Дифференциальные уравнения. Дифференциальные уравнения
 Скачать 284.63 Kb.
|
|
И. В. Яковлев | Материалы по физике | MathUs.ru Дифференциальные уравнения Содержание 1 Понятие дифференциального уравнения 1 2 Примеры дифференциальных уравнений 2 3 Первообразная и определённый интеграл 4 4 Непосредственное интегрирование дифференциального уравнения 4 5 Уравнения с разделяющимися переменными 5 Многие законы физики формулируются на языке дифференциальных уравнений. Поэтому уметь интегрировать и решать хотя бы простейшие дифференциальные уравнения жизненно необходимо для решения физических задач. 1 Понятие дифференциального уравнения Что это вообще такое — дифференциальные уравнения? Мы постараемся дать представление об этом на физическом примере. Возьмём второй закон Ньютона: ma = F . Для простоты мы рассматриваем движение тела вдоль оси x, так что a и F суть проекции векторов ускорения и силы на данную ось. Величина a зависит от времени и является второй производной координаты: a = a(t) = ¨ x(t). Сила же, вообще говоря, может зависеть: • от координаты x (например, закон Гука, закон всемирного тяготения, закон Кулона); • от скорости ˙x (например, сила сопротивления среды); • явным образом от времени (например, движение заряда в меняющемся со временем элек- трическом поле). В результате второй закон Ньютона даёт нам соотношение m¨ x = F (x, ˙x, t). (1) Посмотрим, что получится в каком-нибудь содержательном конкретном случае. Возьмём маятник на пружине (F 1 = −kx), который движется в среде с вязким трением (F 2 = −α ˙x), да к тому же имеет заряд q и находится в однородном электрическом поле, синусоидально меняющемся со временем (F 3 = qE 0 sin ωt). Уравнение ( 1 ) тогда примет вид: m¨ x = −kx − α ˙x + qE 0 sin ωt. (2) Что с этим делать дальше? Наша конечная цель — понять, как маятник движется; иными словами, нам нужно решить основную задачу механики — найти зависимость координаты x маятника от времени, то есть функцию x = x(t). Эту функцию как раз и требуется «извлечь» из уравнения ( 2 ). Для однозначного нахождения данной функции нужно ещё указать, в каком 1 месте маятник находился в начальный момент времени и какую скорость при этом имел; иными словами, следует добавить начальные условия x(0) = x 0 , ˙x(0) = v 0 (3) Соотношение ( 2 ) служит примером дифференциального уравнения. Оно связывает искомую функцию x(t) с её производными и является уравнением относительно неизвестной функ- ции x(t). Обратите внимание на это ключевое отличие дифференциальных уравнений от алгеб- раических: например, решая квадратное уравнение x 2 −3x+2 = 0, мы ищем числа, являющиеся его корнями; решая же дифференциальное уравнение ¨ x − 3 ˙x + 2x = 0, мы ищем функцию x(t), при подстановке которой в данное уравнение получается верное равенство для любого t. Возвращаясь от примера маятника к общему случаю, мы теперь можем сказать следующее: найти решение основной задачи механики означает решить дифференциальное уравнение ( 1 ) с начальными условиями ( 3 ). 2 Примеры дифференциальных уравнений В дальнейшем мы будем чередовать «математическое» и «физическое» обозначения производ- ной (штрихом и точкой соответственно). В «математической» ситуации запись f (x) означает производную функции f аргумента x; в «физической» же ситуации запись ˙x(t) означает про- изводную координаты x по времени t. Из контекста вам не составит труда определить, какие обозначения используются в каждом конкретном случае. Задача 1. Число e = 2,718281828459045 . . . — одна из важнейших констант математики и