уравнения и неравенства с параметрами. Дробнорациональные уравнения, содержащие параметр

• Название: Дробнорациональные уравнения, содержащие параметр
• Дата: 21.10.2022
• Размер: 4.06 Mb.
• Имя файла: уравнения и неравенства с параметрами.docx
• Тип: Задача; #745894
• страница: 4 из 6

Пример 18. Решить неравенство .

▼ Исходное неравенство равносильно совокупности двух систем:

а) ;

Множество решений неравенства x² – 2x + 1 - 4a < 0 интервал (х₁; х₂) =

( ; ) при а > 0. При а ≤ 0 неравенство и система решений не имеет.

Так как > -1, то множество решений системы Х₁ =( ; )∩[-1; ∞) ≠ . Выясним взаимное расположение точек и х = -1. Решим уравнение , , а = 1. При а(0; 1]: х₁ ≥ -1, следовательно Х₁ = (х₁; х₂), а при а > 1: х₁ < -1 и Х₁ = [-1; х₂).

б) ; . При -а < -1, т.е. а > 1, x[-a; -1). При -а ≥ -1, т.е.

а ≤ 1 решений нет.

Объединяя решения систем, получим ответ.

Отв: при а(-∞; 0] решений нет; при а(0; 1], x( ; ); при а(1; ∞), x= (-1; )[-а; -1) = [-а; ).

Пример 19. Решить неравенство , а > 0.

▼ ОДЗ: а – х ≥ 0, x ≤ a.

При 0 ≤ х ≤ а неравенство справедливо, так как в левой части стоит неотрицательная величина.

При х < 0 исходное неравенство равносильно а – х > x². Решаем систему:

 .

Объединяя решения, получим ответ.

Отв: .

Пример 20. Решить неравенство .

▼ ОДЗ: ах + 1 ≥ 0, x+ a≥ 0.

Исходное неравенство в ОДЗ равносильно системе

; .

При а = 1: 0х > 0 (ложь), решений нет.

При а > 1 решим систему  x > 1.

При а < 1 имеем систему .

Сравним -а с числом 1 при а < 1.

Если –а < 1, т.е. -1 < a < 1: -а ≤ х < 1.

Если –а ≥ 1, т.е. a ≤ - 1: решений нет.

Отв: при a ≤ - 1 решений нет; при а(-1; 1), -а ≤ х < 1; при а = 1 решений нет; при а > 1, x > 1;

Пример 21. Решить неравенство .

▼ Достаточно решить систему неравенств

; ; .

Первое неравенство системы решаем методом интервалов. Найдем сначала нули функции y = x(x – a – 1): .

Сравним а + 1 с числами 0 и -1: а + 1 = 0, а = -1; а + 1 = -1, а = -2.

Рассмотрим пять случаев:

1) а < -2: x(0; ).

2) а = -2: x(0; ).

3) -2 < а < -1: x[-1; a + 1)(0; ∞).

4) а = -1: ; x[-1; 0)(0; ).

5) а > -1: x[-1; 0)(a + 1; ).

Отв: при а < -2, x(0; ); при а = -2, x(0; ); при -2 < а < -1, x[-1; a + 1)(0; ∞); при а = -1, x[-1; 0)(0; ); при а > -1: x[-1; 0)(a + 1; ).

Пример 22. Найти все значения параметра а, при которых неравенство выполняется для любого допустимого х.

▼ Исходное неравенство равносильно системе

; ; .

Решением системы будет любое допустимое х (х ≥ -1), когда

[-1; ∞) , Выполнение этого условия возможно только при а + 1 < -1, a < -2.

Отв: a < -2.

Пример 23. Решить неравенство .

▼ ОДЗ: х ≥ 0.

Если (а – 1) ≥ 0, а ≥ 1, то х ≥ 0.

Если (а – 1) < 0, а < 1, то х = 0.

Отв: при а < 1, х = 0; при а ≥ 1, х ≥ 0.

Пример 24. Решить неравенство .

▼ ОДЗ: х ≥ 1.

Если а < 0, то х > 1.

Если а ≥ 0, то решений нет.

Отв: при а < 0, х > 1; при а ≥ 0 решений нет.

Пример 25. Решить неравенство .

▼ ОДЗ: а ≥ -1.

Если а ≤ -1, то решений нет.

Если а > -1, то х > 2.

Отв: при а ≤ -1 решений нет; при а > -1, х > 2.

Пример 26. Решить неравенство .

▼ ОДЗ: х ≥ 0.

Если а = 0, то решений нет.

Если а < 0, то решений нет.

Если а > 0, то 0 < х < a.

Отв: при а ≤ 0 решений нет; при а > 0, 0 < х < a.

Пример 27. Решить неравенство .

▼ 

а) х - 1= 0, х = 1- решение неравенства при любом а.

б) ; . Таким образом, множество решений исходного неравенства зависит от взаимного расположения точек х = -а и х = 1.

При -а ≤ 1, т.е. а ≥ -1: неравенство имеет единственное решение х = 1.

