уравнения и неравенства с параметрами. Дробнорациональные уравнения, содержащие параметр

• Название: Дробнорациональные уравнения, содержащие параметр
• Дата: 21.10.2022
• Размер: 4.06 Mb.
• Имя файла: уравнения и неравенства с параметрами.docx
• Тип: Задача; #745894
• страница: 2 из 6

Второй способ.

▼ ОДЗ уравнения: x – а ≠ 0, х - 3a + 1 ≠ 0 .

Преобразованное уравнение на ОДЗ:

. Корни:

х₁ = а – 2, х₂ = - 2а + 4.

Подставим значения х, не входящие в ОДЗ уравнения, в преобразованное уравнение и определим, решая получившееся уравнение, какие значения параметра им соответствуют.

Пусть х – а = 0. Подставляя х = а, получим а = 4/3, х = 4/3.

Пусть х – 3а + 1 = 0. Подставляя х = 3а - 1, получим а = 1; -1/2. При а = 1, х = 2; при а = -1/2, х = -5/2.

При а = 4/3 нужно отбросить корень х = 4/3; при а = 1 нужно отбросить корень х = 2, а при а = -1/2 нужно отбросить корень х = -5/2.

Итак, при а =4/3; 1; -1/2 один из корней преобразованного уравнения будет отброшен, но другой, возможно будет оставлен. Эти корни можно определить, воспользовавшись теоремой Виета, так как один из корней квадратного уравнения – отбрасываемый – уже известен: .

При а = 4/3, х₁ = 4/3  .

При а = 1, х₁ = 2  .

При а = -1/2, х₁ = -5/2  .

Еще выделим случай, когда оба корня совпадают:

D = 0, a = 2, x = 0.

Отв: х₁ = а – 2, х₂ = - 2а + 4 при а ≠ ; х = 5 при а = -1/2;

х =-1 при а = 1; х = -2/3 при а = 4/3; х = 0 при а = 2.

Пример 2. Решите уравнение

Первый способ

▼ ОДЗ: х + 4 ≠ 0, аx + 1 ≠ 0.

Преобразованное уравнение на ОДЗ:

.

При а² – 1 = 0, а =±1 уравнение не является квадратным. При а = -1, (-4 – 10)х – 21 = 0, х = -3/2. При а = 1, (4 – 10)х – 21 = 0, х = -7/2.

При а² – 1 ≠ 0 уравнение квадратное.

. Корни:

, .

Для каждого корня найдем, при каких значениях параметра а он не удовлетворяет уравнению. Подставим найденные корни в ограничение. Для наглядности сведем вычисления в таблицу:

x + 4 = 0	,	,
аx + 1 = 0	,	,

Значения а = 3/4; 1/4; 1/6 – запрещенные и отличны от ±1. Преобразованное квадратное уравнение может иметь два корня. Для запрещенных значений а вычислим значения второго корня. Для наглядности сведем вычисления в таблицу:

х1 = =-12

х2 = =

х1 =

Еще выделим случай, когда оба корня совпадают:

D = 0, , x = -5.

Отв: , при а ≠ -1; ; ; ; ; 1; при а =-1;

при а = ; при а = ; при а = ; при а = ;

при а = .

Второй способ

▼ ОДЗ: х + 4 ≠ 0, аx + 1 ≠ 0.

Преобразованное уравнение на ОДЗ:

.

При а² – 1 = 0, а =±1 уравнение не является квадратным. При а = -1, (-4 – 10)х – 21 = 0, х = -3/2. При а = 1, (4 – 10)х – 21 = 0, х = -7/2.

При а² – 1 ≠ 0 уравнение квадратное.

. Корни:

, .

Подставим значения х, не входящие в ОДЗ уравнения, в преобразованное уравнение и определим, решая получившееся уравнение, какие значения параметра им соответствуют.

Пусть х +4 = 0. Подставляя х = -4, получим а = 1/4; 3/4 , х = -4.

Пусть аx + 1 = 0. Заметим, что а ≠ 0 и х =- . Подставляя х = -1/а, получим а = 1/4; 1/6. При а = 1/4, х =-4; при а = 1/6, х = -6.

При а = 1/4; 3/4 нужно отбросить корень х = -4; при а = 1/6 нужно отбросить корень х = -6.

Итак, при а =1/4; 3/4; 1/6 один из корней преобразованного уравнения будет отброшен, но другой, возможно будет оставлен. Эти корни можно определить, воспользовавшись теоремой Виета, так как один из корней квадратного уравнения – отбрасываемый – уже известен: .

При а = 1/4, х₁ = -4  .

При а = 3/4, х₁ = -4  .

При а = 1/6, х₁ = -6  .

Еще выделим случай, когда оба корня совпадают:

D = 0, , x = -5.

Отв: , при а ≠ -1; ; ; ; ; 1; при а =-1;

при а = ; при а = ; при а = ; при а = ;

при а = .