физики. Функция e x замечательна тем, что совпадает со своей производной: (e x ) = e x 1) Покажите, что функция x(t) = 3e t +5e 2t служит решением дифференциального уравнения ¨ x − 3 ˙x + 2x = 0. (4) 2) Покажите, что функция x(t) = Ae t + Be 2t , (5) где A и B — произвольные константы, служит решением дифференциального уравнения ( 4 ). Оказывается, что формула ( 5 ) даёт общее решение данного дифференциального уравнения; а именно, можно доказать, что любое решение уравнения ( 4 ) имеет вид ( 5 ) при некоторых значениях констант A и B (иными словами, никаких других решений, помимо функций вида ( 5 ), у уравнения ( 4 ) нет). Задача 2. Найдите решение уравнения ¨ x − 3 ˙x + 2x = 0, удовлетворяющее начальным условиям x(0) = 1, ˙x(0) = 0. x= 2e t −e 2t Задача 3. (Линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффи- циентами) Рассмотрим уравнение ¨ x + p ˙x + qx = 0 (6) с постоянными коэффициентами p и q. Сопоставим ему характеристическое уравнение λ 2 + pλ + q = 0 2 (то есть квадратное уравнение относительно λ с теми же коэффициентами). Предположим, что характеристическое уравнение имеет два различных корня λ 1 и λ 2 . Покажите, что функция x = C 1 e λ 1 t + C 2 e λ 2 t , (7) где C 1 и C 2 — произвольные константы, служит решением уравнения ( 6 ). Можно доказать, что функциями вида ( 7 ) исчерпываются все решения уравнения ( 6 ); или, в уже известной вам терминологии, функция ( 7 ) является общим решением уравнения ( 6 ) в том случае, когда характеристическое уравнение имеет два различных корня. Всё это несколько проясняет, зачем нужны два начальных условия ( 3 ). Дело в том, что второй закон Ньютона приводит к дифференциальному уравнению второго порядка (то есть наивысшая производная в нём — вторая), общее решение которого содержит две произвольные константы. Для определения значений этих констант нужны два дополнительных независи- мых алгебраических уравнения, которые как раз и возникают в результате задания начальных значений функции и её производной (в чём вы могли убедиться, решая задачу 2 ). Задача 4. Покажите, что функция x(t) = 2 cos 3t + 4 sin 3t служит решением дифференциаль- ного уравнения ¨ x + 9x = 0. Задача 5. Уравнение гармонических колебаний — это дифференциальное уравнение ¨ x + ω 2 x = 0. (8) Покажите, что функция x(t) = A cos ωt + B sin ωt, (9) где A и B — произвольные константы, служит решением уравнения ( 8 ). Можно доказать, что функция ( 9 ) является общим решением уравнения ( 8 ). Методом вспо- могательного угла можно получить эквивалентную запись функции ( 9 ): x(t) = x m sin(ωt + α). Здесь x m = √ A 2 + B 2 — амплитуда колебаний, α — начальная фаза. Задача 6. Найдите решение уравнения ¨ x + 4x = 0, удовлетворяющее начальным условиям x(0) = 0, ˙x(0) = 6. x= 3sin 2t Задача 7. Найдите общее решение уравнения ¨ x + ω 2 x = a, где a — константа. x= a ω 2 +A cosω t+ Bsin ωt Всё, что мы делали до сих пор, сводилось к простым техническим действиям: требовалось лишь подставлять и дифференцировать. Сложностей не возникало, поскольку вид общего реше- ния сообщался заранее (мы знали, что именно надо подставлять). Во многих случаях, однако, главная проблема заключается в том, что вид общего решения дифференциального уравнения заранее неизвестен, то есть уравнение надо решать. В процессе решения дифференциальных уравнений часто приходится интегрировать, то есть выполнять операцию, обратную дифференцированию. Поэтому для начала надо поупраж- няться в простом интегрировании. 