уравнения и неравенства с параметрами. Дробнорациональные уравнения, содержащие параметр

• Название: Дробнорациональные уравнения, содержащие параметр
• Дата: 21.10.2022
• Размер: 4.06 Mb.
• Имя файла: уравнения и неравенства с параметрами.docx
• Тип: Задача; #745894
• страница: 3 из 6

Пример 14. Решить уравнение .

▼ Данное уравнение равносильно системе:

; .

При а < 0, x = - ≥ 0 решение системы.

При а = 0, 0х = -4 (ложь), решений нет.

При а > 0, x = - < 0, решений нет.

Отв: при а < 0, x = -4/a; при а ≥ 0 решений нет.
Пример 15. При всех значениях параметра а решить уравнение

▼ Уравнение равносильно системе

; ; .

Найдем а, при которых х = ≥ -1, т.е. решим неравенство

,  . При решений нет.

Отв: при ; при - решений нет.

Пример 16. При всех значениях параметра а решить уравнение

▼ Уравнение равносильно системе

; .

При а = 2, 0х = 0 (истина), х ≥ -1.

При а ≠ 2 уравнение имеет корень х = = - , который удовлетворяет ограничению х ≥ -1 и поэтому является решением системы.

Отв: при а =2 х ≥ -1; при а ≠ 2 х = - .

Пример 17. Решить уравнение .

▼ При а = 0, 0 = 1 (ложь), решений нет.

Пусть а ≠ 0, тогда .

При , а(-∞; 0)(1; ∞) решений нет.

При , а(0; 1], х = .

Отв: при а(-∞; 0](1; ∞) решений нет; при а(0; 1], х = .

Пример 18. Решить уравнение .

▼ ОДЗ параметра: а ≥ 0.

Уравнение в ОДЗ равносильно системе:

, .

При а < 0 решений нет.

Отв: при а < 0 решений нет; при а ≥ 0, х = 5 – а.

Пример 19. При всех значениях параметра а решить уравнение

▼ Уравнение равносильно системе

; . Найдем а, при которых ≥ -3  а ≥ -3.

Корень при а ≥ -3 является единственным. При а < -3 корней нет.

Отв: при а ≥ -3, ; при а < -3 корней нет.

Пример 20. При всех значениях параметра а решить уравнение

▼ Уравнение равносильно системе

; . Найдем а, при которых ≥ -1  а ≥ -1.

Корень при а ≥ -1 является единственным. При а < -1 корней нет.

Отв: при а ≥ -1, ; при а < -1 решений нет.

Пример 21. Решить уравнение

▼ Уравнение равносильно системе

; . Найдем а, при которых ≥ -2а  а ≥ 0.

Корень при а ≥ 0 является единственным. При а < 0 корней нет.

Отв: при а < 0 решений нет; при а ≥ 0, .

Пример 22. Решить уравнение

▼ Уравнение равносильно системе

; .

При а = 1, 0х = 2 (ложь), решений нет.

При а ≠ 1, х = . Найдем а, при которых х = ≥ -а  а > 1.

Корень х = при а > 1 является единственным. При а ≤ 1 корней нет.

Отв: при а ≤ 1 решений нет; при а > 1, х = .

Пример 23. Решить уравнение

▼ Уравнение равносильно системе

; .

При а = 1, 0х = 1 (ложь), решений нет.

При а ≠ 1, х = . Найдем а, при которых х = ≥ -а  а[0; 1)[2; ∞). Корень х = при а[0; 1)[2; ∞) является единственным. При

а(; 0)[1; 2) корней нет.

Отв: при а(; 0)[1; 2) корней нет; при а[0; 1)[2; ∞), х = .

Пример 24. Решить уравнение

▼ ОДЗ:

Уравнение в ОДЗ равносильно системе

; .

Рассмотрим случаи:

а) Если а = 0 или а = 1, то х = 0.

б) Перепишем систему в виде

При а(-∞; 0)(0; 1) решений нет.

Пусть а > 1, тогда

; ;

Отв: при а(-∞; 0)(0; 1) решений нет; при а = 0, х = 0;

при а ≥ 1,

Пример 25. Решить уравнение

▼ ОДЗ: х ≥ -1.

