Геометрия. 16 Гордин. Ежедневно, 10. 0020. 00, кроме воскресеньяабрис рф Москва 8 (495) 2296759СанктПетербург 8 (812) 3270450
 Скачать 1.76 Mb.
|
|
§ . Пересекающиеся окружности Решение задачи из диагностической работы. На катетах прямоугольного треугольника как на диаметрах построены окружности. Найдите их общую хорду, если катеты равны и Ответ Решение. Пусть CD — общая хорда окружностей, построенных накате- тах AC = 3 и BC = 4 прямоугольного треугольника как на диаметрах. Тогда ADC = ∠BDC = как вписанные углы, опирающиеся на диаметр. Значит, точка лежит на гипотенузе AB, а CD — высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла. По теореме Пифагора AB = p 9 + 16 = 5, а поскольку 2 AC · BC и S ∆ ABC = 1 2 AB · получаем 2 AC · BC = 1 2 AB · CD, откуда находим, что = AC · BC AB = 3 · 4 5 = 12 5 Ã * * Докажем важнейшее свойство пересекающихся окружностей. Утверждение. Линия центров пересекающихся окружностей перпендикулярна их общей хорде и делите пополам. Д ока за тел ь ст во. Пусть AB — общая хорда пересекающихся окружностей с центрами и O 2 . Точки и равноудалены от § . Пересекающиеся окружности концов отрезка AB, поэтому O 1 O 2 — серединный перпендикуляр кот- резку AB, что и требовалось доказать. Пример . Радиусы двух пересекающихся окружностей равны и 15, а общая хорда равна 24. Найдите расстояние между центрами. Ответ: 14 или Решение. Пусть окружность радиуса 13 с центром и окружность радиуса 15 с центром пересекаются в точках A и B. Тогда AB и прямая проходит через середину M отрезка Из прямоугольных треугольников и по теореме Пифагора находим, что 2 − 12 2 = 5, MO 2 = p 15 2 − 12 Рис. Рис. Если точки и лежат по разные стороны от прямой AB рис. то + 9 = Если же точки и лежат по одну сторону от прямой AB рис. то MO 1 = 9 − 5 = Пример . Две окружности пересекаются в точках A и B. В каждой из этих окружностей проведены хорды AC и AD, причём хорда одной окружности касается другой окружности. Найдите AB, если = a, DB = b. Ответ: p ab. Р е ш е ни е. Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что = ∠BDA, ∠BAD = ∠BCA, Подготовительные задачи a b A B C D поэтому треугольники ABC и DBA подобны по двум углам. Следова- тельно, AB BD = BC AB , откуда находим, что BD = ab, AB Подготовительные задачи. Прямая, проходящая через общую точку A двух окружностей, вторично пересекает эти окружности в точках B и C. Расстояние между проекциями центров окружностей на эту прямую равно 12. Найдите, если известно, что точка A лежит на отрезке BC. .. Окружности с центрами и пересекаются в точках A и Известно, что ∠AO 1 B = 90 ◦ , ∠AO 2 B = 60 ◦ , O 1 O 2 = a. Найдите радиусы окружностей. Отрезок, соединяющий центры двух пересекающихся окружностей, делится их общей хордой на отрезки, равные 5 и 2. Найдите общую хорду, если известно, что радиус одной окружности вдвое больше радиуса другой. Через вершину A остроугольного треугольника ABC проведена прямая, параллельная стороне BC, равной a, и пересекающая окружности, построенные на сторонах AB и AC как на диаметрах, в точках M и N, отличных от A. Найдите MN. .. Две окружности пересекаются в точках A и B. Через точку проведены диаметры AC и AD этих окружностей. Найдите расстояние между центрами окружностей, если BC = a и BD = b. § . Пересекающиеся окружности. В треугольнике ABC на наибольшей стороне BC, равной выбирается точка M. Найдите наименьшее расстояние между центрами окружностей, описанных около треугольников BAM и Тренировочные задачи. Две окружности радиусов 3 и 4, расстояние между центрами которых равно 5, пересекаются в точках A и B. Через точку B проведена прямая, пересекающая окружности в точках C и D, причём CD = и точка B лежит между точками C и D. Найдите площадь треугольника. Дан ромб ABCD. Радиусы окружностей, описанных около треугольников и BCD, равны 1 и 2. Найдите расстояние между центрами этих окружностей. Две окружности радиусов p 5 и p 2 пересекаются в точке Расстояние между центрами окружностей равно 3. Через точку A проведена прямая, пересекающая окружности в точках B итак, что = AC точка B не совпадает с C). Найдите AB. .. Первая из двух окружностей проходит через центр второй и