При -a >1, т.е. а < -1: x[1; -a];

Отв: при а(-; -1), x[1; -a]; при а[-1; ), x = 1.

Пример 28. Решить неравенство .

▼ 

а) х - 1= 0, х = 1- решение неравенства при любом а.

б) ; . Таким образом, множество решений исходного неравенства зависит от взаимного расположения точек х = а и х = 1.

При а = 1, х ≥ 1.

При а < 1, х ≥ 1.

При a >1, х ≥ a.

Отв: при а ≤ 1, х ≥ 1; при а > 1, х ≥ a.

Пример 29. Решить неравенство .

▼  .

а) х – a= 0, х = a- решение неравенства при любом а.

б) ; . Таким образом, множество решений исходного неравенства зависит от взаимного расположения точек х = а и х = 5.

При а = 5, х ≥ 5.

При а < 5, х ≥ 5 и х = а.

При a >5, х ≥ a.

Отв: при а < 5, х ≥ 5 и х = а; при a≥ 5, х ≥ a.

Пример 30. Решить неравенство .

▼ ОДЗ: .

При а + 1 ≤ 0, а ≤ -1, х ≤ 2.

При а + 1 > 0, а > -1, : , 

х( ; 2].

Отв: при а ≤ -1, х(-; 2]; при а > -1, х( ; 2].

Показательные уравнения с параметрами

Локоть

1. Уравнение h(x)^f(x) = h(x)^g(x) при h(x) > 0 равносильно совокупности двух систем

и

2. Уравнение а^f(x) = а^g(x) при а > 0 равносильно совокупности двух систем

и

3. Уравнение а^f(x) = b, где а > 0, b > 0, равносильно уравнению f(x) = log_ab.

В дальнейшем во всех примерах, содержащих выражение а^f(x), предполагаем а > 0. Случай а = 1 рассматривается отдельно.

Упражнение 1. Решить уравнения

1) 2^х = а.

▼ ОДЗ: .

При а ≤ 0 решений нет.

При а > 0, x = log₂a.

Отв: при а ≤ 0 решений нет; при а > 0, x = log₂a.

2) 3^х+1 = а².

▼ ОДЗ: .

При а = 0, 3^х+1 = 0, решений нет.

При а ≠ 0, а² > 0  x+ 1 = log₃ а², x = -1 +2log₃а.

Отв: при а = 0 решений нет; при а ≠ 0, x = -1 +2log₃а.

3) .

▼ ОДЗ: .

Данное уравнение равносильно уравнению , которое равносильно системе .

Найдем неотрицательные решения квадратного уравнения f(x) = 0, где f(x) = x² – x + a. Рассмотрим случаи:

а) Один из корней (х₁) равен 0. Тогда а = 0, а второй корень (х₂) равен 1.

б) Оба корня положительны (х₁ > 0, х₂ > 0).

Достаточно решить систему

; ; , 0 < a ≤ . Тогда х₁ = (1- )/2,

х₂ = (1+ )/2.

Если а = , то х₁ = х₂ = .

в) Оба корня имеют противоположные знаки (х₁ < 0, х₂ > 0).

Уравнение имеет только один положительный корень х₂ = (1+ )/2 > 0, если a < 0. При a > корней нет.

Отв: при а[0; ) два различных корня х₁ = (1- )/2,

х₂ = (1+ )/2; при а = , х = ; при a < 0 один корень х₂ = (1+ )/2; при a > корней нет.

4) 25^x + a²(a - 1)5^x – a⁵ = 0.

▼ Пусть 5^x = t> 0, тогда уравнение примет вид t²+ a²(a - 1)t – a⁵ = 0, корни которого t₁ = -a³, t₂ = a². Так как 5^x > 0, то уравнение 5^x = -a³ имеет решение х = 3log₅(-a) при а < 0, а уравнение 5^x = a² имеет решение х = 2log₅a при а ≠ 0.

Отв: при а(-; 0) х₁ =3log₅(-a), х₂ = 2log₅(-a); при а = 0 нет решений; при а(0; ) х = 2log₅a.

5) 2^2x - (2a + 1)2^x + a² + a = 0.

▼ Пусть 2^x = t> 0, тогда уравнение примет вид t²- (2a + 1)t + a(а + 1) = 0, корни которого t₁ = a, t₂ = a+ 1.

а) 2^x = а. При а ≤ 0 решений нет, при а > 0 х = log₂a.

б) 2^x = а + 1. При а ≤ -1 решений нет, при а > -1 х = log₂(a+ 1).

Отв: при а(-; -1] решений нет; при а(-1; 0] х = log₂(a+ 1); при а(0; ) х₁ = log₂a, х₂ = log₂(a+ 1).

6) 36^х - 2a 6^x+ a² - 1 = 0.

▼ Положив 6^x= t, получим уравнение t² – 2at + a² - 1 = 0, корни которого t₁ = a - 1, t₂ = a + 1.

Исходное уравнение будет иметь два корня при:

;  a> 1.

Примечание. Применив теорему Виета, получим тот же самый результат: ;  a> 1.

Уравнение будет иметь один корень, если ;  -1 < a ≤ 1,

причем t = a + 1.

