Э. А. Романовский теория автоматического
 Скачать 0.67 Mb.
|
|
2.3. К ОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 1. Что такое передаточная функция системы управления ? 2. Что представляет собой lti- объект ? 3. Способы создания lti- объектов с применением аппарата пере - даточных функций 4. Как осуществить переход от tf- формы представления моделей динамических систем к zpk- форме и обратно ? 5. Как извлекать данные из lti- объектов ? 6. Как создавать на основе lti- объектов более сложные системы ? 7. Как построить в среде MATLAB по lti- объекту переходную ха - рактеристику , амплитудно - фазовую частотную характеристику , лога - рифмическую амплитудно - фазовую частотную характеристику ? - 28 - Работа №3. М ОДЕЛИРОВАНИЕ ЛИНЕЙНЫХ НЕПРЕРЫВНЫХ СИСТЕМ В ПРОСТРАНСТВЕ СОСТОЯНИЙ Цель лабораторной работы: получить навыки создания в ко- мандном окне среды MATLAB моделей объектов с использованием аппарата пространства состояний. 3.1. О БЩИЕ СВЕДЕНИЯ ОБ LTI- ОБЪЕКТАХ , ПРЕДСТАВЛЕННЫХ В ПРОСТРАНСТВЕ СОСТОЯНИЙ 3.1.1. Вводная информация Форма пространства состояний – это матричная форма записи модели объекта или системы, адаптированная для управления путем выделения из нормальной формы Коши алгебраических уравнений, связывающих внутренние переменные объекта или системы с его или её выходными переменными. Такая форма особенно широко применяется для описания систем большого порядка, как правило, с несколькими входами и выходами и с перекрёстными связями. Для линейных стационарных динамических систем модель в про- странстве состояний может быть представлена в следующем общем виде: (3.1) + = + = ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( t D t C t t B t A t u x y u x x& , где T n t x t x t x t )) ( , ), ( ), ( ( ) ( 2 1 K = x – вектор переменных состояния сис - темы ( n – её порядок ); T m t u t u t u t )) ( , ), ( ), ( ( ) ( 2 1 K = u – вектор входных воздействий системы ; T q t y t y t y t )) ( , ), ( ), ( ( ) ( 2 1 K = y – вектор выходных переменных системы; A , B , C и D - матрицы числовых коэффици- ентов. Они имеют следующий вид: n n nn n n n n R a a a a a a a a a A × ∈ = K M O M M K K 2 1 2 22 21 1 12 11 , m n nm n n m m R b b b b b b b b b B × ∈ = K M O M M K K 2 1 2 22 21 1 12 11 , - 29 - n q qn q q n n R c c c c c c c c c C × ∈ = K M O M M K K 2 1 2 22 21 1 12 11 , m q qm q q m m R d d d d d d d d d D × ∈ = K M O M M K K 2 1 2 22 21 1 12 11 Данному виду соответствует единая структурная схема системы управления, изображенная на Рис. 3.1. ) (t u ) (t x& ) (t x ) (t y Рис. 3.1. Структурная схема модели линейной системы в форме пространства состояний. Если система имеет один вход ( 1 = m ) и один выход ( 1 = q ), то она является скалярной В этом случае её модель принимает следующий развёрнутый вид : ( ) ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ = u d x x x c c c y u b b b x x x a a a a a a a a a x x x dt d n n n n nn n n n n n M K M M K M O M M K K M 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 22 21 1 12 11 2 1 При использовании аппарата пространства состояний математи - ческую модель объекта в среде MATLAB можно задавать двумя спо - собами : 1. В ss- форме , что соответствует модели (3.1). 2. В dss- форме : (3.2) + = + = ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( t D t C t t B t A t E u x y u x x& , - 30 - где E – некоторая невырожденная квадратная матрица n -го порядка. Модель (3.2), по сути, представляет собой модель (3.1), записан- ную в неявной форме Коши. Такая модель, конечно же, может быть приведена к форме (3.1) путём умножения 1-го уравнения на матрицу, обратную матрице E . Тем не менее, MATLAB всё же поддерживает эту дополнительную форму (dss-форму) по следующей причине. Дело в том, что если матрица E является плохо обусловленной по отноше- нию к операции обращения, то модель (3.2) преобразовывать к форме (3.1) нецелесообразно из-за большой погрешности вычисления матри- цы 1 − E , и лучше оставить модель объекта в неявной форме Коши (3.2). На практике dss-форма применяется довольно редко. 