Геометрия. 16 Гордин. Ежедневно, 10. 0020. 00, кроме воскресеньяабрис рф Москва 8 (495) 2296759СанктПетербург 8 (812) 3270450

• Название: Ежедневно, 10. 0020. 00, кроме воскресеньяабрис рф Москва 8 (495) 2296759СанктПетербург 8 (812) 3270450
• Анкор: Геометрия
• Дата: 29.09.2021
• Размер: 1.76 Mb.
• Имя файла: 16 Гордин.pdf
• Тип: Задача; #238675
• страница: 21 из 21

§ . Пересекающиеся окружности
Пîäãîòîâèòåëüíûå çàäà÷è
.. 24. ..
a
p
2
p
3 + 1
,
2a
p
3 + или 1
,
2a
p
3
− 1
.. 2
p
3. .. a.
..
a + или − Т çàäà÷è
..
384 25
..
3
p
5 5
..
6
p
5
..
n
− m
2m
..
a cos α.
..
| ctg α|
p
a
2
+
b
2
− 2ab cos α. ..
5 +
p
15 З íà äîêàçàòåëüñòâî è âû÷èñëåíèå
... 90
◦
. ... 30
◦
. ... 15. ...
p
35. ... 2. ... 4
p
2.
... 2
p
85. ... 2
p
281. ... 4,8. ... 14 и 12. ... 2
−
p
3.
... 3 : 5. ... 9,6. ... 22,4. ... 4
p
97. ... 40.
... 62,5. ... 4.
§ . Окружности, связанные с треугольником и четырёхугольником
Пîäãîòîâèòåëüíûå çàäà÷è
.. 4. .. или 150
◦
.. R
2
tg α. ..
a + b
− c
2
..
5 2
, 1, 6, 3, 2.
..
169 24
,
10 3
,
15 2
, 12, 12. ..
65 8
, 4,
21 2
, 12, 14. ..
b
− a
2
..
Ç
a
2
+
b
2 2
..
85 8

Ответы и указания

Тðåíèðîâî÷íûå Вне 5
..
arctg
3 4
,
arcctg
3 4
..
2R
p
2. ..
p
3.
..
p
3, или. или cos
α
2
..
a
2
p
4a
2
− b
2
..
2
q
34 15
..
br
c
..
36
◦
,
36
◦
,
108
◦
.. tg
ϕ
2
sin 2ϕ. ..
1 2
(p
− a)
2
tg
α
2
. ..
1 2
p(p
− a) tg
α
2
. .. 13 и 15.
.. 5. .. 16. .. 4
p
3. .. 1. .. 2. .. b + p. ..
4R
3
S
.. 9 : 14. .. 2. .. 30
◦
, 90
◦
. .. ctg
2
α. ..
9
p
3 4
. ..
8 5
R
2
..
p
3. .. З íà äîêàçàòåëüñòâî è âû÷èñëåíèå
... 30. ... 25. ...
575 14
...
13 8
...
7π
3
... 21.
... 7. ... 4. ... 4. ... 24. ... 40. ...
p
5.
...
55 7
... 20. ... 26. ... 10. ... 18. ...
p
10.
... 2,4. ... 40. ... 1 : 4. ... 2. ... 1 : 3, считая от B.
... 1 : 9, считая от B.
§ . Пропорциональные отрезки в окружности
Пîäãîòîâèòåëüíûå çàäà÷è
.. 2
p
ab. ..
ac + bd
a
. .. 1. .. 12 или 3
p
2. .. 0,2. ..
|R
2
− d
2
|.
..
2a
p
5
..
2ar
p
r
2
+
a
2
..
p
2a(a + b) или p
2b(a + b). .. Т çàäà÷è
..
17 4
..
a
2 sin α
p sin
2
β + 8 sin
2
α − sin β

..
p
5 6
..
p
2.
..
3 2
(
p
5
± 1). ..
p
5
± 1. .. 210. ..
q
a
2
+
b
2
+
2ab sin
α
2 2 cos
α
2
..
p
10. ..
11 10
..
5 3
..
16 5
..
8 5
..
2.
..
p
17
− 1 2
. .. 40. ..
a + b
− 2
p
ab cos α
2 sin α
. .. 1. .. 2(5
± 2
p
3).
..
p
ab.
.. 5 : 10 : 13. ..
p
rR,
q
r
R
.
∗
. 8k
− 1. З íà äîêàçàòåëüñòâî è âû÷èñëåíèå
... 2. ... arctg 2, arcctg 2. ... 5. ... 11. ... 4,5.
... 6. ...
R
p
7 2
...
7R
2
p
2 9
... 9 : 4. ... 9 : 7.

