Геометрия. 16 Гордин. Ежедневно, 10. 0020. 00, кроме воскресеньяабрис рф Москва 8 (495) 2296759СанктПетербург 8 (812) 3270450
 Скачать 1.76 Mb.
|
|
§ . Удвоение медианы Решение задачи из диагностической работы. В треугольнике ABC проведена медиана BM. Известно, что sin ∠ABM sin ∠CBM = 1 2 . Найдите отношение BC AB Ответ: 1 Решение. На продолжении медианы заточку отложим отрезок MD, равный. Диагонали AC и BD четырёхуголь- ника ABCD делятся точкой пересечения пополам, значит, ABCD — параллелограмм. Поэтому AD = и ADB = По теореме синусов из треугольника находим, что ∠ABD sin ∠ADB = sin ∠ABM sin ∠CBM = 1 Следовательно 2 Ã * * Во многих случаях для решения задачи удобно применить такое дополнительное построение, мы будем называть его удвоением меди- аны. На продолжении медианы AM треугольника ABC заточку отложим отрезок MD, равный AM. Тогда диагонали AD и BC четы- рёхугольника ABDC точкой пересечения M делятся пополам, значит — параллелограмм. Далее применяем свойства параллело- грамма. Пример . Найдите площадь треугольника, если две его стороны равны 1 и p 15, а медиана, проведённая к третьей, равна Ответ Решение. Пусть AM — медиана треугольника ABC, AM = 2, AB = p 15, AC = 1. На продолжении медианы AM заточку отложим отрезок MD, равный AM. Тогда ABDC — параллелограмм, поэтому = AC = 1. § . Удвоение медианы Треугольник ABD прямоугольный, так как AD 2 = AB 2 + BD 2 . Следовательно Пример . Стороны треугольника равны a, b, c. Докажите, что медиана, проведённая к стороне c, равна 2 p 2a 2 + 2b 2 − Доказательство. Пусть AB = c, BC = a, AC = b — стороны треугольника ABC; CM = m — медиана треугольника. На продолжении медианы CM заточку отложим отрезок равный CM. Тогда ACBD — параллелограмм. Поэтому CD 2 + AB 2 = 2(AC 2 + BC 2 ), или 4m 2 + c 2 = 2(a 2 + b 2 ). Отсюда находим, что 4 (2a 2 + 2b 2 − c 2 ). Решение задачи из диагностической работы Пример . Площадь треугольника ABC равна S. Найдите площадь треугольника, стороны которого равны медианам треугольника Ответ Решение. Пусть M — точка пересечения медиан треугольника, A 1 , B 1 , C 1 — середины сторон BC, AC и AB соответственно, S площадь треугольника ABC, S ′ — площадь треугольника, составленного из медиан треугольника На продолжении медианы треугольника BMC заточку отложим отрезок A 1 D, равный MA 1 . Медианы треугольника делятся их точкой пересечения в отношении 2 : 1, считая от вершины, поэтому MD = 2A 1 M = AM = 2 3 AA 1 . Четырёхугольник MBDC — параллелограмм, поэтому CD = BM = 2 3 BB 1 . Кроме того, CM = 2 Таким образом, треугольник, составленный из медиан треугольника, подобен треугольнику MDC, причём коэффициент подобия равен 2 , значит, S ′ = 9 Известно, что медианы разбивают треугольник на шесть равновеликих треугольников, поэтому а Следовательно 4 S ∆ MDC = 9 4 · 1 3 S = 3 4 S. Ã § . Удвоение медианы Пример . Диагонали трапеции равны 3 и 5, а отрезок, соединяющий середины оснований, равен 2. Найдите площадь трапеции. Ответ: Решение. Пусть M и K — середины оснований BC и AD трапеции. Через вершину C меньшего основания проведём прямую, параллельную диагонали BD, до пересечения с прямой AD в точке P и прямую, параллельную MK, до пересечения с прямой AD в точке Q. Тогда = AK + KQ = AK + MC = 1 2 AD + 1 2 BC = = 1 2 (AD + BC) = 1 2 (AD + DP) = 1 2 AP, A B C D F M K Q P 2 2 3 поэтому CQ — медиана треугольника ACP. Теперь известно, что = MK = 2, AC = 3, CP = BD = На продолжении медианы CQ заточку отложим отрезок QF, равный. Стороны треугольника CFP равны = 2CQ = 4, CP = BD = 5, FP = AC = Этот треугольник прямоугольный (CP 2 = CF 2 + PF 2 ), поэтому 2 · CF · PF = 6. Следовательно, S ABCD = S ∆ ACP = S ∆ CFP = 6. (Кстати, отрезок