пересекаете в точках A и B. Касательная к первой окружности, проходящая через точку A, делит вторую окружность на дуги, градусные меры которых относятся как m : n (m < n). В каком отношении вторая окружность делит первую. Через общую точку C двух равных окружностей проведены две прямые, пересекающие данные окружности в точках A, B и M, N соответственно. Прямая AB параллельна линии центров, а прямая образует угол α с линией центров. Известно, что AB = a. Найдите. В параллелограмме ABCD известны стороны AB = a, BC = и угол ∠BAD = α. Найдите расстояние между центрами окружностей, описанных около треугольников BCD и DAB. .. Две окружности пересекаются в точках A и K. Их центры расположены по разные стороны от прямой, содержащей отрезок Точки B и C лежат на разных окружностях. Прямая, содержащая отрезок, касается одной окружности в точке A. Прямая, содержащая отрезок AC, касается другой окружности также в точке A. Длина отрезка равна 1, длина отрезка CK равна 4, а тангенс угла CAB равен. Найдите площадь треугольника ABC. Задачи на доказательство и вычисление Задачи на доказательство и вычисление. Дан треугольник ABC с наибольшим углом при вершине Окружности, построенные на сторонах AB и AC как на диаметрах, пересекаются в точке D, отличной от а) Докажите, что точка D лежит на прямой б) Найдите угол BAC, если ∠ACB = 30 ◦ , а DB : DC = 1 : 3. ... Окружности, построенные на сторонах AB и BC треугольника с тупым углом при вершине A как на диаметрах, пересекаются в точке P, отличной от а) Докажите, что точка P лежит на прямой б) Найдите угол ABC, если ∠ACB = 30 ◦ , а AP : CP = 1 : 3. ... Окружность с центром O вписана в угол, равный Окружность большего радиуса с центром также вписана в этот угол и проходит через точку а) Докажите, что радиус второй окружности вдвое больше радиуса первой. б) Найдите длину общей хорды этих окружностей, если радиус первой окружности равен 2 p 15. ... Окружность с центром O вписана в угол, равный 2 arcsin 2 Окружность большего радиуса с центром также вписана в этот угол и проходит через точку а) Докажите, что радиус второй окружности втрое больше радиуса первой. б) Найдите длину общей хорды этих окружностей, если радиус первой окружности равен 3. ... Две окружности пересекаются в точках P и Q. Прямая, проходящая через точку P, второй раз пересекает первую окружность в точке A, а вторую — в точке D. Прямая, проходящая через точку параллельно AD, второй раз пересекает первую окружность в точке а вторую — в точке а) Докажите, что четырёхугольник ABCD — параллелограмм. б) Найдите отношение BP : PC, если радиус первой окружности вдвое больше радиуса второй. Две окружности пересекаются в точках A и B. Прямая, проходящая через точку A, вторично пересекает эти окружности в точках и D, причём точка A лежит между C и D, а хорды AC и AD пропорциональны радиусам своих окружностей. а) Докажите, что биссектрисы углов ADB и ACB пересекаются на отрезке AB. § . Пересекающиеся окружности б) Найдите AB, если радиус одной окружности вдвое больше радиуса другой, а хорды AC и BC меньшей окружности равны 3 и 5 соответственно. Окружности с центрами и разных радиусов пересекаются в точках A и B. Хорда AC большей окружности пересекает меньшую окружность в точке M и делится этой точкой пополам. а) Докажите, что проекция отрезка напрямую в четыре раза меньше б) Найдите O 1 O 2 , если радиусы окружностей равны 5 и 17, а AC=16. ... Окружности с центрами и разных радиусов пересекаются в точках P и Q. Хорда PM большей окружности пересекает меньшую окружность в точке K, причём MK = а) Докажите, что проекция отрезка напрямую в три раза меньше б) Найдите O 1 O 2 , если радиусы окружностей равны 13 и 25, а PM = = 30. ... На диагоналях трапеции как на диаметрах построены окружности. а) Докажите, что их общая хорда перпендикулярна основаниям трапеции. б) Найдите длину этой хорды, если основания трапеции равны 1 и, а диагонали — 6 и 8. ... На диагоналях трапеции как на диаметрах построены окружности. а) Докажите, что общая хорда этих окружностей делится пополам средней линией трапеции. б) Найдите основания трапеции, если её диагонали перпендикулярны, равны 10 и 