уравнения и неравенства с параметрами. Дробнорациональные уравнения, содержащие параметр

• Название: Дробнорациональные уравнения, содержащие параметр
• Дата: 21.10.2022
• Размер: 4.06 Mb.
• Имя файла: уравнения и неравенства с параметрами.docx
• Тип: Задача; #745894
• страница: 1 из 6

Дробно-рациональные уравнения, содержащие параметр

В процессе решения дробно-рационального уравнения при помощи приведения к общему знаменателю оно заменяется целым алгебраическим уравнением. Целое уравнение по отношению к данному является следствием и может содержать посторонние корни. Чтобы исключить посторонние корни в случае уравнений с параметрами, требуется найти значение параметра, обращающее общий знаменатель в нуль, т.е. решить соответствующие уравнения относительно параметра.

Алгоритм решения:

1. 
   Найти область допустимых значений уравнения.
   
2. 
   Решить целое рациональное уравнение.
   
3. 
   Найти те значения параметра, при которых найденные корни целого рационального уравнения являются посторонними.(Исключить из его корней те, которые обращают в ноль общий знаменатель)
   
4. 
   Сформулировать ответ.
   

Задача 1. Решите уравнение

▼ ОДЗ уравнения: х – 6 ≠ 0

Данное уравнение равносильно системе ; .

Найдем недопустимые значения параметра а. Подставляем корень х = -2а в ограничение: -2а – 6 = 0, а = -3. При а = -3 корней нет.

Отв: х =-2а при а(-∞;-3)(-3; ∞); нет корней при а = -3. ▲

Задача 2. Решите уравнение .

▼ ОДЗ уравнения: х – 6а ≠ 0

Данное уравнение равносильно системе ; .

Найдем недопустимые значения параметра а. Подставляем корень х = -2 в ограничение -2 – 6а = 0, а = -1/3. При а = -1/3 корней нет.

Отв: х =-2 при а(-∞;-1/3)(-1/3; ∞); нет корней при а = -1/3. ▲

Задача 3. Решите уравнение .

▼ Числитель равен 2, 2 ≠ 0, решений нет.

Отв: корней нет при а(-∞; ∞).▲

Задача 4. Решите уравнение .

▼ ОДЗ уравнения: х – а ≠ 0

Данное уравнение равносильно системе ; .

Найдем недопустимые значения параметра а. Подставляем корень х = -2а в ограничение -2а – а = 0, а = 0. При а = 0 корней нет.

Отв: х =-2а при а(-∞; 0)(0; ∞); нет корней при а = 0▲

Задача 5. Решите уравнение .

▼ ОДЗ уравнения: х – 6а ≠ 0.

При а = 0, 2 = 0 (ложь), корней нет.

Пусть а ≠ 0. Преобразованное уравнение

Уравнение равносильно системе ; .

Найдем недопустимые значения параметра а. Подставляем корень х = - в ограничение - - 6а = 0, а² = - - не имеет решений. Таким образом, при а ≠ 0 уравнение имеет корень .

Отв: при а(-∞; 0)(0; ∞); нет корней при а = 0▲

Задача 6. Решите уравнение .

▼ ОДЗ уравнения: х – а ≠ 0

Данное уравнение равносильно системе ; .

Найдем недопустимые (запрещенные) значения параметра а.

Подставим корень х₁ = 3 в ограничение: 3 – а = 0, а = 3. Значение а = 3 запрещенное, а х₁ = 3 – посторонний корень. Квадратное уравнение для запрещенного значения а имеет второй корень х = -3.

Подставим корень х₂ = -3 в ограничение: -3 – а = 0, а = -3. Значение

а = -3 запрещенное, а х₂ = -3 – посторонний корень. Квадратное уравнение для запрещенного значения а имеет второй корень х = 3.

Отв: при а = 3 х = -3; при а = -3 х = 3; при а ≠ ±3 х₁ = 3, х₂ = -3 ▲

Задача 7. Решить уравнение .

▼ ОДЗ уравнения: x² – 4 ≠ 0, т.е. х ≠ -2, х ≠ 2.

Преобразованное уравнение на ОДЗ: x = а.

Найдем недопустимые значения параметра а. Подставим корень x = а последовательно в оба ограничения:

а = -2, х = -2 – посторонний корень;

а = 2, х = 2 – посторонний корень.

Отв: при а = -2; 2 решений нет; при а ≠ -2; 2 x = а ▲

Задача 8. Решить уравнение .