MK проходит через точку пересечения диагоналей трапеции, но это нам не понадобилось Подготовительные задачи Подготовительные задачи. Медиана AM треугольника ABC равна m и образует со сторонами и AC углы α и β соответственно. Найдите эти стороны. В треугольнике ABC известно, что BD — медиана, BD= AB · p 3 а ∠DBC = 90 ◦ . Найдите угол ABD. .. Найдите площадь треугольника, если две его стороны равны и 29, а медиана, проведённая к третьей, равна 26. .. Стороны треугольника равны 11, 13 и 12. Найдите медиану, проведённую к большей стороне. В треугольнике две стороны равны 11 и 23, а медиана, прове- дённая к третьей, равна 10. Найдите третью сторону. В равнобедренном треугольнике с боковой стороной, равной, проведена медиана к боковой стороне. Найдите основание треугольника, если медиана равна 3. .. Основание равнобедренного треугольника равно 4 p 2, а медиана, проведённая к боковой стороне, равна 5. Найдите боковые стороны. В треугольнике ABC известны стороны AB = 2 и AC = 4 и медиана. Найдите угол BAC. .. В треугольнике ABC отрезок AD — медиана, AD = m, AB = a, AC = b. Найдите угол Тренировочные задачи. Две стороны треугольника равны 10 и 12, а медиана, прове- дённая к третьей, равна 5. Найдите площадь треугольника. Найдите площадь треугольника, медианы которого равны 3, 4 и 5. .. Найдите площадь треугольника, медианы которого равны 10, 10 и 16. .. Найдите площадь треугольника, медианы которого равны 12, 15 и 21. .. Медиана AD и высота CE равнобедренного треугольника ABC (AB = BC) пересекаются в точке P. Найдите площадь треугольника, если CP = 5, PE = 2. .. Медиана AM и биссектриса CD прямоугольного треугольника) пересекаются в точке O. Найдите площадь треугольника, если CO = 9, OD = 5. § . Удвоение медианы. Внутри прямоугольного треугольника ABC с прямым углом при вершине C отмечена точка O, причём OA = OB = b. Известно также, что CD — высота треугольника ABC, точка E — середина отрезка. Найдите Задачи на доказательство и вычисление. Медиана AM треугольника ABC продолжена заточку на расстояние MD = а) Докажите, чтоб) Найдите площадь треугольника ABC, если AB = 10, AC = 12, AM = 5. ... Медиана CK треугольника ABC продолжена заточку на расстояние KM = а) Докажите, чтоб) Найдите площадь треугольника ABC, если AC = 10, BC = 24, CK = 13. ... В треугольнике ABC высота BD равна 6, медиана CE равна, расстояние от точки пересечения отрезков BD и CE до стороны равно а) Докажите, чтоб) Найдите площадь треугольника AEC. ... В треугольнике ABC высота AH равна 30, медиана BM равна, расстояние от точки пересечения отрезков BM и AH до стороны равно а) Докажите, чтоб) Найдите площадь треугольника AMB. ... Дан треугольник ABC со сторонами AB = 3, AC = p 73 и медианой а) Докажите, что медиана AM перпендикулярна стороне б) Найдите высоту треугольника ABC, проведённую из вершины. Дан треугольник ABC со сторонами AB = 14, BC = 8 и медианой а) Докажите, что треугольник ABC равнобедренный. б) Найдите высоту треугольника ABC, проведённую из вершины B. ... На сторонах AC и BC треугольника ABC вне треугольника построены квадраты ACDE и BFKC. Точка M — середина стороны а) Докажите, что CM = 1 2 DK. Задачи на доказательство и вычисление б) Найдите расстояния от точки M до центров квадратов, если = 6, BC = 10 и ∠ACB = 30 ◦ ... На сторонах AC и BC треугольника ABC вне треугольника построены квадраты ACDE и BFKC. Точка L — середина отрезка а) Докажите, чтоб) Найдите расстояние между центрами квадратов, если AC = 2 p 2, BC = 3 p 6 и ∠ACB = 60 ◦ ... В трапеции ABCD основания BC и AD относятся как 1 : Пусть K — середина диагонали AC. Прямая DK пересекает сторону в точке а) Докажите, чтоб) Найдите площадь четырёхугольника