Э. А. Романовский теория автоматического

• Название: Э. А. Романовский теория автоматического
• Дата: 16.05.2022
• Размер: 0.67 Mb.
• Имя файла: 1-6.pdf
• Тип: Практикум; #532783
• страница: 3 из 7

1.3.
К
ОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1.
Как создавать объекты в среде MATLAB? Как узнать содержи- мое этих объектов? Как очистить содержимое командного окна?
2.
Правила именования объектов в среде MATLAB.

- 20 -
3.
Что такое рабочее пространство среды? Как сохранять и как восстанавливать рабочее пространство среды?
4.
Создание векторов и матриц в среде MATLAB. Доступ к эле- ментам векторов и матриц. Основные действия над векторами и мат- рицами.
5.
Создание полиномов в среде MATLAB. Основные действия над полиномами.

- 21 -
Работа №2.
М
ОДЕЛИРОВАНИЕ ЛИНЕЙНЫХ НЕПРЕРЫВНЫХ
СИСТЕМ С
ПОМОЩЬЮ ПЕРЕДАТОЧНЫХ ФУНКЦИЙ
Цель лабораторной работы: получить навыки создания в ко- мандном окне среды MATLAB моделей объектов с использованием аппарата передаточных функций.
2.1.
О
БЩИЕ СВЕДЕНИЯ ОБ
LTI-
ОБЪЕКТАХ
,
ПРЕДСТАВЛЕННЫХ В
ВИДЕ ПЕРЕДАТОЧНЫХ ФУНКЦИЙ
2.1.1.
Вводная информация
Среда MATLAB в своём составе имеет пакет Control System Tool- box, предназначенный для работы с линейными динамическими моде- лями непрерывных и дискретных систем, описываемых дифференци- альными и разностными уравнениями с постоянными коэффициента- ми. Подробное описание возможностей пакета Control System Toolbox приведено в [2].
При помощи данного пакета можно создавать модели линейных стационарных объектов и систем (в среде MATLAB они называются lti-объекты - сокращение от выражения Linear Time Invariant System
Object) в форме передаточных функций и передаточных матриц, либо в форме пространства состояний. В настоящей работе рассматривается только моделирование объектов в форме передаточных функций.
Передаточная функция (ПФ) – это математическая модель дина- мической системы, связывающая один её входной сигнал с одним вы- ходным сигналом и представляющая собой отношение изображения
Лапласа выходного сигнала системы к изображению Лапласа входного сигнала системы при нулевых начальных условиях.
Если у системы один входной сигнал и один выходной сигнал
(такие системы называются скалярными), то её ПФ, связывающая эти два сигнала, полностью описывает процессы в этой системы и являет- ся её полной моделью. В общем случае у системы может быть не- сколько входов и несколько выходов (такие системы называются век- торными). В подобных системах между каждой парой входов и выхо- дов вводится своя ПФ. Вся совокупность этих ПФ образует матрицу, называемую матричной ПФ или передаточной матрицей (ПМ) систе- мы. Именно ПМ векторной системы будет полностью описывать про- цессы в ней и будет являться её полной моделью.
Для простоты в настоящей работе рассматривается моделирова-

- 22 - ние только скалярных систем, полные модели которых являются пере- даточными функциями. Сведения о том, как создаются модели вектор- ных систем, полные модели которых являются передаточными матри- цами, приведены, например, в [2].
Т. к. ПФ представляет собой отношение изображения Лапласа выходного сигнала к изображению Лапласа входного сигнала, то она является функцией от оператора Лапласа. Для непрерывных линейных стационарных динамических систем ПФ всегда может быть представ- лена в следующем общем виде:
0 1
1 1
0 1
1 1
)
(
a
p
a
p
a
p
a
b
p
b
p
b
p
b
p
W
n
n
n
n
m
m
m
m
+
+
+
+
+
+
+
+
=
−
−
−
−
K
K
,
n
m
≤
Как видно, она представляет собой отношение двух полиномов, являющихся функциями от оператора Лапласа.
Здесь полином знаменателя имеет особое название – характери- стический полином ПФ. Корни характеристического полинома назы- ваются полюсами системы, а корни полинома числителя называются нулями системы.
При использовании аппарата ПФ математическую модель скаляр- ного объекта в среде MATLAB можно задавать двумя способами:
1.
В tf-форме:
0 1
1 1
0 1
1 1
)
(
a
p
a
p
a
p
a
b
p
b
p
b
p
b
p
W
n
n
n
n
m
m
m
m
+
+
+
+
+
+
+
+
=
−
−
−
−
K
K
2.
В zpk-форме нулей, полюсов и коэффициента передачи:
)
(
)
)(
(
)
(
)
)(
(
)
(
1 1
1 1
p
p
p
p
p
p
z
p
z
p
z
p
K
p
W
n
n
m
m
+
⋅
⋅
+
+
+
⋅
⋅
+
+
=
−
−
K
K
, где
j
z (
m
j
,
1
=
) – это нули
ПФ
, а
i
p
(
n
i
,
1
=
) – полюсы
ПФ
В
общем случае и
нули
, и
полюсы системы могут представлять собой не только вещественные
, но и
комплексные числа
2.1.2.
Создание и преобразование lti-объектов
Ниже приведён пример создания lti- объекта в
tf- форме
» W1 = tf([2, 3, 1], [4, 5, 2, 3])
Transfer function:
2 s^2 + 3 s + 1
-----------------------
4 s^3 + 5 s^2 + 2 s + 3