24, а расстояние между центрами окружностей равно 1. ... Две равные окружности с центрами и пересекаются в точках M и N. Лучи O 1 M и O 1 N вторично пересекают окружность с центром в точках A и B соответственно, причём M — середина O 1 A. а) Докажите, что точки A, B и лежат на одной прямой. б) Окружности пересекают отрезок в точках C и D. Найдите отношение отрезка CD к радиусу окружностей. Даны две равные окружности с центрами и O 2 , пересекающиеся в точках P и Q. Отрезок делится этими окружностями натри равные части. Лучи O 1 P и O 1 Q вторично пересекают окружность с центром в точках C и D соответственно Задачи на доказательство и вычисление а) Докажите, что отрезок O 1 P в четыре раза больше отрезка б) В каком отношении отрезок делится прямой CD? ... Дана трапеция с основаниями AD и BC. Окружности, построенные на боковых сторонах AB и CD как на диаметрах, пересекаются в точках M и а) Докажите, чтоб) Найдите MN, если боковые стороны трапеции равны 12 и а сумма проекций диагоналей на большее основание равна 20. ... Дана трапеция KLMN с основаниями KN и LM. Окружности, построенные на боковых сторонах KL и MN как на диаметрах, пересекаются в точках A и а) Докажите, что средняя линия трапеции лежит на серединном перпендикуляре к отрезку б) Найдите AB, если боковые стороны трапеции равны 26 и а средняя линия трапеции равна 15. ... Отрезок AB — диаметр окружности с центром O. Вторая окружность с центром в точке B пересекается с первой окружностью в точках C и D. Касательная, проведённая в точке C к первой окружности, вторично пересекает вторую окружность в точке а) Докажите, что треугольники AOC и CBP подобны. б) Найдите AP, если BC = 15 и PC = 24. ... Отрезок KL — диаметр окружности с центром O. Вторая окружность с центром в точке L пересекается с первой окружностью в точках P и Q. Касательная, проведённая в точке P к первой окружности, вторично пересекает вторую окружность в точке а) Докажите, что треугольники KOP и PLM подобны. б) Найдите площадь треугольника KPM, если KP = 10 и PL = 5. ... Точка M — середина гипотенузы AB прямоугольного треугольника. Около треугольников ACM и BCM описаны окружности с центрами и O 2 соответственно. а) Докажите, что треугольник O 1 MO 2 прямоугольный. б) Найдите расстояние между центрами окружностей, если AC = = 72, BC = 96. ... Точка M — середина катета BC прямоугольного треугольника с прямым углом при вершине C. Около треугольников и ABM описаны окружности с центрами и соответственно, P середина отрезка а) Докажите, чтоб) Найдите расстояние между центрами окружностей, если AC = = 2 p 2, BC = 4 p 2. § . Окружности, связанные с треугольником и четырёхугольником Решение задачи из диагностической работы. Найдите радиусы вписанной и описанной окружностей треугольника со сторонами 13, 13, 24 и расстояние между центрами этих окружностей. Ответ: 16,9; 2,4; Решение. Пусть CD — высота равнобедренного треугольника со сторонами AC = BC = 13 и AB = 24, O — центр его описанной окружности радиуса R, Q — центр вписанной окружности радиуса Из прямоугольного треугольника ACD находим, что = p AC 2 − AD 2 = p 13 2 − 12 2 = 5, sin ∠CAD = CD AC = 5 По теореме синусов = BC 2 sin ∠BAC = 13 2 · 5 Радиус окружности, вписанной в треугольник, равен площади треугольника, делённой на его полупериметр, поэтому = S ∆ ABC AC + AD = AD · CD AC + AD = 12 · 5 13 + Заметим, что угол CAD меньше 45 ◦ , так как его тангенс меньше 1 (tg ∠CAD = CD AC = 5 12 < 1), значит, угол BCA тупой, поэтому точки O и Q Решение задачи из диагностической работы лежат по разные стороны от прямой AB. Следовательно = OC − CQ = OC − (CD − QD) = R − (CD − r) = = 16,9 − (5 − 2,4) = 14,3. Ã * * В этом разделе мы рассмотрим методы нахождения радиусов описанной, вписанной и вневписанных окружностей треугольника, атак- же задачи, связанные с вписанными и описанными четырёхугольни- ками. Известно, что около каждого треугольника можно описать окружность, ипритом только одну. Центр описанной окружности треугольника точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам. Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника середина гипотенузы, центр окружности остроугольного треугольника расположен внутри треугольника, центр описанной окружности тупоугольного треугольника — вне треугольника. Во многих случаях радиус R описанной окружности треугольника удобно находить с помощью теоремы синусов R = a 2 sin α , где a — сторона треугольника, а — угол, противолежащий этой стороне. Пример . Найдите радиус окружности, описанной около треугольника со сторонами a, b и Ответ Решение. Первый способ. Пусть D — середина основания равнобедренного треугольника ABC со сторонами AB = AC = b и = a. Из прямоугольного треугольника ADB находим, что cos ∠ABD Тогда sin ∠ABC = sin ∠ABD = p 1 − cos 2 ∠ ABD = Ç 1 − a 2 Следовательно, если R — радиус окружности, описанной около треугольника, то = AC 2 sin ∠ABC = b 2 Ç 1 − a 2 4b 2 = b 2 p 4b 2 − a 2 Ã § . Окружности, связанные с треугольником и четырёхугольником Второй способ. Продолжим высоту AD до пересечения сопи- санной окружностью треугольника ABC в точке E. Тогда AE — диаметр окружности, ∠ABE = 90 ◦ , а BD — высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, поэтому DE, или 4 = Ç b 2 − a 2 4 2R − Ç b 2 − a 2 Из этого уравнения находим, что R = b 2 p 4b 2 − Пример . Найдите радиус окружности, описанной около треугольника со сторонами 13, 14, 15. α 13 14 Ответ Решение. Пусть — угол, противолежащий стороне, равной 15. Тогда из теоремы косинусов получаем Следовательно, если R — радиус окружности, описанной около данного треугольника, то = 15 2 sin α = 15 2 Ç 1 − 5 13 2 = 15 2 · 12 13 = 65 8 Ã * * Известно также, что в любой треугольник можно вписать окружность, ипритом только одну. Биссектрисы треугольника пересекаются водной точке. Эта точка равноудалена от сторон треугольника, поэтому она и есть центр вписанной окружности треугольника Решение задачи из диагностической работы Биссектрисы двух внешних и третьего внутреннего углов треугольника также пересекаются водной точке. Эта точка равноудалена от сторон этих углов, поэтому она является центром окружности, касающейся одной стороны треугольника и продолжений двух других его сторон, те. центром вневписанной окружности треугольника. У каждого треугольника есть три вневписанных окружности. Докажем два важных факта, связанных с вписанной и вневписан- ной окружностями треугольника. Утверждение . Если вписанная окружность касается стороны треугольника ABC в точке M, то AM = p − a, где p — полупери- метр треугольника ABC, а a = Доказательство. Обозначим AC = b, AB = c. Пусть K и L — точки касания вписанной окружности со сторонами AC и BC соответственно. Тогда = BC = BL + LC = BM + CK = = (AB − AM) + (AC − AK) = = (c − AM) + (b− AM) = b + c − откуда AM = b + c − a 2 = p − Утверждение . Если окружность касается стороны BC треугольника ABC, продолжения стороны AB в точке N и продолжения стороны AC, то AN = p, где p — полупериметр треугольника. A B C N P Q Д ока за тел ь ст в о. Обозначим BC = a, AC = b, AB = c. Пусть окружность касается стороны в точке P, а продолжения стороны AC — в точке Q. Тогда = AB + BC + AC = AB + (BP + CP) + AC = = AB + (BN + CQ) + AC = = (AB + BN) + (CQ + AC) = AN + AQ = откуда AN = p. * * При вычислении радиусов вписанной и вневписанной окружностей полезны также следующие формулы для площади треугольника. Утверждение. Если p — полупериметр треугольника, r — радиус его вписанной окружности, а r a — радиус вневписанной окружности § . Окружности, связанные с треугольником и четырёхугольником касающейся стороны, равной a, то = pr, () S = (p − Доказательство формулы () излагается в учебниках. Докажем формулу Доказательство. Обозначим BC = a, AC = b, AB = c. Пусть центр вневписанной окружности треугольника ABC, касающейся стороны BC, P, N и Q — точки касания этой окружности со стороной BC и продолжениями сторон и AC соответственно. Тогда = S ∆ ABC = S ∆ AO a B + S ∆ AO a C − S ∆ BO a C = = 1 2 AB · O a N + 1 2 AC · O a Q − 1 2 BC · O a P = = 1 2 cr a + 1 2 br a − 1 2 ar a = = c + b − a 2 · r a = (p − a)r a . Рассмотрим на примерах несколько способов нахождения радиусов вписанных и вневписанных окружностей треугольника. Пример . Стороны треугольника равны 10, 10, 12. Найдите радиусы вписанной и вневписанных окружностей. Ответ: 