3 3 Первообразная и определённый интеграл Пусть дана функция f (x). Её первообразной называется функция F (x) такая, что F (x) = f (x). Задача 8. Найдите первообразную функции: 2 (константа), x, x 2 , x 3 , e x , sin x, cos x. Первообразных у функции f (x) много: если F (x) — одна из них, то, например, F (x) + 1 или F (x) − 2 также будут первообразными. Задача 9. Докажите, что любые две первообразные данной функции отличаются на константу; иными словами, всё семейство первообразных данной функции имеет вид F (x) + C, где F (x) — какая-то одна из первообразных, C — произвольная постоянная. Семейство всех первообразных функции f (x) называется неопределённым интегралом: f (x)dx = F (x) + C. (10) В этом контексте произвольная константа C называется константой интегрирования. Про неё никогда не надо забывать! Задача 10. Вычислите неопределённый интеграл от функции: A (константа), x α (α = −1), √ x, x 3 √ x, e αx , 3 cos 2x + 4 sin 2x. Результат запишите в виде ( 10 ). Через первообразную выражается определённый интеграл от функции f (x) на отрезке [a; b], то есть площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком y = f (x), прямыми x = a, x = b и осью x. Именно, справедлива формула Ньютона — Лейбница: b a f (x)dx = F (b) − F (a). Задача 11. Найдите площадь под графиком функции: а) y = x 2 на отрезке [1; 2]; б) y = sin x на отрезке [0; π]; в) y = e −x при x 0. а)7/3; б)2; в)1 4 Непосредственное интегрирование дифференциального уравнения В самом простом случае дифференциальное уравнение допускает непосредственное интегриро- вание. Так, уравнение y = f (x) относительно неизвестной фнкции y имеет общее решение y = f (x)dx = F (x) + C. Задача 12. Решите уравнение y = 8x 3 с начальным условием y(1) = 0. y= 2x 4 −2 4 Задача 13. Решите уравнение y = 2 с начальными условиями y(0) = 1, y (0) = −3. y= x 2 −3 x+ 1 Задача 14. Решите уравнение ¨ x = a (где a — константа) с начальными условиями x(0) = x 0 , ˙x(0) = v 0 x= x 0 +v 0 t+ at 2 2 Задача 15. На оси x в точке x = 0 покоится частица массой m. В момент времени t = 0 на неё начинает действовать сила, линейно растущая со временем: F = bt. Найдите зависимость координаты частицы от времени. x= bt 3 6m Задача 16. На оси x в точке x = 0 покоится частица массой m и зарядом q. В момент вре- мени t = 0 включается однородное электрическое поле, параллельное оси x и меняющееся со временем по закону E = E 0 sin ωt. Найдите зависимость координаты частицы от времени. x= qE 0 mω 2 (ω t− sinω t) Задача 17. (Всеросс., 2016, финал, 9 ) На частицу массой m, име- ющую скорость v, начинает действовать постоянная по модулю си- ла F , вектор которой за время действия τ поворачивается с по- стоянной угловой скоростью на угол 180 ◦ (см. рисунок). Векторы скорости частицы и силы всё время находятся в плоскости рисунка. В начальный момент угол между силой F и скоростью частицы со- ставлял 90 ◦ . Определите модуль и направление конечной скорости частицы u через время τ после начала действия силы F . Влиянием других сил можно пренебречь. u= v± 2F τ πm 5 Уравнения с разделяющимися переменными Для начала напомним (на физическом уровне строгости!) понятие дифференциала. Пусть тело движется вдоль оси x и за малый промежуток времени dt совершает малое перемещение dx. Интервал dt полагаем настолько малым, что скорость тела v = ˙ x не успевает существенно измениться, так что движение можно считать почти равномерным; тогда dx = vdt = ˙ xdt. Выражение dx = ˙ xdt и называется дифференциалом функции x(t). Производная, как легко видеть, равна отношению дифференциала к приращению аргумента: ˙x = dx dt