Пример 3. Решите уравнение

ОДЗ: ах + 4 ≠ 0, x + 1 ≠ 0.

Преобразованное уравнение на ОДЗ:

(*) или .

При а² – 1 = 0, а =±1 уравнение не является квадратным. При а = -1, 2(-1 + 3)х – 1 = 0, х = 1/4. При а = 1, 2(1 + 3)х – 1 = 0, х = 1/8.

При а² – 1 ≠ 0 уравнение квадратное.

. Корни: .

Если подставить эти корни в соотношение ах + 4 = 0, то после преобразований получим уравнение 4-й степени. Воспользуемся другим методом отбора корней.

Подставим значения х, не входящие в ОДЗ уравнения, в преобразованное уравнение (*) и определим, решая получившееся уравнение, какие значения параметра им соответствуют.

Пусть аx + 1 = 0. Заметим, что а ≠ 0 и х =- . Подставляя х = -1/а, получим а = 1/4; 1/6. При а = 1/4, х =-4; при а = 1/6, х = -6.
Пусть ах + 4 = 0. Заметим, что а ≠ 0 и х =- . Подставляя х =- , получим

.

Если , то а = 4; отбрасываем корень х = -1.

Если , то а = - ; отбрасываем корень х = 7.

Пусть х + 1 = 0, х = -1. Подставляя х = -1, получим . При а = -2 и при а = 4 нужно отбросить корень х = -1.

Итак, при а = -2; - ; 4 один из корней преобразованного уравнения будет отброшен, но другой, возможно будет оставлен. Эти корни можно определить, воспользовавшись теоремой Виета, так как один из корней квадратного уравнения – отбрасываемый – уже известен: .

При а = -2, х₁ = -1 .

При а = - , х₁ = 7  .

При а = 4, х₁ = -1  .

Отв: при а ≠ -1; ; ; ; ; 1; х = при а = -2;

х = при а = -1; х = при а = - ; х = при а = 1; х = при а = 4.

Пример 4. Решить уравнение

ОДЗ: х + 1 ≠ 0, х ≠ -1, аx + 2 ≠ 0, х ≠ - .

Преобразованное уравнение на ОДЗ:

.

При а² – 1 = 0, а =±1 уравнение не является квадратным. При а = -1, (-5 - 4)х +3 = 0, х = 1/3. При а = 1, (5 - 4)х + 3 = 0, х = -3.

При а² – 1 ≠ 0 уравнение квадратное.

.

При D < 0, a , решений нет.

При D = 0, а = ; 2. Если а = , то х =- ; если а = 2, то х =-1 и решений у исходного уравнения нет

При D > 0, a . Корни:

.

Подставим значения х, не входящие в ОДЗ уравнения, в преобразованное уравнение и определим, решая получившееся уравнение, какие значения параметра им соответствуют.

Подставляя х = -1, получим (а - 2)(а - 3) = 0; подставляя х = - , получим (а - 2)(3а - 2) = 0. При а = 2; 3 нужно отбросить корень х = -1, а при а = -отбросить корень х = -3.

Итак, при а = ; 2; 3 один из корней преобразованного уравнения будет отброшен, но другой, возможно будет оставлен. Эти корни можно определить, воспользовавшись теоремой Виета, так как один из корней квадратного уравнения – отбрасываемый – уже известен: .

При а = , х₁ = -3  .

При а = 2, х₁ = -1  , решений нет.

При а = 3, х₁ = -1  .

Отв: при

a ; при a решений нет; х = при а = -1; х = при а = ; х = -3 при а = 1; х = - при а = ;

х = - при а = 3.

Пример. Решить уравнение

Сразу заметим, что при а = 0 исходное уравнение теряет смысл, а следовательно, не имеет корней.

ОДЗ: x +1 ≠ 0, х + 2 ≠ 0.

Преобразованное уравнение на ОДЗ:

. Корни преобразованного уравнения:

х₁ = а +1, х₂ = а – 3.

Для каждого корня найдем, при каких значениях параметра а он не удовлетворяет уравнению. Подставим найденные корни в ограничение. Для наглядности сведем вычисления в таблицу:

	х1 = а +1	х2 = а – 3
x + 1 = 0	а + 1 + 1 = 0, а = -2	а – 3 + 1 = 0, а = 2
x + 2 = 0	а + 1 + 2 = 0, a = -3	а – 3 + 2 = 0, a = 1

Значения а = -2; -3; 1 – запрещенные и отличны от 0. Преобразованное квадратное уравнение может иметь два корня. Для запрещенных значений а вычислим значения второго корня. Для наглядности сведем вычисления в таблицу:

х2(-2) = -2 - 3=-5

х2(-3) = -3 - 3=-6

х1(2) = 2 + 1=3

х1(1) = 1 + 1= 2

Отв: х = -6 при а = -3; х = -5 при а = -2; корней нет при а = 0; х = 2 при а = 1; х = 3 при а = 2; х₁ = а +1, х₂ = а – 3 при а ≠ -3; -2; 0; 1; 2.