3; 12; 8; Решение. Пусть r — радиус вписанной окружности треугольника, и r a — радиусы вневписанных окружностей, касающихся сторон AB, AC и BC соответственно, O c , и O a — их центры, S — площадь треугольника ABC, p — его полупери- метр. Первый способ. Воспользуемся известной формулой S = pr. Поскольку высота CK треугольника ABC равна 8, то S = 48. Следовательно Если окружность с центром касается продолжения стороны в точке M, то из подобия треугольников и CKB находим, что = BK · CM CK = BK · BC + BM CK = BK · BC + BK CK = 6 · 16 8 = 12. Решение задачи из диагностической работы A C B K M O c Пусть окружность с центром касается продолжения стороны в точке F, а продолжения стороны AC — в точке E. Поскольку биссектриса угла BCE, а CK — биссектриса его смежного угла ACB, то = 90 ◦ . Поэтому O a CKF — прямоугольник. Следовательно = CK = Второй способ вычисление радиусов вневписанных окружностей. Применим формулу r a = S p − a . В нашем случае c = 48 16 − 12 = 12, r b = r a = S p − a = 48 16 − Третий способ вычисление r и r c ). Поскольку AO — биссектриса треугольника AKC, то 10 = 3 5 , § . Окружности, связанные с треугольником и четырёхугольником атак как OK = r, получаем = OK = 3 8 CK = 3 8 · 8 = Поскольку AO c — биссектриса внешнего угла треугольника AKC, то 10 = 3 атак как O c K = r c , то = 3 2 CK = 3 2 · 8 = 12. Ã * * Напомним некоторые утверждения, относящиеся к вписанных и описанным четырёхугольникам. Теорема . Для того чтобы около четырёхугольника можно было описать окружность, необходимо и достаточно, чтобы сумма его двух противоположных углов была равна Теорема . Для того чтобы в выпуклый четырёхугольник можно было вписать окружность, необходимо и достаточно, чтобы суммы его противоположных сторон были равны. Пример . Около четырёхугольника ABCD можно описать окружность. Известно, что AB = 3, BC = 4, CD = 5 и AD = 2. Найдите Ответ Решение. Обозначим ∠ABC = α. Тогда 2AB · BC cos α = AD 2 + CD 2 − 2AD · CD cos(180 ◦ − α), Подготовительные задачи или 9 + 16 − 2 · 3 · 4 cos α = 4 + 25 + 2 · 2 · 5 cos α. A B C D 2 3 4 Из этого уравнения находим, что cos α = − 1 11 . Следовательно + 16 + 2 · 3 · 4 · 1 11 = 299 Пример . Периметр равнобедренной трапеции, описанной около окружности, равен 2p. Найдите проекцию диагонали трапеции на большее основание. Ответ: 1 Решение. Проекция диагонали равнобедренной трапеции на большее основание равна полусумме оснований, атак как трапеция описанная, то сумма оснований равна сумме боковых сторон. Следовательно, сумма оснований равна полупериметру трапеции, а полусумма оснований — четверти периметра, те. Подготовительные задачи. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 2, угол при вершине равен 120 ◦ . Найдите диаметр описанной окружности. Под каким углом видна из точек окружности хорда, равная радиусу. В равнобедренном треугольнике ABC (AB = BC) проведена высота CD. Угол BAC равен α. Радиус окружности, проходящей через точки A, C и D, равен R. Найдите площадь треугольника ABC. .. Катеты прямоугольного треугольника равны a и b, а гипотенуза равна c. Найдите радиус вписанной окружности. Дан треугольник со сторонами 3, 4 и 5. Найдите радиусы его описанной, вписанной и вневписанных окружностей § . Окружности, связанные с треугольником и четырёхугольником .. Дан треугольник со сторонами 13, 13 и 10. Найдите радиусы его описанной, вписанной и вневписанных окружностей. Дан треугольник со сторонами 13, 14 и 15. Найдите радиусы его описанной, вписанной и вневписанных окружностей. В равнобедренный треугольник с основанием, равным a, вписана окружность, и к ней проведены три касательные так, что они отсекают отданного треугольника три маленьких треугольника, сумма периметров которых равна b. Найдите боковую сторону данного треугольника. Проекция боковой стороны равнобедренной трапеции на большее основание равна a, средняя линия трапеции равна b, а острый угол при основании равен 45 ◦ . Найдите радиус окружности, описанной около трапеции. Основания равнобедренной трапеции равны 9 и 21, а высота равна 8. Найдите радиус окружности, описанной около трапеции. Тренировочные задачи. Трапеция ABCD с основаниями BC = 