Э. А. Романовский теория автоматического
 Скачать 0.67 Mb.
|
|
4.1.2. Построение временных характеристик Среда MATLAB (пакет Control System Toolbox) позволяет рассчи- тывать переходные и импульсные переходные характеристики систе- мы (соответственно функции step() и impulse() ), реакции систе- мы на ненулевые начальные условия (функция initial() ), а также реакции системы на произвольные входные воздействия (функция lsim() ). - 37 - Ниже приведены примеры команд, выполняющих построение пе- реходной характеристики (ПХ) и импульсной переходной характери- стики для заранее созданного lti-объекта: » step(W1); % Построение переходной % характеристики » step(W1, 10.0); % То же самое » t = 0: 0.1: 15.0; » step(W1, t); % То же самое » impulse(W1); % Построение весовой % характеристики » impulse(W1, 20.0); % То же самое » t = 0: 0.2: 25.0; » impulse(W1, t); % То же самое В примерах команды step(W1) и impulse(W1) выполняют построение характеристик в автоматическом режиме, когда конечное время и шаг моделирования по времени выбираются самой средой ав- томатически. Иногда в таком режиме результаты получаются неудов- летворительными. В подобных случаях можно пользоваться другими приведёнными в примере способами. Так, способ построения ПХ по команде step(W1, 10.0) позволяет явно задать конечное время моделирования, а способ построения по команде step(W1, t) по- зволяет задать весь диапазон значений времени от начального до ко- нечного с заданным шагом моделирования. В этом случае заранее сле- дует сформировать вектор-строку или вектор-столбец значений време- ни подходящего содержания. В примере показан чрезвычайно удоб- ный и очень распространённый способ формирования в среде MATLAB векторов-строк, хранящих диапазоны значений с заданным шагом. Функция initial() позволяет строить реакции систем на не- нулевые начальные условия для моделей, заданных в пространстве со- стояний. Здесь под начальными условиями понимается начальное зна- чение вектора переменных состояния системы. Примеры использова- ния этой функции для заранее созданного lti-объекта, содержащего 3 переменных состояния: » x0 = [1.0, 1.0, 1.0]; % Начальное значение % вектора состояния - 38 - » initial(W2, x0); % Построение реакции » initial(W2, x0, 10.0); % То же самое » t = 0: 0.1: 15.0; » initial(W2, x0, t); % То же самое Здесь аналогично предыдущему примеру демонстрируется три способа вызова функции initial() Для получения реакции системы на произвольные входные воз- действия применяется функция lsim() . Ниже приведены примеры использования функции lsim() для скалярных lti-объектов W1 и W2 (объект W2 должен быть представлен ss-моделью): » lsim(W1, u, t); % Построение реакции » x0 = [1.0, 1.0, 1.0]; % Начальное значение вектора % состояния » lsim(W2, u, t, x0); % Построение реакции с учётом % начального состояния Здесь переменные t и u задают входной сигнал и представляют собой, соответственно, вектор значений времени и вектор значений входного сигнала в эти моменты времени. Естественно, векторы t и u должны иметь одинаковые размеры. Формировать их можно разными способами. Удобным для новичков способом является использование вспомогательной функции gensig() . Эта функция генерирует раз- личные типы периодических входных сигналов: синусоида, периоди- ческий прямоугольный сигнал, периодическая последовательность ко- ротких импульсов. Примеры вызова функции gensig() : » [u, t] = gensig('sin', 1.0); % Синусоида с периодом % 1 секунда » [u, t] = gensig('square', 2.0); % Прямоугольный сигнал % с периодом % 2 секунды » [u, t] = gensig('pulse', 1.0); % Импульсы с периодом % 1 секунда Дополнительно при вызове функции gensig() можно указывать конечное время формирования сигнала и шаг изменения времени. На- пример: - 39 - » [u, t] = gensig('sin', 2.0, ... % Синусоида с периодом 10.0, 0.01); % 2 секунды , конечное % время – 10 секунд , % шаг моделирования % по времени – % 0.01 секунды Построить полученный в результате график можно при помощи функции plot() : » plot(t, u); Функция plot() имеет довольно широкие возможности по по- строению разнообразных графиков. Подробнее о ней и о других функ- циях построения графиков см., например, в [3, 5]. Сформированные векторы t и u можно непосредственно пере- дать в функцию lsim() для построения реакций. Среда MATLAB в своём составе имеет визуальное средство для исследования lti-объектов, называемое LTI-Viewer. Внешний вид окна визуального средства LTI-Viewer приведён на Рис. 4.2. Рис. 4.2. Внешний вид окна визуального средства LTI-Viewer в среде MATLAB v.5.2. - 40 - Для