- 23 -
В примере вместо квадратных скобок с числами можно указывать заранее созданные полиномы (т. е. векторы-строки, содержащие коэф- фициенты полиномов в порядке убывания их индексов). Пример также демонстрирует, что среда MATLAB для обозначения оператора Лапла- са по умолчанию использует символ «
s
».
Ниже приведён пример создания lti-объекта в zpk-форме.
» W2 = zpk([-5 + i, -5 - i], [-1, -2 + 3i, -2 - 3i, -3], 5)
Zero/pole/gain:
5 (s^2 + 10s + 26)
---------------------------
(s+1) (s+3) (s^2 + 4s + 13)
В примере вместо квадратных скобок с числами можно указывать заранее созданные числовые векторы-строки. Можно также вместо векторов-строк использовать здесь векторы-столбцы.
Содержимое lti-объектов всегда можно преобразовать обратно в числовые векторы. Для этого используются M-функции tfdata()
и zpkdata()
:
» [P1, P2] = tfdata(W1, 'v')
P1 =
0 2 3 1
P2 =
4 5 2 3
» [Zeros, Poles, Gain] = zpkdata(W2, 'v')
Zeros =
-5.0000 + 1.0000i
-5.0000 - 1.0000i
Poles =
-1.0000
-2.0000 + 3.0000i
-2.0000 - 3.0000i

- 24 -
-3.0000
Gain =
5
Как видно, в случае с функцией zpkdata()
результат возвраща- ется в виде векторов-столбцов.
В среде MATLAB имеется возможность преобразования lti- объектов из tf-формы в zpk-форму и наоборот. Примеры:
» W3 = zpk(W1);
» W4 = tf(W2);
2.1.3.
Создание более сложных lti-объектов
Созданные lti-объекты можно использовать в качестве строитель- ного материала при создании более сложных объектов и систем. При этом созданные lti-объекты можно соединять между собой последова- тельно, параллельно и встречно-параллельно. Ниже приведены при- меры, демонстрирующие это.
» W3 = W1 * W2;
%
Создание последовательного
% соединения объектов
%
W1 и
W2.
» W4 = W1 + W2;
%
Создание параллельного
% соединения объектов
%
W1 и
W2.
» W5 = feedback(W1, W2);
%
Создание встречно
-
% параллельного соединения
% объектов
W1 и
W2
% с
отрицательной
% обратной связью
Среда MATLAB считает zpk-форму более предпочтительной по сравнению с tf-формой, т. к. расчёты над моделями, представленными в zpk-форме будут более точными по сравнению с расчётами над мо- делями, представленными в tf-форме. Поэтому если среди соединяе- мых lti-объектов один представлен в zpk-форме, то и результирующий lti-объект окажется представленным в zpk-форме.
Модели объектов и систем, как правило, подвергаются анализу.
Обычно в процессе анализа строятся различные характеристики объ- ектов и систем. Характеристики принято делить на временные и час- тотные. Среди временных чаще всего строится переходная характери-