2 и AD = 10 такова, что вне можно вписать окружность и около неё можно описать окружность. Определите, где находится центр описанной окружности, т. е. расположен он внутри трапеции, или вне е, или жена одной из сторон трапеции ABCD. Найдите также отношение радиусов описанной и вписанной окружностей. В прямоугольном треугольнике отношение радиуса вписанной окружности к радиусу описанной окружности равно 5 . Найдите острые углы треугольника. В прямоугольный треугольник ABC с углом A, равным вписана окружность радиуса R. Вторая окружность, лежащая вне треугольника, касается стороны BC и продолжений двух других сторон. Найдите расстояние между центрами этих окружностей. В треугольнике PQR угол QRP равен 60 ◦ . Найдите расстояние между точками касания со стороной QR окружности радиуса вписанной в треугольники окружности радиуса 3, касающейся про- должений сторон PQ и PR. .. Равносторонний треугольник ABC со стороной 3 вписан в окружность. Точка D лежит на окружности, причём хорда AD равна. Найдите хорды BD и CD. Тренировочные задачи. Пусть O — центр окружности, описанной около треугольника. Найдите угол AMC, где M — центр окружности, вписанной в треугольник ABC. .. В треугольнике ABC известно, что AC = b, ∠ABC = α. Найдите радиус окружности, проходящей через центр вписанного в треугольник круга и вершины A и C. .. В окружности проведены две хорды AB = a и AC = b. Длина дуги AC, не содержащей точки B, вдвое больше длины дуги AB, не содержащей точки C. Найдите радиус окружности. Из точки M на окружности проведены три хорды MN = 1, MP = 6, MQ = 2. При этом углы NMP и PMQ равны. Найдите радиус окружности. Через вершины A и B треугольника ABC проходит окружность радиуса r, пересекающая сторону BC в точке D. Найдите радиус окружности, проходящей через точки A, D и C, если AB = c и AC = b. .. Центр описанной окружности треугольника симметричен его центру вписанной окружности относительно одной из сторон. Найдите углы треугольника. Угол при основании равнобедренного треугольника равен. Найдите отношение радиуса вписанной в данный треугольник окружности к радиусу описанной окружности. В треугольнике ABC с периметром 2p сторона AC равна острый угол ABC равен α. Вписанная в треугольник ABC окружность с центром O касается стороны BC в точке K. Найдите площадь треугольника. В треугольнике ABC с периметром 2p острый угол BAC равен. Окружность с центром в точке O касается стороны BC и продол- жений сторон AB ив точках K и L соответственно. Точка D лежит внутри отрезка AK, AD = a. Найдите площадь треугольника DOK. .. В треугольник вписана окружность радиуса 4. Одна из сторон треугольника разделена точкой касания на части, равные 6 и Найдите две другие стороны треугольника. Прямоугольный треугольник ABC разделён высотой CD, проведённой к гипотенузе, на два треугольника BCD и ACD. Радиусы окружностей, вписанных в эти треугольники, равны 4 и 3 соответственно. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC. .. К окружности, вписанной в треугольник со сторонами 6, и 12, проведена касательная, пересекающая две большие стороны. Найдите периметр отсечённого треугольника § . Окружности, связанные с треугольником и четырёхугольником .. Окружность, вписанная в треугольник, точкой касания делит одну из сторон на отрезки, равные 3 и 4, а противолежащий этой стороне угол равен 120 ◦ . Найдите площадь треугольника. Пусть CD — медиана треугольника ABC. Окружности, вписанные в треугольники ACD и BCD, касаются отрезка CD в точках и N. Найдите MN, если AC − BC = 2. .. На основании AB равнобедренного треугольника ABC взята точка D, причём BD − AD = 4. Найдите расстояние между точками, в которых окружности, вписанные в треугольники ACD и BCD, касаются отрезка CD. .. В четырёхугольнике MNPQ расположены две непересекаю- щиеся окружности так, что одна из них касается сторона другая — сторон MN, MQ, PQ. Точки B и A лежат соответственно на сторонах MN и PQ, причём отрезок AB касается обеих окружностей. Найдите длину стороны MQ, если NP = b и периметр четырёхугольни- ка BAQM больше периметра четырёхугольника ABNP на величину 2p. .. Около окружности радиуса R описан параллелограмм. Площадь