уравнения и неравенства с параметрами. Дробнорациональные уравнения, содержащие параметр

• Название: Дробнорациональные уравнения, содержащие параметр
• Дата: 21.10.2022
• Размер: 4.06 Mb.
• Имя файла: уравнения и неравенства с параметрами.docx
• Тип: Задача; #745894
• страница: 6 из 6

9) .

▼ ОДЗ уравнения: ;

Данное уравнение равнозначно системе

; .

Решим уравнение системы.

а) Если (а – 2) = 0, а = 2: 0х = 3 (ложь), решений нет.

б) Если а ≠ 2, то х = .

> , < 0  ,

а(-; - )(2; ).






-


Отв: при а(-; - )(2; ), х = ; при а[- ; 2)[ ; ) решений нет.

10) .

▼ ОДЗ уравнения: аR, (a + 1)x > 0.

Воспользуемся определением логарифма: (a + 1)x = 25.

а) Если а + 1 = 0, а = -1, 0х = 25 (ложь), решений нет.

б) Если а ≠ -1, то х = . Поскольку (a + 1)x = 25 > 0, то условие

(a + 1)x > 0 автоматически выполняется.

Отв; при а ≠ -1, х = ; при а = -1 решений нет.

11) .

▼ ОДЗ уравнения: .

Данное уравнение равнозначно системе

; ; .

Корень x = a – 1 удовлетворяет условию х(-∞;-1)(1; ∞), если

; , а(-∞; 0)(2; ∞).

Корень x = a + 1 удовлетворяет условию х(-∞;-1)(1; ∞), если

; , а(-∞;-2)(0; ∞).

Итак, при a < -2 и a > 2 уравнение имеет два корня: х = а – 1, х = а + 1; при -2 ≤ а < 0 уравнение имеет один корень х = а – 1; при a = 0 корней нет; при 0 < а ≤ 2 уравнение имеет один корень х = а + 1

12) .

▼ ОДЗ уравнения: ах + 1 > 0.

При а = 0 решений нет. Пусть а ≠ 0. Положим log₂(ax + 1) = t, тогда получаем квадратное уравнение t² + t– 2 = 0, имеющее два различных корня t₁ = -2, t₂ = 1. Решим совокупность уравнений

; ; ; .

Отв: при а = 0 решений нет; при а ≠ 0, x₁ = -3/4a, x₂ = 1/a.

Пример. При каких а уравнение имеет решение?

▼ Преобразованное уравнение равносильно системе

; .

Достаточно проверить выполнение одного из неравенств системы.

, > a + 1,  a[-2; ).

Отв: a[-2; ).

Пример. Найти наибольшее значение а, при котором уравнение имеет решение.

▼ После замены = t, t ≥ 0, задача свелась к нахождению наибольшего значения а, при котором квадратное уравнение 2t² – t + a = 0 имеет неотрицательное решение. Из неравенства D = 1 – 8a ≥ 0  a ≤ , следовательно, значение a = - решение задачи.

Отв: a = .

Пример. При каких а уравнение не имеют решения?

▼ ОДЗ: x > 0, x ≠ , x + a > 0.

Данное уравнение на ОДЗ равносильно уравнению x + a = 2х, x = a .

x = a не принадлежит ОДЗ в случае, если а(-; 0]{ }. При всех остальных значениях а исходное уравнение имеет решения.

Отв: а(-; 0]{ }.

Пример. При каких а корни уравнения меньше 3?

▼ Если x < 3, то x – 2 < 1, log₃(x – 2) < 0.

После замены log₃(x – 2) = t условие задачи сформулируем следущим образом: при каких а уравнение имеет только отрицательные корни?

Пусть f(t) = .

а) При а = 1, -4t – 2 = 0, t = - < 0. Значение а = 1 удовлетворяет условиям задачи.

б) Значения а, при которых корни квадратного уравнения отрицательны, найдем из системы

; ;  а[ ; 1).