Ответы и указания. 12
p
5. ... 4 : 5. ... 5. ... 8. ...
ab
a
− b
. ... 12.
... 117
p
3. ... 33
p
3. ... 40, 68, 75, 51. ... 16.
§ . Углы, связанные с окружностью. Метод вспомогательной
окружности
Пîäãîòîâèòåëüíûå çàäà÷è
.. и 250
◦
.. ∠MAB = ∠NAC = или ∠MAB = ∠NAC = 140
◦
.. или 55
◦
.. 40
◦
, 80
◦
, или 60
◦
, 20
◦
, 100
◦
.. 96
◦
, 132
◦
,
84
◦
, 48
◦
. .. 3. .. 25
◦
. ..
a
2
| cos β|
. .. 50
◦
. .. 25
◦
. .. 81
◦
..
p
2. ..
β + γ − Т çàäà÷è
..
a cos
β −α
2
sin(β + α)
.. ∠BAC = 110
◦
, ∠BCA = 30
◦
, ∠DCA = 60
◦
, ∠DAC = 80
◦
.. 80
◦
.. 30
◦
, 40
◦
, 110
◦
.. arcsin
a
b
..
5 27
π.
..
a
2
.. 1; 1;
p
3; 120
◦
; 30
◦
; 30
◦
.. 90
◦
+
α, если α ¶ 45
◦
; 90
◦
− α, если. Указание. Точка M лежит на окружности с центром проходящей через точки A и C.
..
185 8
. Указание. Точка Q лежит на окружности с центром P, проходящей через точки M и N.
.. Указание. Указание. Из центров и окружностей, вписанных в треугольники ABD и ACD, отрезок виден под одними тем же углом. Центр окружности, проходящей через точки O
1
, O
2
, A и D, лежит на описанной окружности четырёхугольника
ABCD. .
∗
. ∠ A=60
◦
, ∠B=15
◦
, ∠C или ∠ A=60
◦
, ∠B=105
◦
, ∠C Указан и е.
Рассмотрите два случая угол B тупой или острый. Точки, N и середины сторон AB и AC лежат на одной окружности. Указан и е.
Пусть D — точка касания полуокружности со стороной Из точек D и O отрезок QM виден под одними тем же углом, MQ — высота треугольника MON, PQ =
1 З íà äîêàçàòåëüñòâî è âû÷èñëåíèå
... 48. ... 45. ... 6. ... 24. ... 216. ... 18
p
3.
... 4. ...
3
p
3 4
... 24. ... 20. ... 8. ... 8.
... 24
p
3. ... 4. ... arctg 3, arctg
1 3
. ... 5
p
2. ... 16.
... 12.

Ответы и указания . Вспомогательные подобные треугольники
Пîäãîòîâèòåëüíûå çàäà÷è
.. 4, 8, 12, 16. .. 10. ..
3a + 2b
5
..
4a
− b
5
..
24 7
.. 12.
..
1 2
.. 1 и 3. .. 4, 6, 4, Т çàäà÷è
..
1 и 2. .. 35. .. 1 : 1. ..
2ab
a + b
..
4r
p
rR
R + r
..
Ç
3a
2
+
2b
2 или 5
.. 2. .. 5, 20,
25 2
,
25 2
.. 2.
..
2
p
3 3
..
p
ab.
..
a
p
3 2
..
mc
n
..
p
a(a + b).
.. p
pq.
..
ap
c
.. 2. ..
p
2. ..
R
2
a
.. p
pq.
..
p
a(a
− Указан и е.
Треугольники AEF и EDF подобны. Указание. Пусть AK и DL — высоты треугольников ABN и. С помощью метода вспомогательной окружности докажите подобие этих треугольников Указан и е.
Точка M — середина высоты Указание биссектриса угла треугольники ABM и BDM подобны. Указание. Пусть точки, L, M и N — основания перпендикуляров, опущенных из вершины A на прямые BC, DC, DE и BE соответственно. Треугольники AKL и ANM подобны.
Зàäà÷è íà äîêàçàòåëüñòâî è âû÷èñëåíèå
...
4. ... 12. ... 40. ... 24. ... 45
◦
,
45
◦
... 30
◦
, 60
◦
...
aR
m
... 7. ... 60
◦
... 30
◦
... 1 : 3. ... 2 : 3. ... 12. ... 4. ... 3. ... 9 и. ... 1 : 3. ... 1 : 2. ...
p
13. ...
p
5.
§ . Некоторые свойства высот и точки их пересечения
Пîäãîòîâèòåëüíûå çàäà÷è
.. 1. .. S cos
2
α.
.. 60
◦
, 40
◦
, 80
◦
.. 30
◦
..
c(a
2
+
b
2
− c
2
)
4ab
..
1 2
p
a
2
+
c
2
+
ac.
..
p
a
2
+
b
2
± 2abk. .. Т çàäà÷è
..
p
6 3
.. 8
p
3 или 24. .. или 120
◦
.. или 135
◦
..
25
p
39
.. 45
◦
, 75
◦
, 60
◦
.. 30
◦
..
24 5
. .. 13. Указание. Продлите высоты треугольника до пересечения с описанной окружностью. Получится треугольник, подобный данному с коэффициентом 2.

