A:
1. Определяется детерминант матрицы A. Если det A ≠ 0, то матрица A является неособенной (невырожденной) и имеет обрат- ную матрицу A
–1
. В противном случае дальнейшие расчеты прекра- щаются, так как матрица A не имеет матрицы A
–1 2. Вычисляются алгебраические дополнения элементов мат- рицы A
11
, A
12
, A
13
, A
21
, A
22
, A
23
, A
31
, A
32
, A
33 3. Заменяются элементы исходной матрицы A их алгебраиче- скими дополнениями. Составляется матрица:
33 32 31 23 22 21 13 12 11
A
A
A
A
A
A
A
A
A
C

4. Транспонируется полученная матрица, т. е. строки делают- ся столбцами:
33 23 13 32 22 12 31 21 11
A
A
A
A
A
A
A
A
A
C
T

5. Делится транспонированная матрица на определитель (де- терминант) исходной матрицы A. В результате получается обратная матрица:
33 23 13 32 22 12 31 21 11 1
det
1
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A


Обратная матрица характеризуется следующими свойствами [2]:
1. Детерминант обратной матрицы равен обратной величине детерминанта исходной матрицы:
1 1
det det
A
A


(2.11)

26 2. Обратная матрица произведения двух квадратных матриц равна произведению обратных матриц сомножителей, но взятых в обратном порядке:
(A ∙ B)
–1
= B
–1
∙ A
–1
(2.12)
3. Транспонированная обратная матрица равна обратной транспонированной исходной матрице:
 
 
1 1



t
t
A
A
(2.13)
Пример 2.9. Найти матрицу, обратную матрице [4]:
2 1
0 1
2 3
0 2
1

A
1. Определяем детерминант этой матрицы по правилу Саррюса:
9 12 1
0 0
0 4
1 0
2 3
2 1
2 1
0 1
2 3
0 2
1
det









A
Так как det ≠ 0, то матрица A является неособенной (невыро- жденной) и имеет обратную ей матрицу.
2. Вычисляем алгебраические дополнения:
;
3 2
1 1
2
)
1
(
2 1
1 2
)
1
(
1 1
11







j
i
A
;
6 2
0 1
3
)
1
(
1 2
12





A
3 1
0 2
3
)
1
(
1 3
13




A
Аналогично получаем: A
21
= –4; A
22
= 2; A
23
= –1; A
31
= 2;
A
32
= –1; A
33
= –4.

27 3. Составляется матрица C:
4 1
2 1
2 4
3 6
3






C
4. Транспонируется полученная матрица:
4 1
3 1
2 6
2 4
3






T
C
5. Составляется обратная матрица:
9 4
9 1
3 1
9 1
9 2
3 2
9 2
9 4
3 1
4 1
3 1
2 6
2 4
3 9
1 1













A
6. Проверяется достоверность вычислений по формуле (2.10):
A ∙ A
–1
= 1,
1
]
1
[
1 0
0 0
1 0
0 0
1 9
4 9
1 3
1 9
1 9
2 3
2 9
2 9
4 3
1 2
1 0
1 2
3 0
2 1








Таким образом, подтверждается достоверность определения обратной матрицы A
–1

28
3. ПРИМЕНЕНИЕ МАТРИЧНОЙ АЛГЕБРЫ
К ИССЛЕДОВАНИЮ И РЕШЕНИЮ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ
3.1. Два уравнения с двумя неизвестными
Имеются две прямые линии на плоскости XOY, которые пред- ставлены уравнениями [7]:
1 1
1
h
y
b
x
a


,
(3.1)
2 2
2
h
y
b
x
a


,
(3.2) где x, y – неизвестные;
a
1
, a
2
, b
1
, b
2
– коэффициенты системы;
h
1
, h
2
– свободные члены.
Необходимо определить, при каких условиях пересекаются эти прямые? Если пересекаются, то вычислить x, y.
Решение. Составляются матрица системы
2 2
1 1
1 1
h
b
a
h
b
a
и определитель системы
2 2
1 1
b
a
b
a


. Вычисляются определители неизвестных ∆x, ∆y из ∆ заменой элементов столбцов с неизвестны- ми x, y свободными членами h
1
, h
2 2
2 1
1
b
h
b
h
x


,
2 2
1 1
h
a
h
a
y


(3.3)
Система уравнений (3.1) и (3.2) имеет решения, если опреде- литель системы не равен нулю: ∆ ≠ 0. В этом случае система имеет единственное решение:



x
x
,



y
y
(3.4)
Формулы (3.4) называются формулами Г. Крамера. Следова- тельно, прямые (3.1) и (3.2) пересекаются.
Если же ∆ = 0, но при этом хотя бы один из определителей ∆x,
∆y не равен нулю, то система не имеет решения. Прямые (3.1) и (3.2) параллельны, и не совпадают.