Объединяя найденные значения а, получим ответ.

Отв: а[ ; 1].

Пример. При каких а уравнение имеет единственное решение?

▼ Данное уравнение равносильно системе

;

Квадратное уравнение имеет единственное решение в случаях:

а) D = 0, (a – 6)² – 36 = a(a – 12) = 0  a = 0 и a = 12. При a = 0 корень

х = -3(-3; ∞). При a = 12 корень х = 3 (-3; ∞). Значение a = 12 удовлетворяет условиям задачи.

б) Уравнение f(х) = 0, где f(х) = имеет два корня (D > 0), но только один из них удовлетворяет исходному уравнению. Значение а найдем из условия f(-3) < 0, 9 +3(a – 6) + 9 < 0, a < 0.

Отв: (-; 0) {12}.

Пример. При каких значениях параметра а уравнение имеет два корня?

▼ Исходное уравнение равносильно уравнению 9^x – 3^x + 9a³ = 0. Полагая

3^x = t, t > 0, получим t² – t + 9a³ = 0. Это уравнение будет иметь два положительных корня, если

; ; , 0 < a < .

Отв: (0; ).

Логарифмические неравенства с параметрами

Пример 1. Решить неравенство .

▼ ОДЗ: a > 0, a≠ 1, x > 0.

Данное неравенство в ОДЗ равносильно совокупности систем

Отв: при a < 0 или a = 1 решений нет; при a > 1, x(1; ∞); при 0 < a< 1,

x(0; 1).

Пример 2. Решить неравенство .

▼ ОДЗ: .

Данное неравенство в ОДЗ равносильно совокупности систем

;

Отв: при a ≤ 0 или а = 1 решений нет; при a > 1, x> 1/a; при 0 < a< 1,

0 < x < 1/a.

Пример 3. Решить неравенство .

▼ ОДЗ: a > 0, a≠ 1, x – 2a > 0.

Данное неравенство в ОДЗ равносильно совокупности систем

;

Отв: при a < 0 или a = 1 решений нет; при a > 1, x(3a; ∞); при 0 < a< 1,

x(2a; 3a).

Пример 4. Решить неравенство .

▼ ОДЗ: ax – 1 > 0.

Данное неравенство в ОДЗ равносильно неравенству ax – 1 > 1, ax > 2.

Решим ax > 2.

а) а = 0: 0x > 2 (ложь), решений нет.

б) a > 0: x > 2/a.

в) a < 0: x < 2/a.

Отв: при а = 0 решений нет; при a < 0, x < 2/a; при a > 0, x > 2/a.

Пример 5. Решить неравенство .

▼ ОДЗ: x > 0, a > 0,a ≠ 1.

Логарифмируем обе части неравенства по основанию а. Рассмотрим два случая:

а) 0 < a < 1: ,  ; .

б) a > 1: ,  -1 < log_ax < 1, < x < a.

Отв: при а(0; 1), х(0; а)( ; ); при а(1; ), х( ; а).

Пример 6. Решить неравенство .

▼ ОДЗ: .

Данное неравенство в ОДЗ равносильно системе неравенств

; .

Рассмотрим три случая.

а) а = -1: решений нет.

б) а > -1: ;  2 < x < 8a + 10.

в) а < -1: ;  8a + 10 < x < 2.

Отв: при а < -1, х(8a + 10; 2); при а > -1, х(2; 8a + 10); при а = -1 решений нет.

Пример 7. Решить неравенство .

▼ Составляем совокупность двух систем, равносильных данному неравенству:

; .

Вторая система несовместна. Решаем первую систему.

а) Если а ≥ 1, то решений нет.

б) Если 0 < а < 1, то x > -a.

Отв: при а(0; 1), х(-а; ); при a(-; 0][1; ) решений нет.

Пример 8. Найти все значения а, для которых неравенство справедливо для всех х.

▼ Данное неравенство равносильно системе

. Для того, чтобы выполнялось каждое неравенство системы при любых х, необходимо выполнение системы неравенств:

;  2 < a ≤ 3.