Пример. При всех значений параметра а решить уравнение

▼ ОДЗ уравнения x + а – 1 ≠ 0, x + 1 ≠ 0.

Преобразованное уравнение на ОДЗ:

. Корни преобразованного уравнения:

х₁ = 4, х₂ = -а – 1.

Для каждого корня найдем, при каких значениях параметра а он не удовлетворяет уравнению. Подставим найденные корни в ограничение. Для наглядности сведем вычисления в таблицу:

	х1 = 4	х2 = -а – 1
x + а - 1= 0	4 + a - 1= 0, а = -3	-а - 1+ а – 1 = 0, решений нет
x + 1= 0	4 + 1 = 0, решений нет	-а – 1 + 1 = 0, а = 0

Значения а = -3; 0 – запрещенные. Преобразованное квадратное уравнение может иметь два корня. Для запрещенных значений а вычислим значения второго корня. Для наглядности сведем вычисления в таблицу:

х2(-3) = 3 - 1= 2

х1(0) = 4

Отв: х = 2 при а = -3; х = 4 при а = 0; х₁ = 4, х₂ = -а -1 при а  0; -3.
Дробно-рациональные неравенства

Алгоритм решения дробно рациональных неравенств с параметром,

приводящих к линейным:

1. Преобразованиями, не изменяющими область определения, привести неравенство к виду f(a)x > g(a) (<, ≥, ≤).

2. Найти область допустимых значений (ОДЗ) параметра.

3. Найти контрольные значения параметра (КЗП): изолированные или граничные значения, в которых неравенство определено; значения а, при которых f(a) = 0.

4. Отметить ОДЗ и контрольные значения параметра на координатной прямой. На каждом из получившихся промежутков ОДЗ определить знак выражения f(a).

5. Решить частное неравенство при каждом значении параметра и на каждом из промежутков ОДЗ.

6. Записать ответ.

Пример 1. Решите неравенство .

▼ Преобразованное неравенство: .

ОДЗ: а ≠ ±1, КЗП: а = -9.

При а = -9 имеем 0 < - (ложь), решений нет.

При а < -9, -1 < a < 1 имеем x > .

При -9 < a < -1, а > 1 имеем x < .

Отв: при а = ±1неравенство не определено; при а = -9 решений нет; при а < -9, -1 < a < 1 решение x > ; при -9 < a < -1, а > 1 решение x < .▲

Использование метода интервалов

Пример 1. Решить неравенство .

▼ Рассмотрим функцию .

ОДЗ: х ≠ 3.

Нули функции f(x): x + 2a = 0, x = -2a.

Воспользуемся методом интервалов. Точки -2а и 3 разбивают ось на интервалы, в каждом из которых функция сохраняет знак. Так как определить порядок расположения этих точек на числовой оси однозначно нельзя, рассмотрим все возможные случаи:

а) При -2a< 3, а > -  х(-2a; 3).

б) При -2a = 3, а = - , нет решений.

в) При -2a> 3, а < -  х(3; -2a).

Отв: при а < - , х(3; -2a); при а = - нет решений;

при а > - , х(-2a; 3).

Замечание. При решении неравенства использовано равенство числителя и знаменателя дроби; значение параметра, при котором это равенство выполняется, является контрольным значением для решения неравенства с параметром.

Пример 2. Решить неравенство .

▼ Рассмотрим функцию .

ОДЗ: х ≠ 2.

Нули функции f(x): x - 2a = 0, x = 2a.

Воспользуемся методом интервалов. Точки 2а и 2 разбивают ось на интервалы, в каждом из которых функция сохраняет знак. Так как определить порядок расположения этих точек на числовой оси однозначно нельзя, рассмотрим все возможные случаи.

а) При 2a< 2, а < 1  х(-∞; 2a)(2; ∞).

б) При 2a = 2, а = 1  х(-∞; 2)(2; ∞).

в) При 2a> 2, а > 1 х(-∞; 2)(2a; ∞).

Отв: при а < 1, х(-∞; 2a)(2; ∞); при а ≥ 1, х(-∞; 2)(2a; ∞).

Пример 3. Решить неравенство .

▼ Рассмотрим функцию .

ОДЗ: х ≠ 1.

Нули функции f(x): x – a = 0, x = a.

Воспользуемся методом интервалов. Точки a и 1 разбивают ось на интервалы, в каждом из которых функция сохраняет знак. Так как определить порядок расположения этих точек на числовой оси однозначно нельзя, рассмотрим все возможные случаи:

а) При a< 1, х(-∞; a](1; ∞)

б) При a = 1, х(-∞; 1)(1; ∞)

в) При a> 1, х(-∞; 1)[a; ∞)

Отв: при a< 1, х(-∞; a](1; ∞); при a = 1, х(-∞; 1)(1; ∞);

при a > 1, х(-∞; 1)[a; ∞).