3.1.2. Создание и преобразование lti-объектов В настоящей работе для простоты рассматривается моделирова- ние в пространстве состояний только скалярных систем. Сведения о том, как создаются в пространстве состояний модели векторных сис- тем, приведены, например, в [2]. Ниже приведены примеры создания lti-объектов в ss-форме и в dss-форме (в случае dss-формы вывод результата подавлен). » A = [0, 1; -5, -2]; » B = [0; 3]; » C = [0, 1]; » W1 = ss(A, B, C, 0) a = x1 x2 x1 0 1 x2 -5 -2 b = u1 x1 0 x2 3 c = x1 x2 y1 0 1 d = u1 y1 0 - 31 - Continuous-time system. » E = [1, 2; 3, 1]; » W2 = dss(A, B, C, 0, E); Как видно из примера, для моделей с нулевой матрицей D (такой случай на практике встречается довольно часто) можно вместо матри- цы D использовать нулевое значение, как краткую форму записи ну- левой матрицы соответствующих размеров. В среде MATLAB имеется возможность преобразования lti- объектов из tf-формы и zpk-формы в ss-форму и наоборот. Пусть име- ется lti-объект с именем Sys , представленный в любой из трёх основ- ных форм описания. Тогда можно выполнять следующие действия: » Wtf = tf(Sys); % Преобразование к tf- форме » Wzpk = zpk(Sys); % Преобразование к zpk- форме » Wss = ss(Sys); % Преобразование к ss- форме Следует отметить, что преобразование lti-объектов из tf-формы и из zpk-формы к ss-форме является неоднозначным и зависит от выбора переменных состояния. Также следует принимать во внимание следующие обстоятельст- ва: 1. Три формы lti-моделей не в равной степени пригодны для чис- ленных вычислений. Так, точность вычислений при применении lti- объектов высокого порядка, представленных в tf-форме, может ока- заться низкой. Рекомендуется работать с lti-объектами, представлен- ными в ss-форме, а tf-форму применять только для иллюстрации или интерпретации результатов. Также для повышения точности расчётов рекомендуется объекты, представленные в ss-форме, подвергать про- цедуре масштабирования с помощью диагональной матрицы (функция ssbal() ) либо процедуре нормализации. 2. Преобразования к tf-форме могут сами по себе привести к по- тере точности. В результате нули и полюсы систем могут заметно от- личаться от параметров исходных моделей, представленных в zpk- форме или в ss-форме. 3. Преобразования lti-объектов, изначально представленных в ss- формах, в другие формы с последующим обратным преобразованием также могут приводить к потере точности. Поэтому общая рекоменда- ция заключается в том, чтобы избегать взаимообратных преобразова- ний какого-либо lti-объекта, изначально представленного в ss-форме. Часто в процессе анализа системы требуется определять некото- - 32 - рые важные характеристики соответствующего ей lti-объекта, такие как полюсы, нули, коэффициент передачи и пр. Для lti-объекта, пред- ставленного в ss-форме, это может вызывать некоторые затруднения (в отличие от lti-объектов, представленных в tf-форме и в zpk-форме). В среде MATLAB имеется возможность легко отыскать указанные ха- рактеристики для lti-объекта, представленного в любой форме. Пусть имеется такой объект с именем Sys . Тогда его полюсы, нули и коэф- фициент передачи можно определить так: » P1 = pole(Sys); % Полюсы объекта Sys. » P2 = eig(Sys); % То же самое » Z = tzero(Sys); % Нули объекта Sys. » G = dcgain(Sys); % Коэффициент передачи % объекта Sys. » [P, Z] = pzmap(Sys); % Полюсы (P) и нули (Z) % объекта Sys. » pzmap(Sys); % Построение графика % с изображением полюсов % и нулей объекта Sys. 3.1.3. Создание более сложных lti-объектов Созданные в ss-форме lti-объекты также можно использовать в качестве строительного материала при создании более сложных объ- ектов и систем, причём совместно с lti-объектами, представленными в tf-форме или в zpk-форме. При этом созданные lti-объекты также можно соединять между собой последовательно, параллельно и встречно-параллельно. Примеры: » W3 = W1 * W2; % Создание последовательного % соединения объектов % W1 и W2. » W4 = W1 + W2; % Создание параллельного % соединения объектов % W1 и W2. » W5 = feedback(W1, W2); % Создание встречно - % параллельного соединения % объектов W1 и W2 % с отрицательной обратной % связью Среда MATLAB считает ss-форму наиболее предпочтительной среди всех форм lti-объектов, т. к. расчёты над моделями, представ- ленными в ss-форме, будут наиболее точными. Поэтому если среди исходных lti-объектов один будет представлен в ss-форме, то и резуль- - 33 - тирующий lti-объект также окажется представленным в ss-форме. 3.2. З АДАНИЯ 1. В таблице Табл. 2.1 (см. предыдущую работу) по вариантам приведены две исходных ПФ. По ним в предыдущей работе были по- лучены два lti-объекта (один в tf-форме и один в zpk-форме). По этим двум lti-объектам создать в среде MATLAB два lti-объекта 1 W и 2 W , представленных в ss-форме (путём преобразования форм, изложенно- го выше). 2. Вычислить полюсы, нули и коэффициенты передачи представ- ленных в ss-форме lti-объектов 1 W и 2 W . Для каждого из lti-объектов 1 W и 2 W построить график с изображением полюсов и нулей этого объекта. 3. Создать ещё три lti-объекта 3 W , 4 W и 5 W , представляющие со- бой последовательное, параллельное и встречно-параллельное соеди- нение объектов 1 W и 2 W . Для каждого из них построить ПХ, АФЧХ и ЛАФЧХ. Сравнить полученные графики с графиками, полученными в предыдущей работе. 3.3. К ОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 1. Что представляет собой модель системы управления в про- странстве состояний? 