BCKL, если площадь трапеции равна 9. ... В трапеции ABCD основания BC и AD относятся как 1 : Пусть M — середина боковой стороны CD. Прямая AM пересекает диагональ BD в точке а) Докажите, чтоб) Найдите площадь четырёхугольника BCMP, если площадь трапеции равна 56. ... Медианы AA 1 , и треугольника ABC пересекаются в точке M. Известно, что AC = а) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный. б) Найдите сумму квадратов медиан и CC 1 , если AC = 30. ... Медианы AA 1 , и треугольника ABC пересекаются в точке M. Известно, что AC = а) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный. б) Найдите сумму квадратов медиан и CC 1 , если AC = 12. ... Медиана AM и высота CH равнобедренного треугольника (AB = BC) пересекаются в точке K. Известно, что CK = 5, KH = а) Докажите, чтоб) Найдите площадь треугольника ABC. ... Медиана GA и высота HB остроугольного равнобедренного треугольника FGH (FG = FH) пересекаются в точке C. Известно, что = 20, CH = а) Докажите, чтоб) Найдите площадь треугольника FGH. § . Удвоение медианы. В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD перпен- дикулярны. а) Докажите, чтоб) Найдите стороны треугольника ABC, если BE = AD = 8. ... В треугольнике ABC сторона AB вдвое больше стороны а) Докажите, что медиана CM перпендикулярна биссектрисе б) Найдите сторону BC, если AC = 5, AK = 4. § . Параллелограмм. Средняя линия треугольника Решение задачи из диагностической работы. В выпуклом четырёхугольнике ABCD отрезки, соединяющие середины противоположных сторон, пересекаются под углом 60 ◦ , а их длины относятся как 1 : 3. Чему равна меньшая диагональ четырёх- угольника ABCD, если большая равна p 39? Ответ: p 21. Р е ш е ни е. Середины сторон любого четырёхугольника являются вершинами параллелограмма, стороны которого параллельны диагоналям четырёхугольника и соответственно равны их половинам. Обозначим через x и 3x половины диагоналей параллелограмма. Поскольку угол между ними равен 60 ◦ , то по теореме косинусов квадраты сторон параллелограмма равны Поскольку большая диагональ четырёхугольника равна p 39, большая сторона параллелограмма равна p 39 2 , те, откуда = p 3 2 . Тогда меньшая сторона параллелограмма равна x p 7 = p 21 Следовательно, меньшая диагональ данного четырёхугольника равна Для решения задач этого раздела нужно знать свойства и признаки параллелограмма, теорему о средней линии треугольника, теорему о медианах треугольника (медианы треугольника пересекаются водной точке и делятся ею в отношении 2 : 1, считая от вершины треугольника, а также следующие важные факты. Теорема. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон § . Параллелограмм. Средняя линия треугольника Д ока за тел ь ст во. Пусть AC и BD — диагонали параллелограмма. По теореме косинусов из треугольников ABD и находим, что 2AB · AD cos ∠BAD, AC 2 = AD 2 + CD 2 − 2AD · CD cos ∠ADC = = AD 2 + CD 2 − 2AD · CD cos(180 ◦ − ∠BAD) = = AD 2 + CD 2 + 2AD · CD cos Следовательно AB 2 + 2 · Теорема доказана. Теорема. Середины сторон любого четырёхугольника являются вершинами параллелограмма. Д ока за тел ь ст в о. Пусть M, N, K, L — середины сторон соответственно AB, BC, CD, AD четырёхугольника ABCD. Поскольку — средняя линия треугольника ABC, то MN = 1 2 AC и MN k Аналогично докажем, что KL = 1 2 AC и KL k AC. Значит, MN = KL и KL. Следовательно, четырёхугольник MNKL — параллелограмм. Теорема доказана. Пример . В выпуклом четырёхугольнике отрезки, соединяющие середины противоположных сторон, равны соответственно a и b и пересекаются под углом 60 ◦ . Найдите диагонали четырёхугольника. Ответ: p a 2 + b 2 + ab, p a 2 + b 2 − Решение. Середины сторон любого четырёхугольника