Пример 4. Решить неравенство .

▼ Рассмотрим функцию .

ОДЗ: х ≠ а.

Нули функции f(x): x – 1 = 0, x = 1.

Воспользуемся методом интервалов. Точки а и 1 разбивают ось на интервалы, в каждом из которых функция сохраняет знак. Так как определить порядок расположения этих точек на числовой оси однозначно нельзя, рассмотрим все возможные случаи:

а) При a< 1, х(-∞; a)(1; ∞)

б) При a = 1, х(-∞; 1)(1; ∞)

в) При a> 1, х(-∞; 1)(a; ∞)

Отв: при a< 1, х(-∞; a)(1; ∞); при a = 1, х(-∞; 1)(1; ∞);

при a > 1, х(-∞; 1)(a; ∞).

Пример 5. Решить неравенство .

▼ Рассмотрим функцию .

ОДЗ: х ≠ а + 1.

Нули функции f(x): x – a = 0, x = a.

Воспользуемся методом интервалов. Точки а и а + 1 разбивают ось на интервалы, в каждом из которых функция сохраняет знак. При всех а число а + 1 > a , поэтому получаем следующее расположения этих точек на числовой оси:

Отв: х[а; a+1) при любом a.

Пример 6. Решить неравенство .

▼ Рассмотрим функцию .

ОДЗ: х ≠ -2а.

Нули функции f(x): x – a + 1 = 0, x = a – 1.

Воспользуемся методом интервалов. Точки а - 1 и -2а разбивают ось на интервалы, в каждом из которых функция сохраняет знак. Так как определить порядок расположения этих точек на числовой оси однозначно нельзя, рассмотрим все возможные случаи.

а) При a – 1 < -2a, а < решение x[а – 1; -2a).

б) При a – 1 = -2a, а = исходное неравенство имеет вид 1 ≤ 0, решений нет.

в) При a – 1 > -2a, а > решение x(-2a; а - 1].

Отв: при а = решений нет; при а > x(-2a; а - 1]; при а < x[а – 1; -2a).

Пример 7. Решить неравенство .

▼ ОДЗ: х ≠ 6.

Коэффициент а при х в числителе может быть больше 0, равен 0 и меньше 0.

Пусть а > 0, тогда . Воспользуемся методом интервалов.

Точки и 6 разбивают ось на интервалы, в каждом из которых функция сохраняет знак. Так как определить порядок расположения этих точек на числовой оси однозначно нельзя, рассмотрим все возможные случаи.

а) < 6, а > решение x(-∞; ](6; ∞).

б) = 6, а = решение x(-∞;6)(6; ∞).

в) > 6, 0 < а < решение x(-∞; 6)[ ; ∞).

Пусть а = 0, тогда , х < 6, х(-∞; 6).

Пусть а < 0, тогда . Возможен только случай

< 6, a < 0 решение x[ ; 6).

Отв: при а < 0 x[ ; 6); при а = 0 х(-∞; 6); при а(0; )x(-∞; 6)[ ; ∞); при а = x(-∞;6)(6; ∞); при а > x(-∞; ](6; ∞).

Пример 8. Решить неравенство .

▼ ОДЗ: а + 1 ≠ 0, т.е. а ≠ -1.

При а = -1 решений нет.

Если а ≠ -1, то неравенство равносильно совокупности двух систем:

, либо

Первая система: ; .

При а > -1 рассмотрим случаи:

а) а(-1; 1), х < .

б) а = 1, 0 > -1 (истина), х(-∞; ∞).

в) а > 1, х > .

Вторая система: ;

При а < -1, х > .

Отв: при а < -1, х > ; при а = -1 решений нет; при а(-1; 1), х < ;

при а = 1, х(-∞; ∞); при а > 1, х > .

Пример 9. Решите неравенство .

▼ ОДЗ: а ≠ 1, х ≠ 3.

При а = 1 решений нет.

Разделим числитель и знаменатель дроби, стоящей в левой части неравенства, на а - 1 ≠ 0.

.

Воспользуемся методом интервалов. Точки и 3 разбивают ось на интервалы, в каждом из которых функция сохраняет знак. Так как определить порядок расположения этих точек на числовой оси однозначно нельзя, рассмотрим все возможные случаи.

а) < 3, , , x(-∞; )(3; ∞).

б) = 3, а = 4, x(-∞; 3)(3; ∞).

в) > 3, 1< а < 4, x(-∞; 3)( ; ∞).

Отв: при а < 1, x(-∞; )(3; ∞); при a = 1 решений нет;

при 1 < a< 4, x(-∞; 3)( ; ∞); при a = 4, x(-∞; 3)(3; ∞);

при а > 4, x(-∞; )(3; ∞).