Ответы и указания. 340. ..
5a
8
. Указание. Пусть H — точка пересечения высот треугольника ABC. Тогда M — середина HP, N — середина HQ, а треугольник подобен треугольнику BAC с коэффициентом cos ∠B. ..
1 2
a
2
ctg Указание Указан и е.
Пусть F — точка пересечения высот, O — центр описанной окружности треугольника ABC,
N
1
— точка пересечения с этой окружностью продолжения биссектрисы Тогда AF = 2OM, N — середина AN
1
, а треугольник ONN
1
прямоугольный.
Зàäà÷è íà äîêàçàòåëüñòâî è âû÷èñëåíèå
... 4
p
2, 2. ... 10. ... 3,5. ... 6. ... 30
◦
. ...
2 5
... 2. ... 8. ... 2 : 1, считая от точки B
1
. ... 3 : 5, считая от точки B
1
... 510. ... 1365. ... 4
p
3. ... Диагностическая работа 
.
1 или 2
.
240 17
. 58
◦
. 1180. . 3. .
24 5
; 3; 4; 3; Диагностическая работа 
. 2
p
97, 48. . 2R. . 0,3. . 2
p
3. .
36 5
. Диагностическая работа 
. 2
p
5, 4
p
5. . 2(r ctg
α
2
+
2R sin α). . 8, 6 или 4, 12. .
p
a(a + b),
p
b(a + b).
. 4. .
(a + b)
2 Диагностическая работа 
. 15. . 2(
p
2
± 1). .
6 5
.
p
97 или p
57. . 4. . 1 +Диагностическая работа 
. 6. . 96. .
2rR
p
rR
r + R
.
2 3
.
1 или 11
.
1 Диагностическая работа 
. 1 или 4. .
a
2
. 2. .
20
p
5 3
. 6 или 4. . R.

Ответы и указания

Диагностическая работа 
. 4. . 4 : 7. .
1
p
10
. 45. .
7
p
57 24
. Диагностическая работа 
.
p
33. . 1 : 1. . 8
p
5. . 78. . 3. .
p
5
− 1 4
> Диагностическая работа 
. 5
q
2 3
. 1 : 8. .
2 9
.
7 8
.
3 5
. Диагностическая работа 
.
2 9
.
4
p
7 7
.
1 4
. 30. . 12,5. . Диагностическая работа 
. 1 : 3. . 6,4. . 3
p
73. . 4. . 3
−
p
5. Диагностическая работа 
. 5 : 4. .
57 16
. 11,25. . 1 : 2. .
p
13. . 67,5.

Содержание
Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Диагностическая работа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

§ . Медиана прямоугольного треугольника . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

§ . Удвоение медианы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

§ . Параллелограмм. Средняя линия треугольника . . . . . . . . . . . . . .

§ . Трапеция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

§ . Как находить высоты и биссектрисы треугольника . . . . . . . . . . .

§ . Отношение отрезков . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

§ . Отношение площадей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

§ . Касательная к окружности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

§ . Касающиеся окружности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

§ . Пересекающиеся окружности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

§ . Окружности, связанные с треугольником и четырёхугольником . . . 
§ . Пропорциональные отрезки в окружности . . . . . . . . . . . . . . . .

§ . Углы, связанные с окружностью. Метод вспомогательной окружности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

§ . Вспомогательные подобные треугольники . . . . . . . . . . . . . . . .

§ . Некоторые свойства высот и точки их пересечения . . . . . . . . . . Диагностическая работа  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Диагностическая работа  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Диагностическая работа  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Диагностическая работа  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Диагностическая работа  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Диагностическая работа  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Диагностическая работа  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Диагностическая работа  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Диагностическая работа  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Диагностическая работа  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Диагностическая работа  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Диагностическая работа  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Приложение . Избранные задачи тренировочных и экзаменационных работ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Приложение . Список полезных фактов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ответы и указания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

Учебно-методическое пособие
Рафаил Калманович Гордин
ЕГЭ 2019. МГ. Пëàíèìåòðèÿ.
Зàäà÷à 16 (ïðîôèëüíûé Под редакцией ИВ. Ященко
Подписано в печать .. г. Формат 60
× 90

/

. Бумага офсетная.
Печать офсетная. Печ. л. . Тираж  экз. Заказ Издательство Московского центра непрерывного математического образования, Москва, Большой Власьевский пер, д. 11. Тел. () Отпечатано с электронных носителей издательства.
ОАО Тверской полиграфический комбинат, г. Тверь, пр-т Ленина, Телефон () --, --. Телефон/факс: () --.
Home page: www.tverpk.ru Email: Книги издательства МЦНМО можно приобрести в магазине Математическая книга»,
Большой Власьевский пер, д. 11. Тел. () ––. E-mail: [e-mail]