2. Какова структурная схема модели системы управления в про- странстве состояний? 3. Что представляет собой lti-объект? 4. Способы создания lti-объектов с применением аппарата про- странства состояний. 5. Как осуществить преобразование lti-объектов из tf-формы и zpk-формы в ss-форму и наоборот? 6. Причины, по которым ss-форма является наиболее предпочти- тельной формой описания lti-объектов. 7. Как определить полюсы, нули и коэффициент передачи lti- объекта? 8. Как создавать на основе lti-объектов более сложные системы? 9. Как построить в среде MATLAB по lti-объекту переходную характеристику, амплитудно-фазовую частотную характеристику, ло- гарифмическую амплитудно-фазовую частотную характеристику? - 34 - Работа №4. О ПРЕДЕЛЕНИЕ ВРЕМЕННЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ЛИНЕЙНЫХ НЕПРЕРЫВНЫХ СИСТЕМ Цель лабораторной работы: получить навыки построения в ко- мандном окне среды компьютерного моделирования MATLAB раз- личных временных характеристик динамических систем управления; получить навыки по оценке показателей качества переходных характе- ристик этих систем. 4.1. О БЩИЕ СВЕДЕНИЯ О ВРЕМЕННЫХ ХАРАКТЕРИСТИКАХ 4.1.1. Вводная информация Временные характеристики динамических объектов и систем представляют собой одну из важнейших разновидностей динамиче- ских характеристик. Временная характеристика некоторого объекта - это его динамическая характеристика, представленная во временной области. Временная характеристика скалярного объекта (т. е. объекта с од- ним входом и с одним выходом) представляет собой скалярную функ- цию от времени, являющуюся реакцией этого объекта на входное воз- действие некоторой определенной формы и величины. В более общем случае, для векторного объекта (т. е. объекта с несколькими входами и с несколькими выходами), временная характеристика представляет со- бой уже матричную функцию от времени. Каждый элемент такой мат- ричной функции является скалярной функцией от времени, представ- ляющей собой реакцию объекта по некоторому определенному выходу на входное воздействие заданной формы и величины, подаваемое на некоторый определённый вход. Исследования переходных процессов в lti-объектах во временной области обычно выполняются только для нескольких конкретных ти- пов входных сигналов и возмущений. Чаще всего в качестве таких ти- повых входных сигналов используются: единичное ступенчатое воз- действие (ЕСВ), идеальное импульсное воздействие, гармоническое воздействие. ЕСВ является наиболее распространенным в теории автоматиче- ского управления. Аналитически ЕСВ определяется следующим обра- зом: - 35 - ≥ < = 0 , 1 0 , 0 ) ( 1 t t t Достоинствами ЕСВ являются: простота реализации на практике и простота математического описания. Идеальное импульсное воздействие аналитически определяется по формуле: ≠ = ∞ + = 0 , 0 0 , ) ( t t t δ Идеальное импульсное воздействие нельзя реализовать на прак- тике. Можно лишь реализовать импульс достаточно большой величи- ны и достаточно малой ширины. Однако достоинством его также яв- ляется простота математического описания. Примечательным является также ещё и то, что идеальное им- пульсное воздействие представляет собой производную от ЕСВ. По- этому справедливы следующие равенства: ) ( 1 ) ( t dt d t = δ , 1 ) ( = ∫ dt t δ Реакция объекта на ЕСВ называется переходной характеристи- кой Реакция объекта на идеальное импульсное входное воздействие называется весовой характеристикой ( другое название - импульсная переходная характеристика ). Реакции на гармонические входные воз - действия обычно используются при определении частотных характе - ристик В реальных системах графики ПХ для задающего и возмущающе - го воздействий по внешнему виду существенно различаются На Рис. 4.1 изображены типичные графики ПХ для задающего ( а ) и для возмущающего ( б ) воздействий Здесь графики 1 соответствует апе - риодическому переходному процессу , а графики 2 – колебательному переходному процессу Из графиков видно , что ПХ для задающего входного воздействия в реальных системах должна иметь установившееся значение выход - ной переменной , далёкое от нулевого значения ( 0 ) ( ≠ ∞ u h ). Также из графиков следует , что ПХ для возмущающего входного воздействия в реальных системах должна , напротив , иметь установившееся значение выходной переменной , равное нулю или близкое к нулю ( 0 ) ( = ∞ f h или 0 ) ( ≈ ∞ f h ). - 36 - По виду переходного процесса можно определять такие характе- ристики системы, как максимальное значение переходной характери- стики, установившееся значение переходной характеристики, время переходного процесса, перерегулирование, время первого достижения установившегося значения и пр. ) (t h u ) ( ∞ u h ) (t h f с t, с t, 0 0 0 0 Рис. 4.1. Типичные ПХ для задающего (а) и возмущающего (б) воздей- ствий. |