Отв: 2 < a ≤ 3.

Пример 9. Найти все значения параметра а, при которых неравенство выполняется для всех значений х.

▼ Рассмотрим два случая

а) ; ; ; , 1 < a < 5, хR.

б) ; . Последнее неравенство системы не выполняется при всех значениях х.

Отв: (1; 5).

Пример 10. При каких значениях а неравенство выполняется для любого х < 0.

▼ Исходное неравенство равносильно неравенству x² + ax + 1 > ,

x² + ax + > 0. Задача свелась к нахождению а, при которых квадратный трехчленf(x) =x² + ax + принимает положительные значения при любом х < 0. Значения а можно найти из условий:

; ;  а(-∞; ).

Отв: а(-∞; ).

Пример 11. Найти все значения параметра а, при каждом из которых неравенство не имеет решений.

▼ Исходное неравенство равносильно неравенству ,

.

При а = 5 решением неравенства является любое х ≥ 0.

При а ≠ 5 неравенство не имеет решения, когда

; ;  а < 3.

Отв: а < 3.

Пример 12. Найти все значения параметра а, при которых каждое решение неравенства является решением неравенства 49x² - 4a⁴ ≤ 0.

▼ Данное неравенство равносильно системе

; ;  х[-1; 0)(0; 2].

Решение неравенства 49x² – 4a⁴ ≤ 0 является отрезок [ ].

Для нахождения а составим систему неравенств

;  ≥ 2, ≥ 1, а(-; - ][ ; ∞).

Отв: (-; - ][ ; ∞).
Тригонометрические уравнения и неравенства с параметрами

1) Решить уравнение sinaxπ = 0.

▼ При а = 0, sin0 = 0 (истина), хR.

При а ≠ 0, axπ = πn, x = .

Отв: при а = 0, хR; при а ≠ 0, x = .

2) Решить уравнение sinx = a - 1.

▼ При решении данного уравнения учтем область значений функции

y= sinx: y[-1; 1]. Частные решения данного уравнения, когда а - 1 = 0, а - 1 = 1, а - 1 = -1, следует выделять особо.

а) Пусть а - 1 = 0, т.е. а = 1: sinх = 0, x₁ = πn.

б) Пусть а - 1 = -1, т.е. а = 0: sinх = -1, x₂ = -π/2 + 2πk.

в) Пусть а - 1 = 1, т.е. а = 2: sinх = 1, x₃ = π/2 + 2πm.

г) Пусть а - 1 > 1, т.е. ; : нет решений.

д) Пусть a(0; 1)(1; 2), тогда а - 1 < 1: x₄ = (-1)^larcsin(a - 1) + πl.

Отв: при а = 0, x = -π/2 + 2πk; при а = 1, x = πn; при а = 2, x = π/2 + 2πm;

при a(0; 1)(1; 2), x= (-1)^larcsin(a - 1) + πl; при a(-∞; 0)(2; ∞), решений нет.

3) Решить уравнение tgx = 2a + 1.

▼ ОДЗ: .

Рассмотрим два случая.

а) 2a + 1 = 0, a = - : tgx = 0, x₁ = πn.

б) a ≠ - : x₂ = arctg(2a + 1) + πk.

Отв: при a = - , x = πn; при a ≠ - , x₂ = arctg(2a + 1) + πk.

4) Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение

4cos² x + 5asin x - a² - 4 = 0 имеет решения. Найдите эти решения.

▼ Данное уравнение сводится к уравнению 4sin²x - 5asin x + a² = 0 ,

которое равносильно совокупности

.

Первое уравнение совокупности имеет решения, если -1 ≤ a ≤ 1. В этом случае x = (-1)ⁿarcsina +πn. .

Второе уравнение совокупности имеет решения, если -4 ≤ a ≤ 4. В этом случае x = (-1)^karcsina/4 +πk.