являются вершинами параллелограмма. В данном случае диагонали параллелограмма равны a и b, а угол между ними равен 60 ◦ Решение задачи из диагностической работы 60 ◦ Стороны параллелограмма найдём по теореме косинусов 2 p a 2 + b 2 + ab, 1 2 p a 2 + b 2 − Следовательно, диагонали данного четырехугольника равны и p a 2 + b 2 − Пример . В выпуклом четырёхугольнике ABCD длина отрезка, соединяющего середины сторон AB и CD, равна 1. Прямые BC и перпендикулярны. Найдите длину отрезка, соединяющего середины диагоналей AC и Ответ Решение. Пусть M и N — середины сторон соответственно и CD четырёхугольника ABCD, аи середины его диагоналей (соответственно AC и BD). Тогда MP — средняя линия треугольника, а QN — средняя линия треугольника DBC. Поэтому = 1 2 BC = QN, MP k BC k Значит, четырёхугольник MPNQ — параллелограмм. Его соседние стороны MP и MQ соответственно параллельны прямыми. Параллелограмм. Средняя линия треугольника поэтому MP ⊥ MQ. Следовательно, четырёхугольник MPNQ — прямоугольник. Диагонали прямоугольника равны, поэтому PQ=MN =1. Пример . Вершины одного параллелограмма лежат по одной на сторонах другого. Докажите, что центры параллелограммов совпа- дают. Д ока за тел ь ст во. Пусть вершины K, L, M и N параллелограмма лежат соответственно на сторонах AB, BC, CD и параллелограмма ABCD, а диагональ LN первого параллелограмма пересекается с диагональю AC второго в точке Треугольники CLM и ANK равны по стороне и прилежащим к ней углам, поэтому CL = AN. Тогда треугольники COL и AON также равны по стороне и прилежащим к ней углам, значит, CO = AO и LO = Таким образом, точка O — общая середина диагонали LN параллелограмма и диагонали AC параллелограмма ABCD, те общий центр этих параллелограммов, что и требовалось доказать. Подготовительные задачи. Расстояние между серединами взаимно перпендикулярных хорд AC и BC некоторой окружности равно 10. Найдите диаметр окружности. Диагональ параллелограмма делит его угол на части в и 45 ◦ . Найдите отношение сторон параллелограмма. Вершины M и N квадрата KLMN лежат на гипотенузе AB прямоугольного треугольника ABC (N между B и M), а вершины K и L на катетах BC и AC соответственно. Известно, что AM = a и BN = Найдите площадь квадрата. Сторона BC параллелограмма ABCD вдвое больше стороны. Биссектрисы углов A и B пересекают прямую CD в точках M и N, причём MN = 12. Найдите стороны параллелограмма Тренировочные задачи. Найдите расстояние от центра ромба до его стороны, если острый угол ромба равен 30 ◦ , а сторона равна 4. .. В четырёхугольнике ABCD известны углы ∠DAB=90 ◦ , ∠DBC = = 90 ◦ . Кроме того, DB = a, DC = b. Найдите расстояние между центрами двух окружностей, одна из которых проходит через точки D, A, а другая — через точки B, C, D. .. На сторонах AB и CD прямоугольника ABCD взяты точки итак, что AKCM — ромб. Диагональ AC образует со стороной угол 30 ◦ . Найдите сторону ромба, если наибольшая сторона прямоугольника равна Тренировочные задачи. В треугольник, две из трёх сторон которого равны 9 и 15, вписан параллелограмм так, что одна из его сторон, равная 6, лежит на третьей стороне треугольника, а диагонали параллелограмма параллельны двум данным сторонам треугольника. Найдите другую сторону параллелограмма и третью сторону треугольника. Стороны параллелограмма равны a и b (a 6= b). Найдите диагонали четырёхугольника, образованного пересечениями биссектрис углов параллелограмма. Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон выпуклого четырёхугольника, взаимно перпендикулярны и равны и 7. Найдите площадь четырёхугольника. .. Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон выпуклого четырёхугольника, равны между собой. Найдите площадь четырёхугольника, если его диагонали равны 8 и 12. .. Дан выпуклый четырёхугольник, диагонали которого перпендикулярны и равны a и b. Найдите площадь четырёхугольника с вершинами в серединах сторон данного. Диагонали трапеции взаимно перпендикулярны, а средняя линия равна 5. Найдите отрезок, соединяющий середины оснований. Диагонали выпуклого четырёхугольника равны a и b, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон, равны между собой. Найдите площадь четырёхугольника. .. Диагонали выпуклого четырёхугольника равны c и d и пересекаются под углом 45 ◦ . Найдите отрезки, соединяющие середины противоположных сторон четырёхугольника. § . Параллелограмм. Средняя линия треугольника. В четырёхугольнике ABCD диагонали AC и BD относятся как : 4, а угол между ними равен 60 ◦ . Чему равен больший из отрезков, соединяющих середины противоположных сторон четырёхугольника ABCD, если меньший равен p 26? .. Окружность, построенная на стороне AD параллелограмма как на диаметре, проходит через вершину B и середину стороны. Найдите углы параллелограмма. Из вершины A треугольника ABC опущены перпендикуляры и AP на биссектрисы внешних углов B и C. Известно, что периметр треугольника ABC равен 10. Найдите PM. .. Прямая имеет с параллелограммом ABCD единственную общую точку B. Вершины A и C удалены от этой прямой на расстояния, равные a и b. На какое расстояние удалена от этой прямой вершина. Гипотенуза прямоугольного треугольника служит стороной квадрата, расположенного вне треугольника. Найдите расстояние от вершины прямого угла треугольника до центра квадрата, если катеты треугольника равны a и b. .. В выпуклом четырёхугольнике ABCD отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен отрезку, соединяющему середины сторон и BC. Найдите угол, образованный продолжениями сторон и CD. .. Дан параллелограмм со сторонами 1 и 2 и острым углом На двух его противоположных сторонах как на основаниях построены вне параллелограмма равнобедренные треугольники с углами при вершинах. Найдите расстояние между этими вершинами. Четырёхугольник ABCD, диагонали которого взаимно перпендикулярны, вписан в окружность с центром O. Найдите расстояние от точки O до стороны AB, если известно, что CD = 8. . ∗ . Точки M, K, N и L — середины сторон соответственно AB, BC, CD и DE пятиугольника ABCDE, P и Q — середины отрезков MN и соответственно. Известно, что PQ = 1. Найдите сторону Задачи на доказательство и вычисление. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность с центром Диагонали четырёхугольника перпендикулярны, пересекаются в точке, отличной от O, и не проходят через точку O. Точки M и N середины диагоналей AC и BD соответственно. а) Докажите, что прямая OP проходит через середину отрезка MN. Задачи на доказательство и вычисление б) Найдите площадь четырёхугольника OMPN, если AC = BD, а = 10. ... Четырёхугольник ABCD вписан в окружность с центром Диагонали четырёхугольника равны и перпендикулярны, пересекаются в точке P, отличной от O, и не проходят через точку O. Точки и N — середины диагоналей AC и BD соответственно. а) Докажите, что четырёхугольник OMPN — квадрат. б) Найдите площадь этого квадрата, если радиус окружности равен и AC = BD = 24. ... Дан четырёхугольник а) Докажите, что отрезки LN и KM, соединяющие середины его противоположных сторон, делят друг друга пополам. б) Найдите площадь четырёхугольника ABCD, если LM = 3 p 3, KM = 6 p 3, ∠KML = 60 ◦ ... Дан четырёхугольник а) Докажите, что отрезки LN и KM, соединяющие середины его противоположных сторон, делят друг друга пополам. б) Найдите площадь четырёхугольника ABCD, если KL = 6, KM = = 4 p 3, ∠MKL = 30 ◦ ... В