Аналогично, в абстрактном «математическом» случае дифференциалом функции y(x) на- зывается выражение dy = y (x)dx, где dx — приращение аргумента x. И снова производная есть отношение дифференциала к при- ращению аргумента: y = dy dx 5 Теперь вернёмся к дифференциальным уравнениям. В предыдущем разделе мы имели дело с простейшими уравнениями вида y = f (x) или y = f (x), которые решались непосредственным интегрированием. Такое счастье, однако, выпадает редко. Гораздо чаще правая часть зависит ещё и от y, и вот тогда сложность возрастает многократно. Даже для уравнения первого порядка y = f (x, y) (11) никаких общих методов решения не существует — имеются лишь специальные приёмы для отдельных случаев правой части. Для решения физических задач нам достаточно будет рассмотреть самую простую ситуа- цию, когда уравнение ( 11 ) допускает разделение переменных, то есть правая часть f (x, y) рас- падается в произведение функции только от x на функцию только от y. Для удобства запишем это в виде f (x, y) = p(x)/q(y), так что уравнение ( 11 ) примет вид dy dx = p(x) q(y) , (12) или p(x)dx = q(y)dy. (13) Интегрируем обе части равенства ( 13 ): p(x)dx = q(y)dy, и получим P (x) = Q(y) + C, (14) где P (x) и Q(y) — первообразные функций p(x) и q(y) соответственно, C — произвольная по- стоянная (которая в физических задачах определяется из начальных условий). Равенством ( 14 ) решение уравнения ( 12 ) по сути заканчивается. Может возникнуть вопрос: на каком основании мы взяли и «навесили интегралы» на обе части соотношения ( 13 )? Заметим, что равенство ( 13 ) означает равенство дифференциалов: dP (x) = dQ(y). Но из равенства дифференциалов — бесконечно малых приращений функций P и Q — вытекает и равенство их конечных приращений, а это и означает, что сами функции могут отличаться только на константу. С учётом сказанного ясно, что на обе части равенства ( 13 ) можно «навесить» определённые интегралы: x x 0 p(x)dx = y y 0 q(y)dy, где x 0 и y 0 — начальные значения переменных, известные из условия задачи. В результате получим P (x) − P (x 0 ) = Q(y) − Q(y 0 ). Никакой произвольной константы C уже, разумеется, нет, ибо начальные условия учтены. Нет принципиальной разницы, как действовать: или навешивать неопределённые интегралы и потом вычислять константу интегрирования, или навешивать определённые интегралы (с пре- делами интегрирования, ясными из условия) и пользоваться формулой Ньютона — Лейбница. Конечный результат получится одинаковым. Перед тем, как продемонстрировать метод разделения переменных, сделаем следующее за- мечание. Вычисляя в задаче 10 неопределённый интеграл от функции x α , вы наверняка обра- тили внимание на ограничение α = −1. И действительно, попытка подставить значение α = −1 в формулу x α dx = x α+1 α + 1 + C 6 ни к чему хорошему не приводит. Но ведь никто не запрещает нам интегрировать функцию x −1 = 1/x; чему же равен интеграл dx x ? Чтобы ответить на этот вопрос, введём очень важную функцию, с которой вам часто при- дётся сталкиваться в дальнейшем. Логарифм числа x по основанию e называется натуральным логарифмом и обозначается ln x. Функция ln x является обратной для функции e x , и её произ- водная вычисляется обычным приёмом: y = ln x ⇒ x = e y ⇒ x = (e y ) ⇒ 1 = e y · y ⇒ y = 1 e y = 1 x Итак, (ln x) = 1 x , откуда dx x = ln x + C (x > 0). Покажем наконец, как на практике работает метод разделения переменных. Решим диффе- ренциальное уравнение y = 2xy с начальным условием y(0) = 1. В процессе решения мы будем делить на y, поэтому заметим