Уравнение не имеет корней, если ;  a ≤ -1.

Отв: при a ≤ -1 корней нет; -1 < a ≤ 1, х = log₆ (a + 1); при a> 1 уравнение имеет корни х = log₆ (a - 1) и х = log₆ (a + 1).

7) .

▼ Пусть 2^х = t, t > 0, выразим а через t, получим

 ;

Отв: уравнение имеет корни при всех 0 < а ≤ 1 x = log₂a;

8) 25^х(2a 1)5^хa² a 2 0.

▼ После замены t5^х (t> 0) данное уравнение сводится к квадратному

t²(2a 1)t a² a 2 0, которое равносильно совокупности .

Таким образом, имеем . Первое уравнение совокупности имеет

решение при a > 1. Его корень x = log₅(a– 1). Второе уравнение совокупности имеет решение при a > –2. Его корень x = log₅(a+ 1).

Отв: при a 2 корней нет; при 2 a 1 x log₅(a 2) ;

при a > 1 x log₅(a 1) и x log₅(a 2) . 4

Условия существования решений

Примеры 2. При каких а уравнение имеет решения?

1) 4^x + a2^x = 1.

▼ После замены 2^x= t получим квадратное уравнение t² + at– 1 = 0. Так как свободный член отрицателен, то уравнение при любом а имеет корни противоположных знаков, следовательно исходное уравнение при любом а имеет единственное решение x = log₂t₁, где t₁ – положительный корень квадратного уравнения.

Отв: а(-; )

2) 25^x – (a- 4)5^x – 2а² + 10а – 12 = 0.

▼ После замены 5^x= t получим квадратное уравнение t² - (a- 4)t + (2а - 6)(2 – а) = 0, корни которого t₁ = 2a- 6, t₂ = 2 - a. Так как уравнение 5^x= t имеет решение при t > 0, то искомые значения а найдем из совокупности неравен-ств ; ;  а(-∞; 2)(3; ).

Отв: а(-∞; 2)(3; ).

3) (а – 1)4^x – 42^x + (а + 2) = 0.

▼ Полагая 2^x= t, исходное уравнение приводим к виду f(t) = 0, где f(t) = (а – 1)t² – 4t + (а + 2). Полученное уравнение будет иметь хотя бы одно решение, если уравнение f(t) = 0 будет иметь хотя бы одно положительное решение. Это возможно в следующих случаях:

а) а – 1 = 0, а = 1. Уравнение f(t) = 0 имеет единственное решение t = > 0.

б) Корни уравнения f(t) = 0 имеют противоположные знаки. Значения а находим из условия (а – 1)f(0) < 0, (а – 1)(а + 2) < 0, а(-2; 1). Если один из корней равен нулю (при а = -2), то второй корень t = - , т.е. значение а = -2 условиям задачи не удовлетворяет.

в) Оба корня положительны. Значения а находим из условия:

; ; ; 

1 < a < 2.

г) Корни уравнения совпадают. Уравнение D= 0 имеет корни а = -3 и

а = 2. При а = -3 t = - < 0, а при а = 2 t = 2 > 0.

Объединяя найденные значения а, получим ответ.

Отв: а(-2; 2].
Примеры 3. При каких а уравнение не имеет решения?

1) 49^x – 2a7^x + а² – 1 = 0.

▼ После замены 7^x= t получим квадратное уравнение t²– 2at + а² – 1 = 0, корни которого t₁ = a- 1, t₂ = а + 1. Уравнение 7^x= t не имеет решений, если

t ≤ 0. Искомые значения а находим из системы

; ;  а ≤ -1.

Отв: а(-∞; -1].

2) a4^x+1 – (3a + 1)2^x + а = 0.

▼ Положим 2^x= t, тогда исходное уравнение примет вид f(t) = 0, где f(t) = 4at²– (3a + 1)t + а . Исходное уравнение не будет иметь решений, если уравнение f(t) = 0 не будет иметь положительных решений (t > 0). Это возможно в следующих случаях:

а) а = 0. Уравнение f(t) = 0 имеет единственное решение t = 0, следовательно, а = 0 удовлетворяет условиям задачи.

б) D < 0. Решая неравенство (3a + 1)² – 16а² < 0, 7а² – 6а – 1 > 0, получим а(-∞; - )(1; ∞). При а = - t₁ = t₂ = - < 0, при а = 1 t₁ = t₂ = > 0. Условиям задачи удовлетворяют значения а(-∞; - ](1; ∞).

в) Оба корня уравнения f(t) = 0 отрицательны. Значения а найдем из системы:

; ;  а(- ; 0).

г) Один из корней уравнения f(t) = 0 равен нулю, второй отрицателен. Подставляя в уравнение f(t) = 0 t = 0, получим значение а = 0, которое исследовано ранее.

Объединяя найденные значения а, получим ответ.

Отв: а(-∞; 0]( ; ∞).

Корни уравнения. Рассмотрим примеры на определение значений параметра, при которых: уравнение имеет единственное решение, два решения, только положительные или отрицательные решения.