▼ ОДЗ уравнения: x² – а² ≠ 0, т.е. х – а ≠ 0, х + а ≠ 0.

Преобразованное уравнение на ОДЗ: x = 7.

Найдем недопустимые значения параметра а. Подставим корень x = 7 последовательно в оба ограничения:

7 - а = 0, а = 7, х = 7 – посторонний корень;

7 + а = 0, а =-7, х = 7 – посторонний корень.

При а = ±7 корней нет.

Отв: при а = ±7 решений нет; при а ≠ ±7 x = 7 ▲

Пример. Решите уравнение

▼ ОДЗ уравнения: х + 3 ≠ 0

Данное уравнение равносильно системе ; .

Найдем недопустимые значения параметра а. Подставляем корень х = а в ограничение а + 3 = 0, а = -3. При а = -3 корней нет.

Отв: х = а при а(-∞;-3)(-3; ∞); нет корней при а = -3. ▲

Пример. Решите уравнение

▼ ОДЗ уравнения: х - 2 ≠ 0.

Преобразованное уравнение на ОДЗ: x = a + 2.

Найдем недопустимые значения параметра а. Подставляем корень x = a + 2 в ограничение: a + 2 - 2 = 0, а = 0. Получили, что при а = 0 х = 2ОДЗ уравнения, следовательно, не может быть его корнем.

Отв: при а ≠ 0,x = a + 2; при а = 0 корней нет ▲

Пример. Решите уравнение

▼ ОДЗ уравнения: х + 1 ≠ 0.

Преобразованное уравнение на ОДЗ: (1 – a)x = a.

При 1 – а = 0, а = 1 уравнение не имеет корней.

При а ≠ 1 получаем .

Найдем недопустимые значения параметра а. Подставляем корень в ограничение: + 1 = 0, 1 = 0 (ложь), корней нет.

Отв: при а ≠ 1 ; при а = 1 корней нет ▲

Пример . Решите уравнение .

▼ ОДЗ уравнения: х + а ≠ 0

Данное уравнение равносильно системе ; .

Найдем недопустимые значения параметра а. Подставляем корень х = 2 в ограничение: 2 + а = 0, а = -2. При а = -2 корней нет.

Отв: х =2 при а(-∞;-2)(-2; ∞); нет корней при а = -2. ▲

Пример. Решите уравнение .

▼ ОДЗ уравнения: а - 2 ≠ 0

Данное уравнение равносильно системе ; .

Если а ≠ 2, то х = а.

Отв: х =а при а(-∞; 2)(2; ∞)▲

Пример. Решите уравнение .

▼ ОДЗ уравнения: х ≠ 0, х – 1 ≠ 0.

Преобразованное уравнение на ОДЗ: x = а.

Найдем недопустимые значения параметра а. Подставим корень x = а последовательно в оба ограничения:

а = 0, х = 0 – посторонний корень;

а - 1 = 0, а = 1, х = 1 – посторонний корень.

Отв: при а = 0; 1 корней нет; при а ≠ 0; 1 x = а ▲
Пример. Решите уравнение .

▼ ОДЗ уравнения: х – а ≠ 0.

Преобразованное уравнение на ОДЗ: x(х – 1) = 0. Корни: х₁ = 0, х₂ = 1.

Найдем недопустимые значения параметра а. Подставим корни х₁ = 0, х₂ = 1 последовательно в ограничение:

0 - а = 0, а = 0, х = 0 – посторонний корень;

1 - а = 0, а = 1, х = 1 – посторонний корень.

Отв: при а = 0; 1 корней нет; при а ≠ 0; 1 x = а ▲

Пример. Решите уравнение .

▼ ОДЗ уравнения: х² – 4 ≠ 0, т.е. х – 2 ≠ 0, х + 2 ≠ 0.

Преобразованное уравнение на ОДЗ: (a - 1)x = 5.

При а = 1, 0х = 5 (ложь), уравнение не имеет корней.

При а ≠ 1 получаем .

Найдем недопустимые значения параметра а. Подставим корень последовательно в оба ограничения:

- 2 = 0, а = 3,5, х = 2 – посторонний корень;

+ 2 = 0, а = -1,5, х = -2 – посторонний корень.

Отв: при а = 1; 3,5; -1,5 корней нет; при а ≠ 1; 3,5; -1,5 ▲

Пример. Решить уравнение .