Пример 10. Решите неравенство .

▼ ОДЗ: х ≠ 0.

х = 3, х = а – нули функции. Воспользуемся методом интервалов. Точки а, 0 и 3 разбивают ось на интервалы, в каждом из которых функция сохраняет знак. Рассмотрим все возможные случаи расположения точки а на числовой прямой.

а) При а < 0, x(a; 0)(0; 3).

б) При а = 0, x (0; 3).

в) При 0 < а < 3, x (a; 3).

г) При а = 3 нет решений.

д) При а > 3, x (3; a).


Отв: при а < 0, x(a; 0)(0; 3); при а = 0, x (0; 3); при 0 < а < 3, x (a; 3);

при а = 3 нет решений; при а > 3, x (3; a).

Пример11. Решить неравенство .

▼ ОДЗ: х ≠±а

При а = 0, 0 > 0 (ложь), неравенство решений не имеет.

При а < 0 ; тогда после упрощений имеем

.

Решим неравенство методом интервалов:

x(-∞; a)(0; -a).

При а > 0 ; тогда после упрощений имеем

.

Решим неравенство методом интервалов:

x(-a; 0)(a; ∞).

Отв: при а = 0 неравенство решений не имеет; при а < 0 x(-∞; a)(0; -a);

при а > 0 x(-a; 0)(a; ∞).

Пример 12. Решите неравенство .

▼ ОДЗ: а ≠ 3, х ≠ 2.

Преобразованное неравенство: . Разделим числитель и знаменатель дроби, стоящей в левой части неравенства, на а - 3 ≠ 0:

.

Воспользуемся методом интервалов. Точки и 2 разбивают ось на интервалы, в каждом из которых функция сохраняет знак. Так как определить порядок расположения этих точек на числовой оси однозначно нельзя, рассмотрим все возможные случаи.

а) < 2, , а < 3, x .

б) = 2, , а = 3, нет решений.

в) > 2, , а > 3, x .

Отв: при а < 3, x ; при а = 3 нет решений; а > 3, x .

Пример 13. Решить неравенство .

▼ Преобразованное неравенство: .

Рассмотрим функцию .

ОДЗ: х ≠ -а.

Нули функции f(x): x = 0.

Воспользуемся методом интервалов. Точки -а и 0 разбивают ось на интервалы, в каждом из которых функция сохраняет знак. Так как определить порядок расположения этих точек на числовой оси однозначно нельзя, рассмотрим все возможные случаи.

а) При -a< 0, а > 0, х(-a; 0).

б) При -a = 0, a = 0 преобразованное неравенство имеет вид 1 < 0, решений нет.

в) При -a > 0, а < 0 х(0; -a).

Отв: при a< 0, х(0; -a); при a = 0 решений нет;

при a > 0, х(-a; 0).

Пример 14. Решить неравенство .

▼ Преобразованное неравенство: .

Рассмотрим функцию .

ОДЗ: х ≠ -а.

Рассмотрим случаи:

а) При а > 0 преобразованное неравенство равносильно неравенству

х + а < 0, x < -a, х(-∞; -a).

б) При a = 0 преобразованное неравенство имеет вид 0 < 0, решений нет. в) При а < 0 преобразованное неравенство равносильно неравенству

х + а > 0, x > -a, х(-a; ∞).

Отв: при a< 0, х(-a; ∞); при a = 0 решений нет;

при a > 0, х(-∞; -a).

Пример 15. Решить неравенство .

▼ Преобразованное неравенство: .

Рассмотрим функцию .

ОДЗ: х ≠ 2а.

Нули функции f(x): x = .

Воспользуемся методом интервалов. Точки 2а и разбивают ось на интервалы, в каждом из которых функция сохраняет знак. Так как определить порядок расположения этих точек на числовой оси однозначно нельзя, рассмотрим все возможные случаи.

а) При 2a< , а < 0, х(2a; ).

б) При 2a= , a = 0 преобразованное неравенство имеет вид 1 < 0, решений нет.

в) При 2a> , а > 0 х( ; 2a).

Отв: при a< 0, х(2a; ); при a = 0 решений нет;

при a > 0, х( ; 2a).

Пример 16. Решить неравенство .

▼ ОДЗ параметра: а ≠ 2.

При а = 2 решений нет.

Преобразованное неравенство: . Разделим числитель и знаменатель дроби, стоящей в левой части неравенства, на а - 2 ≠ 0:

.
Рассмотрим функцию .

ОДЗ: х ≠ -3.

Нули функции f(x): x = .

Воспользуемся методом интервалов. Точки и -3 разбивают ось на интервалы, в каждом из которых функция сохраняет знак. Так как определить порядок расположения этих точек на числовой оси однозначно нельзя, рассмотрим все возможные случаи.

а) < -3, , x(-∞; )(-3; ).