Видим, что исходное уравнение имеет решения при всех -4 ≤ a ≤ 4,

причем, если a[-1; 1], то решения имеют оба уравнения совокупности

(на рисунке две штриховки); если a[-4; -1)(1; 4] (одна штриховка), то

лишь второе уравнение совокупности имеет решения.

Отв: уравнение имеет решения при всех -4 ≤ a ≤ 4; при a[-1; 1], x = (-1)^karcsina/4 +πk, x = (-1)ⁿarcsina +πn; при a[-4; -1)(1; 4], x = (-1)^karcsina/4 +πk.

5) Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение

2cos2x 4cos x a 2 0 не имеет корней.

▼ После преобразований получим уравнение 4cos² x 4cos x a . Пусть

cosx t, t[1; 1] . Тогда необходимо выяснить, при каких значениях пара-

метра а уравнение 4t² 4t a не имеет корней на отрезке [-1; 1]. Для этого

изобразим на указанном отрезке график функции у 4t² 4t.


По графику видим, что уравнение не имеет корней, если а < -1 или а > 8.

Отв: а < -1 или а > 8.

6) Для каждого значения а решите уравнение cos(x+a) – sin(x - a) = 0.

▼ Используя формулу приведения, преобразуем данное уравнение к виду

sin( - x – a) – sin(x – a) = 0. Разложим левую часть уравнения на множители: 2 sin( - x)cos( – a) = 0.

Если cos( – a) = 0, то решением будет любое действительное х. Если

cos( – a) ≠ 0, то sin( - x) = 0, - x = πn, x = - πn.

Найдем, при каких значениях параметра а,cos( – a) = 0. Имеем

– a = + πk,a = + πk.

Отв: при a = + πk., xR, при a ≠ + πk.,x = - πn.

7) Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение

3cos2x - 2sin2x = a имеет решение.

▼ Преобразуем данное уравнение к виду

, , где .

Уравнение имеет решение тогда и только тогда, когда

, - ≤ а ≤ .

Отв: - ≤ а ≤ .

8) Решить уравнение sin⁴x + cos⁴x = a.

▼ Преобразуем данное уравнение: (sin²x + cos²x)² - sin²2x = a,

2 - sin²2x = 2a, sin²2x = 2 - 2a, 1 - cos4x = 4 - 4a, cos4x = 4a - 3.

Уравнение cos4x = 4a – 3 будет иметь решение, если 4a - 3 ≤ 1,

-1 ≤ 4a – 3 ≤ 1, 2 ≤ 4a ≤ 4, ≤ a ≤ 1.

Итак, если a[ ; 1], то x = ± arcos(4a – 3) + k.

Отв: при a[ ; 1], x= ± arcos(4a – 3) + k; при a(; )(1; ) решений нет.

9) При каких значениях параметра а уравнение

cos⁴2x – 2(a + 2)cos²2x – (2a + 5) = 0 имеет хотя бы одно решение?

▼ Пусть cos²2x = t, t[0; 1], тогда f(t) = t² – 2(a + 2)t – (2a + 5). Условием существования хотя бы одного корня на [0; 1] является f(1)f(0) ≤ 0.

(1 - 2(a + 2)1 – 2a - 5)(-(2a + 5)) ≤ 0, -(-4a – 8)(2a + 5) ≤ 0, 4(a + 2)(2a + 5) ≤ 0  -2,5 ≤ a≤ -2.

Отв: при a[-2,5; -2] существует хотя бы один корень исходного уравнения.

10) При каких значениях параметра а уравнение

cos24x + 2(8 + 5a)sin12x – 110a + 65 = 0 имеет хотя бы одно решение?

▼ Приведем уравнение к уравнению относительно одного аргумента и одной функции. Так как cos24x = 1 – 2sin²12x, то 1 – 2sin²12x+ 2(8 + 5a)sin12x – 110a + 65 = 0.

а) Пусть sin12x = t, тогда уравнение имеет вид

2t² – 2(8 + 5a)t + 110a - 66 = 0.