сразу: функция y = 0, являясь решением данного уравнения, не удовлетворяет начальному условию и нас не интересует, так что деление на y не приведёт к потере решений. В соответствии с вышеизложенным, имеем: dy dx = 2xy ⇒ dy y = 2xdx ⇒ dy y = 2xdx ⇒ ln y = x 2 + C. Подставляя сюда начальные условия x = 0 и y = 1, получим C = 0. Поэтому ln y = x 2 ⇒ y = e x 2 (В цепочке импликаций мы во избежании излишнего занудства сознательно допустили одну небрежность. Вы заметили её?) Задача 18. («Росатом», 2015, 11 ) Цилиндр из твёрдой углекислоты радиуса R и высотой h = R/2 стоит на одном из своих оснований на плоской поверхности. Углекислота испаряет- ся так, что с единицы площади в единицу времени испаряется масса σ. За какое время вся углекислота испарится? Плотность углекислоты ρ. t= ρR 2σ Задача 19. («Росатом», 2014, 11 ) Тело движется вдоль оси x из точки с нулевой координатой так, что проекция его скорости на ось x зависит от координаты x по закону v x = α √ x , где α — известная постоянная. Через какое время после начала движения тело будет иметь коорди- нату x 0 ? τ= 2 √ x 0 α 7 Задача 20. («Росатом», 2011, 11 ) Имеется цилиндрический сосуд глубиной H = 5 м, полно- стью заполненный водой. В дне сосуда сделано отверстие, площадь которого в 40 раз меньше площади сечения сосуда. За какое время вся вода вытечет из сосуда? Ускорение свободного падения g = 10 м/с 2 Указание. Скорость истечения воды из малого отверстия, расположенного на глубине h, равна √ 2gh (закон Торричелли). τ= 40 2H g =40 с Следующие задачи (с пометкой МФТИ ) взяты из физтеховского задачника для студентов: Д. А. Заикин, В. А. Овчинкин, Э. В. Прут. Сборник задач по общему курсу физики. Часть 1. 1998 ; условия иногда незначительно изменены. Эти задачи предлагаются первокурсникам Физ- теха на семинарах уже в сентябре (первые темы занятий — «Динамика материальной точки» и «Статика»); поэтому, разумеется, абитуриент МФТИ должен уметь делать подобные вещи. Задача 21. (МФТИ ) Лодка под парусом развила скорость v 0 . Как будет убывать во време- ни скорость движения лодки по стоячей воде после спуска паруса, если сопротивление воды движению лодки можно считать пропорциональным квадрату скорости (f = αv 2 )? Как долго будет двигаться лодка? Какой путь она пройдёт до полной остановки? Масса лодки равна m. v= mv 0 m+ αv 0 t ;t →∞ ;x = m α ln 1+ αv 0 t m →∞ Задача 22. (МФТИ ) Те же вопросы, что и в предыдущей задаче, но в предположении, что сила сопротивления воды пропорциональна скорости лодки (f = αv). v= v 0 e − αt m ;x = mv 0 α 1− e − αt m ;x ∞ = mv 0 α Задача 23. (МФТИ ) Тело массой m брошено вертикально вверх со скоростью v 0 . Сила со- противления воздуха пропорциональна скорости тела. Найдите зависимость скорости тела от времени. v= − mg α + v 0 + mg α e − αt m Задача 24. (МФТИ ) Брусок скользит по гладкой горизонтальной поверхности со скоростью v 0 и по касательной попадает в область, ограниченную забором в форме полуокружности (см. рисунок). Опре- делить время, через которое брусок покинет эту область. Радиус забо- ра R, коэффициент трения скольжения бруска о поверхность забора равен µ. Трением бруска о горизонтальную поверхность пренебречь, размеры бруска много меньше R. t= R µv 0 (e πµ −1) Задача 25. (МФТИ ) На врытый в землю столб навита верёвка. За один конец верёвки тянут с силой F = 10000 Н. Какую силу надо приложить к другому концу верёвки, чтобы она не соскользнула со столба? Коэффициент трения верёвки о столб µ = 1/π. Верёвка обвита вокруг столба два раза. F 1 =F e −4 ≈183 Н 8 |