б) = -3, а = 0, x≠ -3.

в) > -3, 0 < а < 2, x(-∞; -3)( ; ).

.

Отв: при , x(-∞; )(-3; ); при a = 0, x(-∞;-3)(-3; ); при

0 < а < 2,x(-∞; -3)( ; ); при а = 2 решений нет.

Дробно-рациональные неравенства с ограничениями

Пример 1. При каких значениях параметра а неравенство выполняется для всех х из отрезка [1; 2].

▼ Используем метод интервалов.

При а = 2а + 1, а = -1, то исходное неравенство имеет вид: 1 < 0, решений нет.

При а < 2а + 1, а > -1, решение x(a; 2а + 1).

При а > 2а + 1, а < -1, решение x(2a+ 1; а).

Неравенство должно выполняться для всех х из отрезка [1; 2]. Это значит, что отрезок [1; 2] целиком содержится в решении неравенства. Графические модели рассматриваемой задачи представлены на рисунках:

При а > -1,  0,5 < a < 1.




2


При а < -1, , система не совместна.

Отв: (0,5; 1).

Пример 2. При каких значениях параметра а неравенство выполняется для всех х из отрезка [2; 4].

▼ Используем метод интервалов.

При = 2a а = 0, исходное неравенство имеет вид: 1 < 0, решений нет.

При < 2a, а > 0, x(a/4; 2а).

При > 2a, а < 0, x(2a; а/4).

Неравенство должно выполняться для всех х из отрезка [2; 4]. Это значит, что отрезок [2; 4] целиком содержится в решении неравенства. Графические модели рассматриваемой задачи представлены на рисунках:

При а > 0,  2 < a < 8.

При а < 0, , система не совместна.

Отв: (2; 8).

Пример 3. Найти все значения параметра а, при которых неравенство

будет верно при всех значениях x.

▼Так как при всех значениях х, то данное неравенство равносильно квадратному неравенству (при а ≠ 2)

При а = 2 имеем 1 ≤ 0 (ложь), решений нет.

D = (2 – a)² – 4(2 – a)(3 – a) = (2 – a)(3a -10)

Квадратное неравенство будет выполняться для всех х, если выполняются условия (табл. 1):

, , ,  а ≥

Отв: при

Пример 4. Найдите все значения параметра а, при котором множество решений неравенства содержит точку х = 1.

▼ Рассмотрим функцию .

ОДЗ: х ≠ а.

Рассмотрим случаи:

а) а > 0, неравенство равносильно х - а > 0, x > a, х(a;∞). Это множество содержит точку х = 1 при а > 1. Итак, подходящее а: 0 < a < 1.

б) a = 0, неравенство имеет вид 0 > 0, решений нет.

в) а < 0, неравенство равносильно х - а < 0, x < a, х(-∞; a). Это множество состоит из отрицательных чисел и не может содержать точку х = 1.

Отв: a(0; 1).

Пример 5. При каких значениях параметра а неравенство выполняется при каждом значении х таком, что 2 ≤ х ≤ 3.

▼ Рассмотрим функцию .

ОДЗ: х ≠ 2 - 2а.

Нули функции f(x): x = 3а + 1.

Воспользуемся методом интервалов. Точки 3а + 1 и 2 - 2а разбивают ось на интервалы, в каждом из которых функция сохраняет знак. Так как определить порядок расположения этих точек на числовой оси однозначно нельзя, рассмотрим все возможные случаи.

а) 3а + 1 < 2 - 2а, а < , х[3a+1; 2-2a).

Отрезок [2; 3] должен целиком содержатся в решении неравенства. Это значит:

; , а < -1/2, a(-∞; -1/2).

б) 3а + 1 = 2 - 2а, a = , неравенство имеет вид 1 ≤ 0, решений нет. в) 3а + 1 > 2 - 2а, а > , х(2-2a; 3a+1].

Отрезок [2; 3] должен целиком содержатся в решении неравенства. Это значит:

; , а ≥ 2/3, a[2/3; ∞).

Объединяя результаты, получим ответ.

Отв: a(-∞; -1/2) [2/3; ∞).

Иррациональные уравнения с параметрами

Пример 1. Решить уравнение .

▼ При а < 0 решений нет.

При а ≥ 0: х + 3 = а², х = а² – 3.

Отв: при а < 0 решений нет; при а ≥ 0 х = а² – 3.

Пример 2. Решить уравнение .

▼  ах + 5а = 1.

При а = 0, 0 = 1 (ложь), решений нет.

При а ≠ 0, ах = 1 – 5а, х = (1 – 5a)/a.

Отв: при а = 0 решений нет; при а ≠ 0 х = (1 – 5a)/a.

Пример 3 . Решить уравнение .

▼ Данное уравнение равносильно системе:

; .

При а > 1 решений нет.