параллелограмме лежат две окружности, касающиеся друг друга и трёх сторон параллелограмма каждая. а) Докажите, что одна из сторон параллелограмма видна из центра одной из окружностей под прямым углом. б) Найдите площадь параллелограмма, если радиус одной из окружностей равен 2, а один из отрезков стороны параллелограмма от вершины до точки касания с одной из окружностей равен 4. ... В параллелограмме ABCD, одна из сторон которого вдвое больше другой, лежат две окружности, касающиеся друг друга и трёх сторон параллелограмма каждая. а) Докажите, что прямая, проходящая через вершину A параллелограмма и центр ближайшей к ней окружности, делит пополам сторону б) Найдите площадь параллелограмма, если AC = 4 p 5. ... Отрезок, соединяющий вершину A ромба ABCD с серединой стороны BC, равен стороне ромба. а) Докажите, что высота ромба, проведённая из вершины C, делит сторону AD на отрезки, один из которых втрое больше другого. б) Найдите диагональ AC ромба, если сторона ромба равна p 6. § . Параллелограмм. Средняя линия треугольника. Диагонали параллелограмм ABCD пересекаются в точке а) Докажите, что прямая, проходящая через вершину B и середину отрезка OC, делит сторону CD на отрезки, один из которых вдвое больше другого. б) Пусть ABCD — ромб с диагоналями BD = 18, AC = 48. Найдите длину отрезка этой прямой, заключённого внутри ромба. Окружность, построенная на стороне AD параллелограмма как на диаметре, проходит через точку пересечения диагоналей параллелограмма. а) Докажите, что ABCD — ромб. б) Эта окружность пересекает сторону AB в точке M, причём AM : MB = 2 : 1. Найдите диагональ AC, если AD = p 6. ... На стороне AD ромба ABCD как на диаметре построена окружность. а) Докажите, что она проходит через точку пересечения диагоналей ромба. б) Эта окружность пересекает сторону AB в середине M. Найдите, если AD = 2 p 7. ... В треугольнике ABC проведены биссектрисы и точки K и M — основания перпендикуляров, опущенных из точки на прямые и а) Докажите, чтоб) Найдите площадь треугольника KBM, если AC = 10, BC = 6, AB = 8. ... В треугольнике ABC с углом при вершине A проведены биссектрисы и CC 1 , P и Q — основания перпендикуляров, опущенных из точки A на прямые и а) Докажите, чтоб) Найдите площадь части треугольника ABC, заключённой между лучами AP и AQ, если AP = 6, AQ = 8. ... В равнобедренном треугольнике ABC с углом при вершине проведена биссектриса BD. В треугольник ABC вписан прямоугольник так, что сторона HF лежит на отрезке BC, а вершина на отрезке а) Докажите, чтоб) Найдите площадь прямоугольника DEFH, если AB = 4. ... В равнобедренном прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом при вершине B проведена биссектриса AK. В треугольник Задачи на доказательство и вычисление вписан прямоугольник KLMN так, что сторона MN лежит на отрезке, а вершина L — на отрезке а) Докажите, чтоб) Найдите площадь прямоугольника KLMN, если AB = 1. ... Дан параллелограмм ABCD. Окружности, вписанные в треугольники и BDC, касаются диагонали BD в точках M и N соответственно. Окружности, вписанные в треугольники ABC и касаются диагонали AC в точках K и L соответственно. а) Докажите, что MKNL — прямоугольник. б) Найдите площадь этого прямоугольника, если известно, что AB = 4, а угол между диагоналями параллелограмма равен 30 ◦ ... Дан прямоугольник ABCD. Окружности, вписанные в треугольники и BDC, касаются диагонали BD в точках M и N соответственно. Окружности, вписанные в треугольники ABC и касаются диагонали AC в точках K и L соответственно. а) Докажите, что MKNL — прямоугольник, подобный исходному. б) Найдите коэффициент подобия, если косинус угла между диагоналями исходного прямоугольника равен 25 |