а) ; ;

б) ;

Отв: при а = 2, х ≥ -1; при а ≠ 2, х = -1.

Пример 26. Решите уравнение .

▼ ОДЗ уравнения: х + 3 ≥ 0, х ≥ -3, х[-3; ).

= 0, х = -3.

х – а = 0, х = а, если а = х[-3; ).

Отв: при а(-; -3) х = -3; при а[-3; ) х = -3, х = а.

Пример 27. Решить уравнение

▼ ОДЗ: аR, х ≥ -2а.

а) ; ;

б)

Отв: при а < 0, х₂ = -2а; при а ≥ 0, х₁ = 2а, х₂ = -2а

Пример 28. Решить уравнение

▼ ОДЗ: а² – ax – 3 > 0.

;

Отв: при а(-∞; -1)(3; ∞), x = 2; при а[-1; 3] решений нет.

Пример 29. При каких а уравнение имеет единственный корень?
▼ Исходное уравнение равносильно системе:

;

Пусть f(x) = 4x² - (4a + 1)x+ а² - 3. Данная система имеет единственное решение, если дискриминант D уравнения f(x) = 0 равен нулю, или если только один из корней уравнения f(x) = 0 удовлетворяет условию х ≥ , т.е.

; ;

Отв: а(-6; ∞){- }.

Пример 30. При каких а уравнение имеет единственный корень?
▼ Исходное уравнение равносильно системе:

;

Пусть f(x) = x² +x+ 1 - а. Данная система имеет единственное решение, если дискриминант D уравнения f(x) = 0 равен нулю, или если только один из корней уравнения f(x) = 0 удовлетворяет условию х ≥-1, т.е.

; ; .

Отв: а(1; ∞){ }.

Пример 31. При каких а уравнение имеет единственный корень?
▼ Исходное уравнение равносильно системе:

;

Пусть f(x) = x² +5x+ 9 - а. Данная система имеет единственное решение, если дискриминант D уравнения f(x) = 0 равен нулю, или если только один из корней уравнения f(x) = 0 удовлетворяет условию х ≥-3, т.е.

; ; .

Отв: а(3; ∞){ }.

Пример 32. При каких а уравнение имеет единственный корень?
▼ Исходное уравнение равносильно системе:

;

Пусть f(x) = x² + (2a - 1)x+ а² - 1. Данная система имеет единственное решение, если дискриминант D уравнения f(x) = 0 равен нулю, или если только один из корней уравнения f(x) = 0 удовлетворяет условию х ≥ -а, т.е.

; ;

Отв: а(-∞; 1){ }.

Пример 33. При каких а уравнение имеет единственное решение?
▼ ОДЗ: х ≥ 0.

; , х = 4 – корень уравнения при любом а.

Уравнение будет иметь единственное решение х = 4, если

а) (х + а) = 0 при х = 4, откуда а = -4;

б) (х + а) ≠ 0. Учитывая ОДЗ (х ≥ 0), множитель х + а > 0 при а > 0.

Отв: а(0; ∞){-4}.
Пример 34. При каких а уравнение имеет два корня?
▼ Уравнение равносильно системе:

; .

Найдем те значения а, при которых х ≥ -2. Это можно сделать двумя способами.

Способ 1. Корни квадратного уравнения существуют и различны при а > 3. Если меньший корень удовлетворяет неравенству х ≥ -2, то и больший корень будет удовлетворять этому условию. Решим неравенство: -1 - ≥ -2, ≤ 1, а ≤ 4. Итак, при а(3; 4] исходное уравнение имеет два различных корня.

Способ 2. Пусть f(x) = x² +2x+ 4 - а. Значения а, при которых х ≥ -2, найдем из системы:

; , , 3 < a ≤ 4.

Отв: при а(3; 4] уравнение имеет два корня.

Пример 35. При каких а уравнение имеет два корня?
▼ Уравнение равносильно системе:

; .

Пусть f(x) = x² +8(a – 2)x+ 16a² – 32a - 16. Значения а, при которых х ≥ -4a, найдем из системы:

;

; , ≤ a < .

Отв: при a[ ; ) уравнение имеет два корня.