Отв: при а ≤ 1 х = 1 + а²; при а > 1 решений нет.

Пример 4. Решить уравнение .

▼ Данное уравнение равносильно системе:

; .

Решим квадратное уравнение.

D = (2a + 1)² – 4(a² + 3) = 4a – 11.

При D < 0, 4a – 11 < 0, a < решений нет.

При D = 0, a = , х = > .

При D > 0, a > уравнение имеет два различных корня

, .

Корень > а при a > . Найдем, когда х₁ ≥ a, если

a > : ≥ а,

;  .

Отв: при a < корней нет; при a = , х = ; при а(11/4; 3], ; при а > 3 .

Пример 5. Решить уравнение .

▼ Данное уравнение равносильно системе:

; .

Решим квадратное уравнение.

D = 100 – 4a - 64 = 4(9 - a).

При D < 0, 9 - a < 0, a > 9, решений нет.

При D = 0, a = 9, х = 5 > 4, решений нет.

При D > 0, a < 9 уравнение имеет два различных корня

, .

При a < 9 корень > 5  решений нет.

Найдем те значения а, при которых x₁ ≤ 4. Это можно сделать двумя способами.

Первый способ. Найдем, когда х₁ ≤ 4, если a < 9: ≤ 4, , 9 – a ≥ 1, a ≤ 8. При a ≤ 8 уравнение имеет один корень . При а > 8 решений нет.

Второй способ. Пусть f(x) = x² – 10x + a +16. Уравнение имеет один корень x₁ < 4, если f(4) ≤ 0, 16 – 40 + 16 + a ≤ 0, a ≤ 8. В остальных случаях решений нет.

Отв: при a ≤ 8, ; при а > 8 решений нет.

Пример 6. В зависимости от значений параметра а решите уравнение .

▼ Запишем систему, равносильную исходному уравнению

;

Рассмотрим первое уравнение системы.

D = 9 + 4(a - 4) = 4a – 7.

При D < 0, 4a – 7 < 0, a < решений нет.

При D = 0, a = исходное уравнение имеет одно решение х = .

При D > 0, a > уравнение имеет два корня , .

Найдем те значения а, при которых корни x ≤ 2. Это можно сделать двумя способами

Первый способ. Поскольку х₁ < х₂, то исходное уравнение будет иметь два решения, если х₂ ≤ 2, т.е. совместна система:

; ; < a ≤ 2, .

Исходное уравнение будет иметь только одно решение, если х₁ < 2, а х₂ > 2, т.е. совместна система:

; ; а > 2, .

Второй способ. Пусть f(x) = x² – 3x – a + 4. Найдем, при каких значениях параметра а уравнение имеет два корня х_{1,2 ≤} 2. Для этого должны выполняться условия:

; ;  а( ], .

Запишем условия, при котором один корень меньше 2, а другой больше 2:

f(2) < 0, 2 – а < 0, a > 2.

Таким образом, при а > 2 требованиям х ≤ 2 будет удовлетворять только один меньший корень .

Отв: при a < решений нет; при a = одно решение х = ; при < a ≤ 2 два решения ; при а > 2 одно решение .

Пример 7. Решите уравнение .

▼Уравнение равносильно системе:

 .

Рассмотрим первое уравнение системы. D = 4 - 8(1 - a) = 4(2a – 1).

При D < 0, 2a – 1 < 0, a < решений нет.

При D = 0, a = исходное уравнение имеет единственное решение х = .

При D > 0, исходное уравнение имеет два корня .

Пусть f(x) = 2x² – 2x + 1– a. Найдем, при каких значениях параметра а уравнение имеет два корня х_1,2 ≤ 1. Для этого должны выполняться условия:

; ;  а( ; 1].

Запишем условия, при котором один корень меньше 1, а другой больше 1: f(2) < 0, a > 1. Таким образом, при а > 1 требованиям х ≤ 1 будет удовлетво-рять только один меньший корень .

Отв: при a(-; ) решений нет; при a = единственное решение х = ;

при а( ; 1] два корня ; при a(1; ) .

Пример 8. Решите уравнение .

▼Уравнение равносильно системе:

 .

Если у уравнения системы D = 4(a + 1)² – 8 = 4(a² + 2a – 1) = 0,

a = -1 ± , то уравнение имеет один корень х = а + 1 =± . Условию х ≥ 1 удовлетворяет только корень х = , которое соответствует a = -1 + . При а < -1 + , D < 0 уравнение не имеет корней.

Пусть f(x) = x² – 2(a + 1)x + 2. Найдем, при каких значениях параметра а уравнение имеет два корня, каждый из которых больше единицы. Для этого должны выполняться условия:

; ;  -1+ < a ≤ . При этом корни уравнения .

Найдем, при каких значениях параметра а исходное уравнение имеет один корень – больше единицы, а другой – меньше единицы. Для этого должны выполняться условия: f(1) < 0, 1 – 2a < 0, a > . При этом корнем уравнения является больший корень .