формирования в среде MATLAB окна средства LTI-Viewer следует в её командном окне ввести команду: » ltiview; Средство LTI-Viewer позволяет строить множество различных ха- рактеристик lti-объектов. В том числе оно позволяет строить основные временные характеристики. На Рис. 4.2 показан пример построения ПХ для некоторого заранее созданного lti-объекта. Из Рис. 4.2 видно, что в окне при построении ПХ можно отобра- зить следующие показатели: максимальное значение переходной ха- рактеристики (максимум переходного процесса – Peak Response), вре- мя переходного процесса (Setting Time), время нарастания переходной характеристики (Rise Time), установившееся значение переходной ха- рактеристики (Steady State). Наведение указателя мыши на соответст- вующие точки на графике при одновременном нажатии левой кнопки мыши позволяет увидеть на экране точные значения соответствующих показателей. По значениям этих показателей можно оценить многие показатели качества переходного процесса. Через меню окна средства LTI-Viewer доступна настройка его ре- жимов работы. Так, например, по умолчанию время переходного про- цесса в окне LTI-Viewer определяется при построении коридора отно- сительно установившегося значения переходной характеристики ши- риной % 2 ± от этого же установившегося значения переходной харак - теристики и оценивается как время , по достижении которого сигнал переходной характеристики перестаёт выходить за пределы построен - ного коридора При необходимости пользователь может выбрать дру - гую ширину коридора , например , % 1 ± или % 5 ± от установившегося значения переходной характеристики Следует отметить , что средство LTI-Viewer корректно определяет время переходного процесса для случая , когда установившееся значе - ние переходной характеристики отлично от нуля Если установившееся значение переходной характеристики ока - зывается равно нулю или близко к нулю , то нет смысла классически рассчитывать время переходного процесса , применяя коридор с шири - ной , заданной в процентах от установившегося значения переходной характеристики ( т к этот коридор окажется бесконечно мал или чрез - вычайно мал ). Поэтому в данном случае средство LTI-Viewer лишь строит коридор заданной в процентах ширины от единичного значе - ния ( от единицы ), причём строит относительно нулевого значения пе - реходной характеристики ( относительно нуля ). Пользователь же в этом случае может оценить время переходного процесса как обычно , - 41 - т. е. как время, по достижении которого сигнал переходной характери- стики перестаёт выходить за пределы построенного коридора. Для этого он также может воспользоваться мышью. 4.2. З АДАНИЯ 1. В таблице Табл. 2.1 по вариантам приведены две исходных ПФ. По ним в предыдущей работе создавались два lti-объекта 1 W и 2 W , представленных в ss-форме. Для объектов 1 W и 2 W выполнить по- строение переходной характеристики и импульсной переходной харак- теристики. 2. Для объектов 1 W и 2 W выполнить построение реакций на не- нулевые начальные условия. Вектор начальных значений переменных состояния в обоих случаях задать состоящим из единиц. 3. Для объектов 1 W и 2 W выполнить построение реакций на сле- дующие периодические сигналы: синусоидальный входной сигнал, периодический прямоугольный входной сигнал, периодическую по- следовательность коротких входных импульсов. При этом период ука- занных сигналов принять примерно в 10 раз больше времени переход- ного процесса. Вектор начальных значений переменных состояния во всех случаях считать состоящим из нулей (нулевые начальные усло- вия). 4. Для объектов 1 W и 2 W с помощью визуального средства LTI- Viewer определить следующие показатели переходных характеристик: максимальное значение переходной характеристики, установившееся значение переходной характеристики, время переходного процесса (при ширине коридора, равной % 2 ± ). 4.3. К ОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 1. Что такое временная характеристика ? 2. Какие бывают типовые входные воздействия ? 3. Переходная характеристика и импульсная переходная характе - ристика 4. Как различаются в реальных системах по внешнему виду гра - фики ПХ для задающего и возмущающего воздействий ? 5. Как построить в среде MATLAB переходную характеристику и импульсную переходную характеристику ? 6. Как построить в среде MATLAB реакцию системы на ненуле - вые начальные условия ? 7. Как строить в среде MATLAB реакции системы на произволь - ные входные воздействия - 42 - 8. Основные возможности визуального средства LTI-Viewer. 