четырёхугольника с вершинами в точках касания окружности и параллелограмма равна S. Найдите стороны параллелограмма. В четырёхугольнике ABCD сторона AB равна стороне диагональ AC равна стороне CD, а ∠ACB = ∠ACD. Радиусы окружностей, вписанных в треугольники ACB и ACD, относятся как 3 : 4. Найдите отношение площадей этих треугольников. Периметр треугольника ABC равен 8. В треугольник вписана окружность, и к ней проведена касательная, параллельная стороне. Отрезок этой касательной, заключённый между сторонами и CB, равен 1. Найдите сторону AB. .. Радиус вписанной в треугольник ABC окружности равен p 3 − 1. Угол BAC равен 60 ◦ , а радиус окружности, касающейся стороны и продолжений сторон AB и AC, равен p 3 + 1. Найдите углы и ACB. .. В параллелограмме ABCD острый угол BAD равен α. Пусть, O 2 , O 3 , O 4 — центры окружностей, описанных около треугольников соответственно. Найдите отношение площади четырёхугольника к площади параллелограмма ABCD. .. Около треугольника ABC описана окружность. Медиана продолжена до пересечения с этой окружностью в точке E. Известно, что AB + AD = DE, ∠BAD = 60 ◦ , AE = 6. Найдите площадь треугольника Задачи на доказательство и вычисление. В четырёхугольник ABCD можно вписать и вокруг него можно описать окружность. Диагонали этого четырёхугольника взаимно перпендикулярны. Найдите его площадь, если радиус описанной окружности равен R и AB = 2BC. .. Радиус окружности, описанной около остроугольного треугольника, равен 1. Известно, что на этой окружности лежит центр другой окружности, проходящей через вершины A, C и точку пересечения высот треугольника ABC. Найдите AC. .. Под каким углом видна из вершины прямого угла прямоугольного треугольника проекция вписанной окружности на гипотенузу Задачи на доказательство и вычисление. Сторона BC треугольника ABC равна 48. Около треугольника описана окружность радиуса 25. Известно, что радиус OA делит сторону BC на два равных отрезка. а) Докажите, что треугольник ABC равнобедренный. б) Найдите его боковые стороны. Около треугольника KLM описана окружность с центром Диаметр KP пересекает сторону LM в её середине Q, лежащей между точками O и а) Докажите, что треугольник KLM равнобедренный. б) Найдите радиус окружности, если PQ = 18 и KM = 40. ... Дан треугольник со сторонами 25, 25 и а) Докажите, что он тупоугольный. б) Найдите расстояние между центрами его вписанной и описанной окружностей. Дан треугольник со сторонами 13, 13 и а) Докажите, что он остроугольный. б) Найдите расстояние между центрами его вписанной и описанной окружностей. Трапеция с основаниями 1 и 3 такова, что вне можно вписать окружность и около неё можно описать окружность. а) Докажите, что центр описанной около трапеции окружности расположен внутри трапеции. б) Найдите площадь круга, описанного около трапеции § . Окружности, связанные с треугольником и четырёхугольником ... Трапеция, одно основание которой враз больше другого, такова, что вне можно вписать окружность и вокруг неё можно описать окружность. а) Докажите, что центр описанной около трапеции окружности расположен вне трапеции. б) Найдите радиус окружности, описанной около трапеции, если меньшее основание равно p 70. ... В параллелограмме ABCD с углом A, равным 60 ◦ , проведена биссектриса угла B, пересекающая сторону CD в точке а) Докажите, что треугольник BCM равносторонний. б) В треугольник BCM вписана окружность радиуса p 7. Другая окружность вписана в трапецию ABMD. Найдите расстояние между центрами этих окружностей. В треугольник ABC вписана окружность. Вторая окружность, лежащая вне треугольника, касается стороны BC и продолже- ний двух других сторона) Докажите, что расстояние между точками касания этих окружностей с прямой AB равно длине стороны б) Найдите расстояние между центрами окружностей, если ∠ACB = = 90 ◦ , ∠BAC = 30 ◦ , а радиус меньшей окружности равен p 2. ... Длины сторон AB, AD, BC и CD выпуклого четырёхуголь- ника ABCD в указанном порядке образуют арифметическую прогрес- сию. а) Докажите, что в этот четырёхугольник можно вписать окруж- ность. б) Найдите радиус этой окружности, если AB = 6, AD = 8, BC = 10, CD = 12 и BD = BC. ... Окружность, вписанная в четырёхугольник ABCD, делит стороны AD и CD точками касания водном и том же отношении, считая от вершины а) Докажите, что диагонали четырёхугольника перпендикулярны. б) Известно, что около четырёхугольника можно описать окружность и BD = 70. Найдите радиус окружности, вписанной в четырёхугольник. ... В треугольник ABC вписана окружность радиуса R, касающаяся стороны AC в точке D, причём AD = а) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный. б) Вписанная окружность касается сторон AB ив точках E и Найдите площадь треугольника BEF, если R = 5 и CD = 15. Задачи на доказательство и вычисление. В треугольник ABC вписана окружность радиуса R, касающаяся стороны AC в точке M, причём AM = 2R и CM = а) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный. б) Найдите расстояние между центрами его вписанной и описанной окружностей, если R = 2. ... Дан выпуклый четырёхугольник ABCD со сторонами AB = = 3, BC = CD = 5, AD = 8 и диагональю AC = а) Докажите, что около него можно описать окружность. б) Найдите диагональ BD. ... Дан выпуклый четырёхугольник ABCD со сторонами AB = = 7, BC = 25, AD = CD = 15 и диагональю AC = а) Докажите, что около него можно описать окружность. б) Найдите диагональ BD. ... Сторона AC треугольника ABC больше стороны AB. Вписанная в треугольник окружность касается стороны BC в точке а вневписанная — в точке а) Докажите, чтоб) Найдите расстояние между центрами окружностей, если сумма их радиусов равна 24, а MN = 10. ... Окружность, вписанная в треугольник KLM, касается его стороны KM в точке A, а вневписанная окружность касается продолжения стороны KM за вершину M в точке а) Докажите, чтоб) Найдите расстояние между центрами окружностей, если разность их радиусов равна 6, а LM = 8. ... Окружность, построенная на медиане BM равнобедренного треугольника ABC как на диаметре, пересекает основание BC в точке а) Докажите, что отрезок BK втрое больше отрезка б) Пусть указанная окружность пересекает сторону AB в точке Найдите AB, если BK = 18 и BN = 17. ... Окружность, построенная на биссектрисе BL равнобедренного треугольника ABC как на диаметре, пересекает основание в точке P. Боковая сторона треугольника вдвое больше его основания. а) Докажите, что отрезок BP в пять раз больше отрезка б) Пусть указанная окружность пересекает сторону AB в точке Найдите BL, если ML = p 15 2 § . Окружности, связанные с треугольником и четырёхугольником ... Диагонали AC и BD выпуклого четырёхугольника ABCD перпендикулярны. а) Докажите, чтоб) Известно, что в этот четырёхугольник можно вписать окружность. Найдите её радиус, если BC = 8, CD = 12, ∠BAD = 150 ◦ ... Площадь четырёхугольника ABCD равна половине произведения его диагоналей. а) Докажите, что диагнали четырёхугольника перпендикулярны. б) В четырёхугольник ABCD можно вписать и вокруг него можно описать окружность. Найдите его площадь, если радиус описанной окружности равен 5 и AB = 2BC. ... Стороны треугольника относятся как 2 : 3 : а) Докажите, что точки касания вписанной и вневписанной окружностей треугольника делят его большую сторону натри равных от- резка. б) Найдите отношение радиусов этих окружностей. Точки касания вписанной и вневписанной окружностей прямоугольного треугольника делят гипотенузу натри равных от- резка. а) Докажите, что разность радиусов этих окружностей равна гипо- тенузе. б) Найдите произведение радиусов окружностей, если гипотенуза равна 3. ... К окружности, вписанной в квадрат ABCD, проведена касательная, пересекающая стороны AB ив точках M и N соответ- ственно. а) Докажите, что периметр треугольника AMN равен стороне квадрата. б) Прямая MN пересекает прямую CD в точке P. В каком отношении делит сторону BC прямая, проходящая через точку P и центр окружности, если AM : MB = 1 : 3? ... Угол при вершине A ромба ABCD равен 60 ◦ . Прямая касается окружности, вписанной в ромб, в точке T и пересекает стороны ив точках M и N соответственно. а) Докажите, что периметры треугольников AMT и ANT равны. б) Прямые MN и CD пересекаются в точке P. В каком отношении делит сторону BC прямая, проходящая через точку P и центр окружности, если AN : ND = 2 : 1? |