Объединяем полученные результаты.

Отв: при а < -1 + уравнение не имеет корней; при a = -1 + уравнение имеет один корень х = ; при -1+ < a ≤ уравнение имеет два корня ; при a > уравнение имеет один корень .

Пример 9. Решите уравнение .

▼Уравнение равносильно системе:

 .

Уравнение имеет корни при условии D = 4a + 1 ≥ 0, т.е. при a ≥ - . Выясним, при каких а выполняется неравенство х ≤ а.

Пусть . Абсцисса вершины параболы , поэтому . Следовательно, х₂ не явдяется решением исходного уравнения. Значение а, при которых находим из неравенства ,  а ≥ 0.

Отв: при а < 0 решений нет; при а ≥ 0 .

Пример 10. Решите уравнение .

▼Уравнение равносильно системе:

 .

D = 4(a + 1)² – 4(a² + 1) = 8(a + 1).

Если D < 0, a + 1 < 0, a < -1, то уравнение решений не имеет.

Если D = 0, a = -1, то уравнение имеет единственный корень х = 0.

Если D > 0, a > -1, то уравнение имеет два корня .

Очевидно, что удовлетворяет соотношению х ≥ а и является решением исходного уравнения. Выясним, при каких а ≥ а. Это можно сделать двумя способами.

Первый способ.

Решаем неравенство ≥ а, ≤ 1 

 -1 < a ≤ - .

Второй способ. Пусть f(x) = x² – 2(a + 1)x + a² – 1. Найдем, при каких значениях параметра а уравнение имеет два корня, каждый из которых больше a. Для этого должны выполняться условия:

;  -1 < a ≤ - , .

Отв: при а(-; -1) нет решений; при a = -1, х = 0; при -1 < a ≤ - , ; при а(- ; ∞),

Пример 11. Решите уравнение .

▼Уравнение равносильно системе:

;

. Если у уравнения системы D = (2a – 3)² – 4(a² + 2) = 1 – 12a = 0, т.е.

a = , то х = . Условие х + а ≥ 0 выполняется, уравнение имеет единственный корень. При a > , D < 0 уравнение не имеет корней.

Если D > 0, т.е. a < , то .

Найдем те значения а, при которых х + а ≥ 0. Это можно сделать двумя способами.

Первый способ.

Имеем х + а =

а) при всех a < ;

б) , , а ≥ - .

Итак, если - ≤ а < , то ; если а < - , то .

Второй способ. Пусть f(x) = x² + (2a - 3)x+ а² + 2. Найдем, при каких значениях параметра а уравнение имеет два корня х_1,2 ≥ а. Для этого должны выполняться условия:

; ;  - ≤ а < . При этом корни уравнения .

Найдем, при каких значениях параметра а исходное уравнение имеет один корень – больше -а, а другой – меньше -а. Для этого должны выполняться условия: f(-а) < 0, a <- . При этом корнем уравнения является больший корень .

Отв: при а < - , ; при - ≤ а < , ;

при a = , х = ; при a > , решений нет.▲

Пример 12. Решите уравнение .

▼ ; .

В первом уравнении системы D = (5 – a)² – 4(11 + 2a) = (a + 1)(a – 19).

При а(-1; 19), D < 0, корней нет.

При а = -1 и а = 19, D = 0 и уравнение имеет одно решение х =-3 и х = 7 соответственно.

Уравнение имеет два корня , если D = 4a + 1 ≥ 0, т.е. при а(-; -1][19; ∞). Найдем те значения а, при которых х ≥ -3. Это можно сделать двумя способами.

Первый способ. Решить неравенства х₁ ≥ -3 и х₂ ≥ -3.

Второй способ. Пусть f(x) = x² + (5 - a)x+ 11 + 2а. Найдем, при каких значениях параметра а уравнение имеет два корня х_1,2 ≥ а. Для этого должны выполняться условия:

; ;  a(19;∞). При этом корни уравнения .

Найдем, при каких значениях параметра а исходное уравнение имеет один корень – больше -3, а другой – меньше -3. Для этого должны выполняться условия: f(-3) < 0, т.е. a < -1. При этом корнем уравнения является больший корень .

Отв: при a(-; -1], ; при а(-1; 19) нет решений; при а = 19, х = 7; при a(19;∞), .

Пример 13. Для каждого а решите уравнение .

▼Уравнение равносильно системе:

; ;

а – 1 ≥ 2 при а ≥ 3; а + 1 ≥ 2 при а ≥ 1.

Таким образом, при а < 1 корней нет; при 1≤ a < 3 уравнение имеет один корень х = а + 1; при a ≥ 3 уравнение имеет два корня х = а ± 1.

Отв: при а < 1 корней нет; при 1≤ a < 3, х = а + 1; при a ≥ 3, х = а ± 1.