- 25 - стика (ПХ), а среди частотных чаще всего строятся амплитудно- фазовая частотная характеристика (АФЧХ) и логарифмическая ампли- тудно-фазовая частотная характеристика (ЛАФЧХ). Для построения таких характеристик имеются соответствующие M-функции:
» step(W2)
%
Построение
ПХ
объекта
W2.
» step(W2, 10)
%
То же самое с
указанием
% конечного времени
% моделирования
(10 секунд
).
» nyquist(W2)
%
Построение
АФЧХ
объекта
W2.
» bode(W2)
%
Построение
ЛАФЧХ
объекта
W2.
2.2.
З
АДАНИЯ
1.
В таблице Табл. 2.1 по вариантам приведены две ПФ
1
W
и
2
W
По ним создать в среде MATLAB два lti-объекта. При этом для lti- объекта
1
W
следует использовать tf-форму, а для lti-объекта
2
W
следу- ет использовать zpk-форму.
2.
Выполнить предобразование lti-объекта
1
W
к zpk-форме, а также выполнить преобразование lti-объекта
2
W
к tf-форме. Провести анализ результатов.
3.
Создать ещё три lti-объекта
3
W
,
4
W
и
5
W
, представляющие со- бой последовательное, параллельное и встречно-параллельное соеди- нение объектов
1
W
и
2
W
. Для каждого из них построить ПХ, АФЧХ и
ЛАФЧХ.
Табл
. 2.1.
Передаточные
функции
1
W
и
2
W
по
вариантам
.
№ 1
W
2
W
1 1
5 4
2 10 5
2 2
3 2
+
+
+
+
−
p
p
p
p
p
)
1 5
)(
1 2
3
(
10 3
2 2
+
+
+
+
+
p
p
p
p
p
2 1
5 2
2 2
2 3
2
+
+
+
−
+
p
p
p
p
p
)
7
)(
8 3
2
(
)
7 2
)(
1 5
(
2 2
+
+
+
+
+
p
p
p
p
p
p
3 1
5 4
4 2
9 3
3 2
3 4
2
+
+
+
+
+
−
p
p
p
p
p
p
)
6 3
)(
4 2
(
)
4 2
)(
10
(
2 2
2
+
+
+
+
+
+
p
p
p
p
p
p
4
p
p
p
p
p
p
5 10 2
3 3
2 3
2 3
+
+
−
+
)
5
)(
10 4
(
1 6
2 2
+
+
+
+
+
p
p
p
p
p
5 10 55 5
2 7
5 4
2 3
4 2
+
+
+
+
+
+
p
p
p
p
p
p
)
6
)(
4 3
3
(
)
9
)(
1
(
2 2
+
+
+
+
+
p
p
p
p
p
p