9. Какие показатели можно отображать при построении ПХ в ви- зуальном средстве LTI-Viewer? - 43 - Работа №5. О ПРЕДЕЛЕНИЕ ЧАСТОТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ЛИНЕЙНЫХ НЕПРЕРЫВНЫХ СИСТЕМ Цель лабораторной работы: получить навыки построения в ко- мандном окне среды компьютерного моделирования MATLAB раз- личных частотных характеристик динамических систем автоматиче- ского управления. 5.1. О БЩИЕ СВЕДЕНИЯ О ЧАСТОТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИКАХ 5.1.1. Вводная информация Помимо временных характеристик другой важной разновидно- стью динамических характеристик являются частотные характеристи- ки (ЧХ). Частотные характеристики – это динамические характеристи- ки, определяющие динамические свойства объекта или системы в час- тотной области. В настоящей работе рассматриваются следующие основные ЧХ: 1. Вещественная частотная характеристика (ВЧХ). 2. Мнимая частотная характеристика (МЧХ). 3. Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ). 4. Фазо-частотная характеристика (ФЧХ). 5. Амплитудно-фазо-частотная характеристика (АФЧХ). 6. Логарифмическая АФЧХ (ЛАФЧХ). Пусть ) ( p W - ПФ некоторой динамической системы Из теории функций комплексного переменного известно , что опе - ратор p является независимой комплексной переменной и может быть представлен в виде : ω j p = Здесь ω является независимой вещест - венной переменной , называемой в технике угловой частотой Иногда её называют просто частотой , но при этом следует помнить , что еди - ницей измерения для неё является с рад ПФ системы , в которой произведена замена оператора p на ω j , называется частотной передаточной функцией ( ЧПФ ) этой системы В результате упомянутой замены переменных получится ЧПФ динамической системы ) ( ω j W Её можно представить в алгебраиче - ской и показательной формах в следующем виде : (5.1) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ω ϕ ω ω ω ω j e A jQ P j W = + = - 44 - Здесь ) ( ω P – ВЧХ системы , ) ( ω Q – МЧХ системы , ) ( ω A – АЧХ системы и ) ( ω ϕ – ФЧХ системы Таким образом : вещественная частотная характеристика – это вещественная часть ЧПФ динамической системы , а мнимая частот- ная характеристика – это мнимая часть ЧПФ динамической системы : )) ( Re( ) ( ω ω j W P = , )) ( Im( ) ( ω ω j W Q = ВЧХ и МЧХ в совокупности образуют математическую систему уравнений , которая полностью определяет динамические свойства системы : (5.2) = = ) ( ) ( ω ω Q Q P P Из (5.1) также видно, что АЧХ – это модуль ЧПФ динамической системы, а ФЧХ – аргумент ЧПФ динамической системы: 0 ) ( ) ( ≥ = ω ω j W A , )) ( arg( ) ( ω ω ϕ j W = АЧХ и ФЧХ в совокупности также образуют математическую систему уравнений, которая также полностью определяет динамиче- ские свойства системы управления: (5.3) = = ) ( ) ( ω ϕ ϕ ω A A Формулы перехода от (5.2) к (5.3) и обратно имеют вид: = + = ) ( ) ( arctg ) ( ) ( ) ( ) ( 2 2 ω ω ω ϕ ω ω ω P Q Q P A ; = = ) ( sin ) ( ) ( ) ( cos ) ( ) ( ω ϕ ω ω ω ϕ ω ω A Q A P Существуют также и другие определения АЧХ и ФЧХ , содержа - щие в себе явно выраженный физический смысл этих характеристик Амплитудно - частотная характеристика – это отношение ам - плитуды гармонического сигнала на выходе системы к амплитуде гар - монического сигнала на входе системы , представленных в виде функ - ций от частоты этих сигналов : ) ( ) ( ) ( ω ω ω u y A A A = Фазо - частотная характеристика – есть разность фазовых сдви - гов гармонических сигналов на выходе и входе системы , представлен - - 45 - ных в виде функций от частоты этих сигналов: ) ( ) ( ) ( ω ϕ ω ϕ ω ϕ u y − = Амплитудно-фазо-частотная характеристика ( другое название – частотный годограф Найквиста ) – это годограф ЧПФ динамиче - ской системы на комплексной плоскости , где по оси абсцисс отклады - вается ВЧХ системы , а по оси ординат – МЧХ системы , умноженная на мнимую единицу АФЧХ также полностью определяет динамические свойства сис - темы Логарифмическая амплитудно-фазо-частотная характеристика ( другое название – диаграмма Боде ) представляет собой совокупность из двух определённым образом построенных на плоскости графиков : логарифмической амплитудно - частотной характеристики ( ЛАЧХ ) и логарифмической фазо - частотной характеристики ( ЛФЧХ ). Для построения ЛАЧХ и ЛФЧХ в качестве оси абсцисс использу - ется логарифмическая ось частот ω lg , на которой откладываются фактические значения частот ω Т к −∞ = 0 lg , то значение с рад 0 = ω на этой оси находится в ∞ − Декадой на этой оси частот называется интервал между двумя со - седними частотами 1 ω и 2 ω , для которых справедливо