▼ ОДЗ уравнения: x² – 3x + 2 ≠ 0, т.е. х ≠ 1, х ≠ 2.

Преобразованное уравнение на ОДЗ: x = а.

Найдем недопустимые значения параметра а. Подставим корень x = а последовательно в оба ограничения:

а = 1, х = 1 – посторонний корень;

а = 2, х = 2 – посторонний корень.

Отв: при а = 1; 2 решений нет; при а ≠ 1; 2 x = а ▲
Пример. Решите уравнение .

▼ ОДЗ уравнения: х – 5 ≠ 0, х – а ≠ 0.

Преобразованное уравнение на ОДЗ: х = 10 - а.

Найдем недопустимые (запрещенные) значения параметра а. Подставим корень х = 10 – а последовательно в оба ограничения:

10 - а - 5 = 0, а = 5;

10 - а - а = 0, а = 5.

Значение а = 5 запрещенное, а х = 5 – посторонний корень.

Отв: при a = 5 нет корней; при a ≠ 5, x=10 –a.

Пример. Решите уравнение .

▼ Сразу заметим, что при а = -1 исходное уравнение теряет смысл, а следовательно , не имеет корней.

ОДЗ уравнения: х – 2 ≠ 0.

Преобразованное уравнение на ОДЗ: .

. Корни: x₁ = a - 1, x₂ = a + 3.

Найдем недопустимые (запрещенные) значения параметра а.

Подставляем корень х₁ = а – 1 в ограничение: а - 1 - 2 = 0, а = 3. Значение а = 3 запрещенное, а х = 2 – посторонний корень. Квадратное уравнение для запрещенного значения а имеет второй корень х = а + 3 = 3 + 3 =6.

Подставляем корень х₂ = а + 3 в ограничение: а + 3 - 2 = 0, а = -1. Значение а = -1 запрещенное. Однако случай а = -1 уже был рассмотрен (при а = -1 исходное уравнение теряет смысл).

Отв: при а = -1 корней нет; при а = 3 единственный корень х = 6; при а ≠ -1; 3 уравнение имеет два корня x₁ = a - 1, x₂ = a + 3.

Пример. Решите уравнение .

▼ Сразу заметим, что при а = 1 исходное уравнение теряет смысл, а следовательно , не имеет корней.

ОДЗ уравнения: х +3≠ 0.

Преобразованное уравнение на ОДЗ: x(4a - 9) = 31 – 2a.

При 4a – 9 = 0, т.е. а = 2,25, 0 = 26,5 (ложь), корней нет.

При а ≠ 2,25 .

. Найдем недопустимые (запрещенные) значения параметра а.

Подставляем корень в ограничение: + 3= 0, а = -0,4. Значение а = -0,4 запрещенное, а х = 3 – посторонний корень.

Отв: при а ≠ -0,4; 1; 2,25 ;при а = -0,4; 1; 2,25 решений нет.

Пример. Решите уравнение .

▼ ОДЗ уравнения: х + 7 ≠ 0

Преобразованное уравнение на ОДЗ: 2х – 5 - а = 0, х = 2,5 + а/2– единственный корень.

Найдем недопустимые значения параметра а. Подставим корень х = 2,5 + а/2 в ограничение: 2,5 + а/2+ 7 = 0, а = -19 - недопустимое значение, корней нет.

Отв: при а ≠ -19 х = 2,5 + а/2; при а = -19 корней нет▲

Пример. Найдите значения а, при которых уравнение имеет корни, удовлетворяющие неравенству х ≤ 2.

▼ ОДЗ уравнения: х + 4 ≠ 0, х² – х – 20 ≠ 0, т.е. х ≠ -4; 5.

Преобразованное уравнение на ОДЗ: (a – 3)х = 5a - 2.

При a – 3 = 0, а = 3, 0х = 13 (ложь), решений нет.

При а ≠ 3 корень х₁ = .

Найдем недопустимые (запрещенные) значения параметра а. Подставим корень х₁ последовательно в два ограничения:

= -4, а = ;

= 5, нет корней.

При а = 3; нет решений.

При а(-∞; 14/9)(14/9; 3)(3; ∞) решение х = х₁.

Найдем а, при котором х₁ ≤ 2. Учтем, что при а = 3; решений нет.

; ; а[-4/3; 14/9)(14/9; 3).

Отв: [-4/3; 14/9)(14/9; 3).