Иррациональные неравенства с параметрами

При решении иррациональных неравенств надо помнить, что возводить неравенство можно только, если обе его части положительны. Получается система неравенств, куда обязательно следует включить преобразованное неравенство и область определения левой и правой частей исходного неравенства. Если же хотя бы одна часть неравенства отрицательна, то необходимость в возведении отпадает и надо исследовать истинность исходного неравенства в его области определения.

Пример 1. Решить неравенство .

▼ ОДЗ: х ≥ 0.

Исходное неравенство равносильно совокупности двух систем:

а) ;

б) ; .

Отв: при а < 0, x ≥ 0; при а ≥ 0, x ≥ a².

Пример 2. Решить неравенство .

▼ ОДЗ: х ≥ 0.

При а < 0 решений нет.

При а ≥ 0: ; , х[0; а²].

Отв: при а < 0 решений нет; при а ≥ 0, х[0; а²].

Пример 3. Решить неравенство .

▼ ОДЗ: х - 1 ≥ 0, х ≥ 1.

При а < 0 решений нет.

При а ≥ 0: ; , х[1; а² + 1].

Отв: при а < 0 решений нет; при а ≥ 0, х[1; a²+ 1].

Пример 4. Решить неравенство .

▼ ОДЗ: .

При а ≤ 0 решений нет.

Остается решить систему:

; .

Отв: при а ≤ 0 решений нет; при a > 0, a ≤ x < 2a.

Пример 5. Решить неравенство .

▼ ОДЗ: .

a) При а ≤ 0: х ≥ -1.

б) При а > 0 исходное неравенство в ОДЗ равносильно системе:

; ; ; .

Отв: при а ≤ 0, х ≥ -1; при а > 0, .

Пример 6. Решить неравенство .

▼ ОДЗ: .

a) При а ≤ -1: х ≤ 2.

б) При а > -1: ;

Отв: при а ≤ -1, х ≤ 2; при а > -1, .

Пример 7. Решить неравенство .

▼ ОДЗ: (а – 1)х ≥ 0.

Данное неравенство в ОДЗ равносильно (а – 1)х > 9.

При а = 1, 0 > 3 (ложь), решений нет.

При а > 1, х > 9/(a– 1).

При а < 1, х < 9/(a– 1).

Отв: при а < 1, х < 9/(a– 1); при а = 1 решений нет; при а > 1, х > 9/(a– 1).

Пример 8. Решить неравенство .

▼ ОДЗ: а + 1/х ≥ 0.

Достаточно решить неравенство : .

Рассмотрим случаи:

а) а = 0: , х > 0.

б) а > 0: . Решаем методом интервалов , х(-∞; -1/a](0; ∞).

в) а < 0: .

, х(0; -1/a].

Отв: при а = 0, х(0; ∞); при а > 0, х(-∞; -1/a](0; ∞), при а < 0,

х(0; -1/a].

Пример 9. Решить неравенство .

▼ Данное неравенство равносильно системе:

; .

Пусть а = 0: х > 0.

Пусть а > 0: , x ≥ .

Пусть а < 0: , x > .

Отв: при а ≤ 0, x > ; при а > 0, x ≥ .

Пример 10. Решить неравенство .

▼ Исходное неравенство равносильно совокупности двух систем:

а) ;

У квадратного уравнения, соответствующему первому неравенству системы D = a² – 4a² = -3a² ≤ 0, поэтому x² + ax + a² ≥ 0 и, значит, x² + ax + a² = 0 только при а = 0, D = 0 и х = 0.

б) .

Пусть а ≤ 0, тогда х ≤ 0. При а > 0 имеем х ≥ 0 и а + х > 0, что противоречит второму неравенству этой системы, т.е. решений нет.

Отв: при а ≤ 0 х(-∞; 0]; при а > 0 решений нет.

Пример 11. Решить неравенство .

ОДЗ: а² – х² ≥ 0, х ≤ а.

Данное неравенство равносильно совокупности двух систем:

а) ; .

При -(2a + 1) < 0, т.е. a > - , неравенство решений не имеет.

При -(2a + 1) ≥ 0, т.е. -1 ≤ а ≤ - , - ≤ х ≤ .

б) ; ; .

Отв: при а < -1 а ≤ х ≤ -а; при -1 ≤ а ≤ - , - ≤ х ≤ ; при a > - неравенство решений не имеет.