равенство : 10 1 2 = ω ω ЛАЧХ определяется по формуле ) ( lg 20 ) ( ω ω A L = , измеряется в децибелах ( дБ ) и строится относительно логарифмической оси час - тот ЛФЧХ представляет собой обычную ФЧХ , но построенную также относительно логарифмической оси частот Математически ЛАФЧХ представляет собой систему уравнений , которая также полностью определяет динамические свойства системы управления : = = ) ( ) ( ω ϕ ϕ ω L L Существует одна важная особенность ЧХ. Для всех ЧХ линейных динамических систем, кроме ЛАФЧХ, частота ω может принимать значения из диапазона ) , ( ∞ + −∞ . При этом в диапазоне частот ] 0 , ( −∞ любая из этих ЧХ представляет собой зависимость, в определённом - 46 - смысле симметричную по отношению к зависимости ЧХ в диапазоне частот ) , 0 [ ∞ + , т е являющуюся её зеркальным отражением 5.1.2. Построение частотных характеристик В современной технической практике , как правило , нет необхо - димости выполнять построение ВЧХ , МЧХ АЧХ и ФЧХ динамических объектов и систем на плоскости , где ось частот изображается в линей - ном масштабе Смысл в построении таких характеристик обычно воз - никает в случае , когда ось частот изображается в логарифмическом масштабе Но в этом случае АЧХ и ФЧХ превращаются в ЛАЧХ и ЛФЧХ ( получается ЛАФЧХ ), а ВЧХ и МЧХ в совокупности могут рас - сматриваться как АФЧХ По указанной причине в среде MATLAB отсутствуют специаль - ные функции для построения ВЧХ , МЧХ АЧХ и ФЧХ в обычном смысле , т е в виде графиков , в которых ось частот изображается в ли - нейном масштабе Вместо этого среда MATLAB содержит средства для построения АФЧХ , ЛАФЧХ , а также некоторых других ЧХ , имеющих более специфичное применение и поэтому здесь не рас - сматриваемых Тем не менее , возможность построить в компьютерной среде MATLAB графики ВЧХ , МЧХ АЧХ и ФЧХ в обычном смысле , естест - венно , имеется Это можно сделать разными способами Пожалуй , простейшим способом будет применение функции freqresp() Ни - же приведён пример её вызова для заранее созданного скалярного lti- объекта W1 » H = freqresp(W1, w); В примере функция принимает в качестве своих аргументов по - мимо самого lti- объекта переменную w , представляющую собой век - тор - строку или вектор - столбец , содержащий набор значений угловой частоты , для которых нужно вычислить значения ЧПФ , соответст - вующей lti- объекту W1 Сам вектор угловых частот заранее создать очень просто Ниже приведён пример создания такого вектора » w = -1000.0: 1.0: 1000.0; Вычисленные значения ЧПФ сохраняются в трёхмерном массиве H Трёхмерным он является в связи с тем , что функция freqresp() может использоваться не только со скалярными lti- объектами , но так - - 47 - же и с векторными lti-объектами, для которых сама ЧПФ является матричной функцией. В настоящей работе не рассматриваются векторные динамиче- ские системы. Поэтому здесь после вычисления многомерного масси- ва H достаточно просто изъять из него вектор вычисленных числовых значений ЧПФ, соответствующих заданному вектору числовых значе- ний угловой частоты. Сделать это можно следующей командой: » HH = H(:); Суть данной команды здесь не разъясняется, т. к. это требует разъяснения принципов работы в среде MATLAB с многомерными массивами, что выходит за рамки рассматриваемых в практикуме во- просов. Вектор HH содержит комплексные числа, представляющие собой точки годографа АФЧХ для вектора частот w . Выделить из него вектор значений ВЧХ и вектор значений МЧХ очень просто: » Re = real(HH); % Вектор значений ВЧХ » Im = imag(HH); % Вектор значений МЧХ Далее можно вычислить вектор значений АЧХ и вектор значений ФЧХ: » A = sqrt(Re.^2 + Im.^2); % Вектор значений АЧХ » Phi = atan(Im./Re); % Вектор значений ФЧХ Здесь применяются операции языка MATLAB « .^ » и « ./ ». Опе- рация « .^ » используется для выполнения поэлементного возведения в степень числа 2 векторов Re и Im (т. е. каждый элемент вектора Re и каждый элемент вектора Im возводится в квадрат), а операция « ./ » используется для поэлементного деления вектора Im на вектор Re (т. е. в результате выполнения данной операции формируется вектор, каждый элемент которого представляет собой отношение соответст- вующих элементов вектора Im и вектора Re ). Построить графики ВЧХ, МЧХ, АЧХ и ФЧХ можно при помощи вызова функции plot() . Например, приведённая ниже команда вы- полняет построение графика ВЧХ для скалярного lti-объекта W1 » plot(w, Re); % Построение графика ВЧХ Для построения АФЧХ и ЛАФЧХ используются, соответственно, функции nyquist() и bode() . Ниже приведены примеры вызова |