Но t ≤ 1, значит

; ;  несовместно.

б) Возможно, есть только одно решение относительно t.

или

Тогда f(-1)f(1) ≤ 0, (a – 0,4)(a – 0,8) ≤ 0, a[0,4; 0,8].

Отв: при a[0,4; 0,8] исходное уравнение имеет холя бы одно решение.

11) Решить неравенство sinax <

▼ sinax < , - + 2πn < ax < + 2πn.

Если а = 0, то исходное неравенство примет вид sin0x 1 (истина), решением является любое действительное х.

Если a > 0, то (- + 2πn) < x < ( + 2πn).

Если a < 0, то ( + 2πn) < x < (- + 2πn).

Отв: при а = 0 xR; при a > 0, (- + 2πn) < x < ( + 2πn);

при a < 0, ( + 2πn) < x < (- + 2πn).

12) Найдите все значения а, при каждом из которых неравенство

sin²7x + (2a +1)sin 7x + a - 5 < 0 выполняется для любого действительного

значения х.

▼ Пусть t = sin7x, причем Е(t) = [–1; 1]. Тогда исходное неравенство примет вид t² + (2a 1)ta -5 < 0.

Исходное неравенство будет выполняться для любого х, если для любого

t[1; 1] будет выполняться преобразованное неравенство. Это возможно только тогда, когда отрезок [-1; 1] будет расположен между корнями квадратичной функции f (t) = t² + (2a 1)ta -5.

Приведенное расположение параболы задается системой

; ; .

Отв: – 5 < a < 1,5.

Системы уравнений и неравенств с параметрами

Линейной функцией называется функция вида y = kx + b, где k, b – некоторые числа. Графиком линейной функции является прямая линия. Коэффициент k называется угловым коэффициентом прямой, а b = y(0). Если k > 0, то функция возрастает, если k < 0, то функция убывает.

Точка лежит на прямой, если ее координаты удовлетворяют уравнению этой прямой. Например, точка М(2; 7) лежит на прямой y = 5x - 3, поскольку 7 = 52 – 3 (истина).

Если точка лежит на оси абсцисс (ОХ), то ее ордината y = 0. Если точка лежит на оси ординат (ОY), то ее абсцисса х = 0.

Пример. Прямая y = kx + b проходит через точки (-3; -2), (1; 2). Запишите уравнение этой прямой.

▼ Подставим координаты точек (-3; -2), (1; 2) в уравнение прямой y = kx + b:

;  k = 1, b = 1. Уравнение прямой y = x + 1.

Рассмотрим систему , составленную из уравнений двух прямых.

Две прямые y = k₁x + b₁, y = k₂x + b₂ могут быть:

а) параллельными(k₁= k₂,b₁ ≠ b₂), система не имеет решения;

б) пересекающимися(k₁≠ k₂), система имеет одно решение;

в) совпадающими(k₁= k₂,b₁ = b₂), система имеет бесконечно много решений.

Пример. При каких значениях параметра а система а) имеет единственное решение; б) не имеет решения: в) бесконечно много решений.

▼ Выразим в каждом уравнении системы переменную y:

.

Система имеет единственное решение, если k₁≠ k₂, 0,5a² ≠ 2, a² ≠ 4, a ≠ ±2.

Если k₁= k₂, a = ±2, то прямые могут либо совпадать, либо быть параллельными.

При a = 2 имеем систему и прямые параллельные, система не имеет решения.

При a = -2 имеем систему и прямые совпадают, система имеет бесконечно много решений.

Отв: при a ≠ ±2 единственное решение; при a = 2 нет решений; при a = -2 бесконечно много решений.

Пусть коэффициенты уравнений системы

отличны от нуля. Тогда:

а) если , то система имеет единственное решение;

б) если , то система имеет бесконечно много решений;

в) если , то система не имеет решений.

Случай, когда коэффициенты равны нулю, нужно рассматривать отдельно.