Пример 12. Решить неравенство .

ОДЗ: а² – х² ≥ 0, х ≤ а.

Данное неравенство в ОДЗ равносильно совокупности двух систем:

а) ; .

При а = 0 решений нет; при а ≠ 0, 0 < x ≤ .

б) ; ; .

При а = 0 решений нет; при а ≠ 0, - < x ≤ 0.

Объединяя решения систем, получим ответ.

Отв: при а = 0 решений нет; при а ≠ 0, - < x ≤ .

Пример 13. Решить неравенство .

▼ ОДЗ: 4x² – a² ≥ 0.

Данное неравенство в ОДЗ равносильно совокупности двух систем:

а) ; .

При а = 0: х > 0.

При а > 0: x > a /3.

При а < 0: x > - a /3.

б) ; .

При а = 0: х < 0.

При а > 0: x ≤ -a/2.

При а < 0: x ≤ a/2.

Объединяя решения систем, получим ответ.

Отв: при а = 0, х(-∞; 0)(0; ); при а > 0, x(-∞; -a/2] (a ; ∞);

при а < 0, x(-∞; a/2](-a ; ∞).

Пример 14. Решить неравенство .

▼ ОДЗ: –х² + х – 6 ≥ 0, х² - х + 6 ≤ 0.

Поскольку неравенство х² - х + 6 ≤ 0 не имеет действительных решений (D < 0), то нет решений при всех аR.

Отв: при всех аR нет решений.

Пример 15. Решить неравенство .

▼ Перейдем к равносильному неравенству

х² - 2х + а - 1 ≥ 0.

D = 4 – 4(a – 1) = 4(2 - a).

а) D ≤ 0: 2 – a ≤ 0, a ≥ 2  xR.

б) D > 0: a < 2  x(-∞; 1 - ][1 + ; ).

Отв: при a < 2, x(-∞; 1 - ][1 + ; ); при a ≥ 2, x(-∞; ).

Пример 16. Решить неравенство .

▼ Исходное неравенство равносильно совокупности двух систем:

а) ;

Корни квадратного трехчлена x² – 6x + 4 + a существуют при а ≤ 5, поэтому при а ≥ 5 неравенство x² – 6x + 4 + a < 0, а, следовательно, и система решений не имеет.

При а < 5 множество решений неравенства x² – 6x + 4 + a < 0 интервал (х₁; х₂) = ( ; ). Множество решений системы

Х₁ =( ; )∩[2; ∞). Множество Х₁ ≠, так как > 2. Выясним взаимное расположение точек и х = 2.

Решим уравнение , , 5 – а = 1, а = 4. При а < 4: х₁ < 2, поэтому Х₁ = [2; ), при а[4; 5): х₁ ≥ 2, поэтому Х₁ = (х₁; х₂).

б) ; . При а < 4, x[ ; 2), при а ≥ 4 решений нет.

Объединяя решения систем, получим ответ.

Отв: при а < 4, x[ ; 2)[2; ) = [ ; );

при а[4; 5), x( ; ); при а ≥ 5 решений нет.

Пример 17. Решить неравенство .

▼ ОДЗ: 2х + а ≥ 0, х ≥ - .

Сделаем замену переменной t = ≥ 0, тогда решение исходного неравенства сводится к решению системы

.

Рассмотрим следующие случаи расположения корней и квадратного трехчлена f(t) = t² – 2t – a:

а) 0 ≤ ≤ ; б) ≤ 0 ≤ . Только в этих случаях эта система будет иметь решения.

а) 0 ≤ ≤ . Этот случай реализуется, если совместна система

; ; , -1 ≤ а ≤ 0, t[ ; ], где и . Возвращаясь к переменной х, находим, что решениями исходного неравенства будут все х, удовлетворяющие неравенствам

1- ≤ х ≤ 1+ .

б) ≤ 0 ≤ . Этот случай реализуется при условии: f(0) < 0, т.е. a > 0. При a > 0 решение системыt[0; ], а решение исходного неравенства - ≤ х ≤ 1+ .

При а < -1 решений нет.

Отв: при а < -1 решений нет; при -1 ≤ а ≤ 0, х[1- ;1+ ]; при а> 0, х[- ; 1+ ].