Пример. Найдите все значения а, при которых уравнение имеет ровно одно решение.

▼ ОДЗ уравнения: х + 4 ≠ 0

Преобразованное уравнение на ОДЗ: х – а = 0. х = а – единственный корень.

Найдем недопустимые значения параметра а. Подставим корень х = а в ограничение: а + 4 = 0, а = -4 недопустимое значение. Если подставить а = -4 в исходное уравнение, получим 1 = 0 (ложь), корней нет.

Отв: при а(-∞; -4)(-4; ∞) единственное решение▲

Пример. При каких a уравнение = 0 имеет единственное решение?

▼ ОДЗ уравнения: x + 3 ≠ 0.

Преобразованное уравнение на ОДЗ: x² – ax + 1 = 0, D = a² – 4.

Преобразованное квадратное уравнение может иметь единственное решение в двух случаях:

а) D = 0 при a = ±2. Если а = ±2, то уравнение имеет одно решение , т.е. х = 1 или х = -1. В обоих случаях x ≠ -3, так что значение a = ±2 подходит.

б) D > 0 при a ≠ ±2 и квадратное уравнение будет иметь два корня. Подставим значение х = -3ОДЗ уравнения, в преобразованное уравнение: 9 + 3а + 1 = 0, а = - 10/3. При таком значении а второй корень квадратного уравнения (по теореме Виета х₁х₂ =1) будет х = -1/3 ≠ -3. Значит, при a = - 10/3 уравнение тоже будет иметь один корень.

Отв:уравнение имеет единственное решение при a = ±2; - 10/3.

Замечание. Решение дробно-рациональных уравнений с параметрами нередко сводится к решению квадратных уравнений, но с учетом ограничений на допустимые значения неизвестного.

Рассмотрим приемы, широко используемые при решении дробно-рациональных уравнений с параметрами

.

Постановка задачи

Дано: квадратное уравнение f(x, a) = 0 относительно х и ограничение g(x, a) = 0.

Требуется: найти решение уравнения с учетом ограничения.

Первый способ. Решаем уравнение f(x, a) = 0 и находим корни x₁ =p₁(a),

x₂ = p₂(a). Подставляем найденные корни в ограничение. Решаем уравнения g(p_i(a), a) = 0 и находим множества A_i «запрещенных» значений параметра а. Вычисляем значения остальных (вторых) корней на запрещенных значениях для одного из корней. И так перебираем все корни.

Второй способ. Решаем ограничение g(x, a) = 0 и находим его корни x = r_k(a). Подставляем найденные корни в уравнение. Решаем уравнения f(r_k(a), a) = 0 и находим значения a_km. Для уравнения f(x, a_km) = 0 корень x = r_k(a_km) является запрещенным, так как он обращает в ноль функцию g(x, a). Нужно найти остальные (вторые) корни уравнения f(x, a_km) = 0, используя теорему Виета, и выяснить, не являются ли они запрещенными.

Пример 1. Решить уравнение .

Первый способ.

▼ ОДЗ уравнения: x – а ≠ 0, х - 3a + 1 ≠ 0 .

Преобразованное уравнение на ОДЗ:

. Корни:

х₁ = а – 2, х₂ = - 2а + 4.

Для каждого корня найдем, при каких значениях параметра а он не удовлетворяет уравнению. Подставим найденные корни в ограничение. Для наглядности сведем вычисления в таблицу:

	х1 = а – 2	х2 = - 2а + 4
x – a = 0	a – 2 - а = 0, решений нет	- 2а + 4 – а = 0, а = 4/3
x - 3a + 1= 0	а – 2 - 3a + 1 = 0, a = -1/2	- 2а + 4 - 3a + 1 = 0, a = 1

Значения а = 4/3; -1/2; 1 - запрещенные. Преобразованное квадратное уравнение может иметь два корня. Для запрещенных значений а вычислим значения второго корня. Для наглядности сведем вычисления в таблицу:

х1(4/3) = 4/3– 2 =-2/3

х2(-1/2) = -2(-1/2) + 4= 5

х1(1) = 1– 2 = -1

Еще выделим случай, когда оба корня совпадают:

D = 0, a = 2, x = 0.

Отв: х₁ = а – 2, х₂ = - 2а + 4 при а ≠ ; х = 5 при а = -1/2;

х =-1 при а = 1; х = -2/3 при а = 4/3; х = 0 при а = 2.