29
Если же ∆ = 0, ∆x = 0, ∆y = 0, то в этом случае, коэффициенты системы и свободные члены пропорциональны. Следовательно, од- но из уравнений (3.1), (3.2) есть следствие другого. Система сводит- ся к одному уравнению с двумя неизвестными и имеет бесчисленное множество решений, прямые совпадают.
Пример 3.1. Необходимо решить систему уравнений:
2x + 3y = 8,
7x – 5y = –3.
Здесь
;
31 5
7 3
2





;
31 5
3 3
8






x
62 3
7 8
2





y
Система имеет единственное решение:
,
1




x
x
2




y
y
Пример 3.2. Необходимо решать систему уравнений:
2x + 3y = 8,
4x + 6y = 10.
Здесь
;
0 6
4 3
2



;
18 6
10 3
8



x
12 10 4
8 2




y
Коэффициенты пропорциональны, а свободные члены не под- чинены этой же пропорции. Система не имеет решений.
Пример 3.3. Необходимо решить систему уравнений [7]:
2x + 3y = 8,
4x + 6y = 16.
Здесь
;
0 6
4 3
2



;
0 6
16 3
8



x
0 16 4
8 2



y
Одно из уравнений есть следствие другого (например, второе получается из первого умножением на 2). Система сводится к одно-

30 му уравнению и имеет бесчисленное множество решений, содержа- щихся в формуле:
3 8
3 2



x
y
или
4 2
3



y
x
3.2. Исследование системы трех уравнений первой степени
с тремя неизвестными
Имеются три плоскости в пространстве, которые представле- ны системой трех уравнений первой степени с тремя неизвестными
x, y, z [1]:














,
,
,
3 3
3 3
2 2
2 2
1 1
1 1
h
z
c
y
b
x
a
h
z
c
y
b
x
a
h
z
c
y
b
x
a
(3.5) где коэффициенты a
1
, a
2
, a
3
, b
1
, b
2
, b
3
, c
1
, c
2
, c
3
, и свободные члены
h
1
, h
2
, h
3
считаются заданными.
Необходимо определить при каких условиях пересекаются эти плоскости? Если пересекаются, то вычислить неизвестные x, y, z.
Тройка чисел x
0
, y
0
, z
0
называется решением системы (3.5), если в результате подстановки этих чисел вместо x, y, z все три уравнения обращаются в тождества.
В дальнейшем основную роль будут играть следующие четы- ре определителя:
1 1
1 2
2 2
3 3
3
,
a
b
c
a
b
c
a
b
c
 
1 1
1 2
2 2
3 3
3
,
h
b
c
x
h
b
c
h
b
c
 
1 1
1 2
2 2
3 3
3
,
a
h
c
y
a
h
c
a
h
c
 
1 1
1 2
2 2
3 3
3
a
b
h
z
a
b
h
a
b
h
 
Определитель ∆ называется определителем системы (3.5).
Определители ∆x, ∆y, ∆z получаются из определителя системы
∆ заменой свободными членами элементов соответственно первого, второго и третьего столбцов.
(3.6)

31
Рассмотрим отдельно два случая: когда определитель ∆ си- стемы отличен от нуля и когда этот определитель равен нулю.
Случай 1. ∆ ≠ 0. В [1] доказано, что если определитель ∆ си- стемы отличен от нуля, то существует, и притом единственное, ре- шение этой системы, и оно выражается формулами Крамера:



x
x
,



y
y
,



z
z
(3.7)
Это означает, что плоскости пересекаются в одной точке.
Пример 3.4. Найти все решения системы:














8 7
2
,
1 3
5 3
,
4 2
z
y
x
z
y
x
z
y
x
Решение. Так как ∆ = 33 ≠ 0, то данная система имеет един- ственное решение, определяемое формулами (3.7):
33 1,
33
x
x





33 1,
33
y
y





33 1.
33
z
z





Следовательно, x = 1, y = 1, z = 1 – решение данной системы.
Случай 2. ∆=0. Пусть хотя бы один из определителей ∆x, ∆y,
∆z отличен от нуля. Тогда хотя бы одно из равенств (3.7) невозмож- но. Действительно, пусть, например, ∆x ≠ 0. Тогда равенство ∆ ∙ x = ∆x невозможно, так как его левая часть ∆ ∙ x = 0 при любом x, а правая часть ∆x ≠ 0.
Система (3.5) решений не имеет. Плоскости не пересекаются.