- 26 -
6 1
5 4
3 2
6 5
2 2
3 4
2 3
+
+
+
+
−
+
p
p
p
p
p
p
)
5 4
)(
2
(
)
2 3
)(
15
(
2 2
2
+
+
+
+
+
+
p
p
p
p
p
p
7 5
30 5
2 2
7 2
3 4
2 3
+
+
+
+
−
+
p
p
p
p
p
p
p
)
9 3
)(
10 7
3
(
1 2
2 2
+
+
+
+
+
p
p
p
p
p
8 3
35 2
8 3
2 3
2
+
+
+
−
+
p
p
p
p
p
)
10
)(
1 4
2
(
)
9 3
)(
2 4
(
2 2
+
+
+
+
+
p
p
p
p
p
p
9 1
2 1
8 4
2 3
2
+
+
+
+
+
p
p
p
p
p
)
8 4
2
)(
9 3
(
)
9 2
)(
6
(
2 2
2
+
+
+
+
+
+
p
p
p
p
p
p
10 5
3 15 7
2 1
2 2
2 3
4 2
3
+
+
+
+
−
+
−
p
p
p
p
p
p
p
)
2 4
)(
1 7
2
(
5 4
3 2
2
+
+
+
+
−
p
p
p
p
p
11 1
5 4
7 50 2
2 3
2
+
+
+
+
−
p
p
p
p
p
)
1 5
)(
2 2
3
(
10 3
2 2
+
+
+
+
−
p
p
p
p
p
12 1
5 20 2
2 2
2 3
2
+
+
+
−
+
p
p
p
p
p
)
7
)(
8 4
2
(
)
8 2
)(
1 2
(
2 2
+
+
+
+
+
p
p
p
p
p
p
13 1
5 4
5 2
9 4
3 2
3 4
2
+
+
+
+
+
−
p
p
p
p
p
p
)
6 4
)(
4 3
(
)
3 2
)(
20
(
2 2
2
+
+
+
+
+
+
p
p
p
p
p
p
14
p
p
p
p
p
p
5 9
2 3
3 2
3 2
3
+
+
−
−
)
5
)(
10 3
(
1 5
2 2
+
+
+
+
+
p
p
p
p
p
15 9
6 11 5
2 7
5 4
2 3
4 2
+
+
+
+
+
−
p
p
p
p
p
p
)
3
)(
2 3
3
(
)
9 2
)(
1
(
2 2
+
+
+
+
−
p
p
p
p
p
p
16 1
5 4
3 6
5 2
2 3
4 2
3
+
+
+
+
−
+
−
p
p
p
p
p
p
)
5 4
2
)(
2 2
(
)
2 2
)(
3
(
2 2
2
+
+
+
+
+
+
p
p
p
p
p
p
17 5
2 25 5
2 2
7 2
3 4
2 3
+
+
+
+
−
−
p
p
p
p
p
p
p
)
9 2
)(
10 9
3
(
1 2
2 2
+
+
+
+
+
−
p
p
p
p
p
18 3
35 3
2 7
3 2
3 2
+
+
+
−
−
p
p
p
p
p
)
9
)(
1 5
2
(
)
9 3
)(
2 4
(
2 2
+
+
+
+
−
p
p
p
p
p
p
19 1
3 2
1 8
3 2
3 2
+
+
+
+
−
p
p
p
p
p
)
8 4
)(
9 2
3
(
)
3 2
)(
6
(
2 2
2
+
+
+
+
+
−
p
p
p
p
p
p
20 5
45 7
2 1
2 3
4 2
3
+
+
+
+
−
+
−
p
p
p
p
p
p
p
)
2 4
)(
1 3
2
(
5 4
3 2
2
+
+
+
+
+
p
p
p
p
p
21 1
15 4
7 23 2
2 3
2
+
+
+
+
−
p
p
p
p
p
)
1 5
)(
2 12 3
(
10 5
2 2
+
+
+
+
−
p
p
p
p
p

- 27 -
22 1
15 22 2
2 2
2 2
3 2
+
+
+
−
+
p
p
p
p
p
)
7
)(
8 2
2
(
)
7 2
)(
21 2
(
2 2
+
+
+
−
+
p
p
p
p
p
p
23 1
5 4
5 3
9 14 3
2 3
4 2
+
+
+
+
+
−
p
p
p
p
p
p
)
6 4
2
)(
14 13
(
)
3 2
)(
12
(
2 2
2
+
+
+
+
−
+
p
p
p
p
p
p
24
p
p
p
p
p
p
5 8
2 4
3 2
3 2
3
+
+
+
−
)
5
)(
10 31
(
1 15 2
2
+
+
+
−
+
p
p
p
p
p
25 9
16 11 15 2
7 2
4 2
3 4
2
+
+
+
+
+
−
−
p
p
p
p
p
p
)
3
)(
2 13 3
(
)
7 2
)(
21
(
2 2
+
+
+
+
−
p
p
p
p
p
p
26 1
5 4
3 2
6 15 2
2 3
4 2
3
+
+
+
+
−
+
−
p
p
p
p
p
p
)
5 5
2
)(
4 2
(
)
2 2
)(
13
(
2 2
2
+
+
+
+
−
+
p
p
p
p
p
p
27 5
2 26 3
2 2
17 2
3 4
2 3
+
+
+
+
+
−
p
p
p
p
p
p
p
)
9
)(
12 9
3
(
1 3
2 2
+
+
+
+
+
p
p
p
p
p
28 3
35 30 2
7 2
2 3
2
+
+
+
−
+
p
p
p
p
p
)
9 2
)(
1 15 2
(
)
7 3
)(
12 4
(
2 2
+
+
+
+
−
p
p
p
p
p
p
29 1
3 3
2 1
18 3
2 3
2
+
+
+
+
−
p
p
p
p
p
)
8 4
3
)(
19 2
3
(
)
3
)(
6 2
(
2 2
2
+
+
+
+
−
−
p
p
p
p
p
p
30 5
2 45 17 2
1 2
2 2
3 4
2 3
+
+
+
+
−
+
−
p
p
p
p
p
p
p
)
2 13
)(
1 32 21
(
5 14 3
2 2
+
+
+
+
+
p
p
p
p
p