Геометрия. 16 Гордин. Ежедневно, 10. 0020. 00, кроме воскресеньяабрис рф Москва 8 (495) 2296759СанктПетербург 8 (812) 3270450
 Скачать 1.76 Mb.
|
|
§ . Касающиеся окружности Решение задачи из диагностической работы. Окружности с центрами и касаются внешним образом в точке C. Прямая касается этих окружностей в различных точках и B соответственно. Найдите угол AO 2 B, если известно, что tg ∠ABC = 1 Ответ Решение. Пусть M — точка пересечения отрезка AB с общей касательной к данным окружностям, проведённой через их точку касания. Тогда MA = MC = MB, значит, ∠ACB = Опустим перпендикуляр O 2 H из центра второй окружности на её хорду BC. Тогда H — середина BC. Из условия задачи следует, что = 1 2 BC = BH, атак как ∠BO 2 H = 90 ◦ − ∠O 2 BH = ∠ABC, то прямоугольные треугольники BO 2 H и ABC равны по катету и противолежащему острому углу. Значит, O 2 B = AB. Следовательно, ∠AO 2 B = ∠BAO 2 = = 45 ◦ Ã * * В разных учебниках приводятся разные формулировки определения касающихся окружностей) говорят, что две окружности касаются, если они имеют единственную общую точку) говорят, что две различные окружности касаются, если они имеют общую точку и общую касательную, проведённую в этой точке Решение задачи из диагностической работы Эти определения равносильны если окружности касаются попер- вому определению, то они касаются и по второму, и наоборот. Говорят, что окружности касаются внешним образом (касаются извне, если их центры лежат по разные стороны от общей касательной. Если же центры касающихся окружностей лежат по одну сторону от общей касательной, то говорят, что окружности касаются внутренним образом (касаются изнутри). Самое важное свойство касающихся окружностей — линия их центров (те. прямая, проведённая через центры окружностей) проходит через точку касания. Этот факт при решении задач на касающиеся окружности, как правило, используется в первую очередь. Если в условии задачи не указано, каким образом касаются окружности, то необходимо рассматривать и случай внешнего, и случай внутреннего касания. Пример . Две окружности радиуса r касаются большей окружности радиуса R — одна изнутри, другая извне, причём градусная мера дуги между точками касания равна 60 ◦ . Найдите расстояние между центрами меньших окружностей. Ответ: p R 2 + 3r 2 O 1 O 2 O R r r § . Касающиеся окружности Р е ш е ни е. Пусть окружности радиуса r с центрами и касаются окружности радиуса R с центром O соответственно внутренними внешним образом, причём r < R. Поскольку линия центров двух касающихся окружностей проходит через точку их касания, OO 1 = R − и OO 2 = R + r. Кроме того, ∠O 1 OO 2 = 60 ◦ . По теореме косинусов из треугольника находим, что 2 = (R + r) 2 + (R − r) 2 − 2(R + r)(R − r) cos60 ◦ = = (R + r) 2 + (R − r) 2 − (R 2 − r 2 ) = Следовательно, Пример . Окружности различных радиусов r и R с центрами и соответственно касаются внешним образом в точке K. Прямая касается этих окружностей в различных точках A и B, а вторая прямая в точках D и C соответственно) Найдите AB и отрезок MN общей касательной окружностей, проходящей через точку их касания, заключённый между общими внешними касательными AB и CD. ) Докажите, что ∠AKB = ∠O 1 MO 2 = 90 ◦ ) Докажите, что ABCD — описанная трапеция, и найдите её вы- соту. Ответ: ) 2 p rR; ) 4rR r + Решение. Для определённости предположим, что r < R. ) Точка K лежит на отрезке O 1 O 2 , поскольку окружности касаются внешним образом. Поэтому O 1 O 2 = O 1 K + KO 2 = r + R. Из точки O 1 опустим перпендикулярна радиус O 2 B второй окружности. Тогда, так как O 2 B ⊥ AB как радиус, проведённый в точку касания с прямой AB), O 1 F k AB. Кроме того, прямые O 1 A и O 2 B параллельны, так как обе они перпендикулярны касательной AB. Следовательно Решение задачи из диагностической работы четырёхугольник O 1 ABF — прямоугольник. Точка F лежит на отрезке, поэтому = O 2 B − BF = O 2 B − O 1 A = R − По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника находим, что = Æ O 1 O 2 2 − O 2 F 2 = p (r + R) 2 − (R − Следовательно, AB = O 1 F = Отрезки касательных, проведённых к окружности из одной точки, равны, поэтому MK = MB и MK = MA. Значит = 2MK = AB = 2 p rR. ) Поскольку и MO 2 — биссектрисы смежных углов и BMK, угол O 1 MO 2 прямой. Поскольку MA = MK = MB, медиана KM треугольника AKB равна половине стороны AB. Следовательно, ∠AKB = 90 ◦ ) Пусть прямые AB и CD пересекаются в точке O. Тогда OA = OD, OB = OC, поэтому CD = AB = Точки и лежат на биссектрисе угла AOD. Биссектриса равнобедренного треугольника AOD является его высотой, поэтому и BC ⊥ O 1 O 2 , значит, AD k BC и ABCD — равнобедренная трапеция. Отрезок MN — её средняя линия, поэтому + BC = 2MN = 2AB = AB + Следовательно, в трапецию ABCD можно вписать окружность. A B C D M P F O O 1 O 2 N Пусть AP — высота этой трапеции. Прямоугольные треугольники и подобны, поэтому, откуда находим, что = O 1 F · AB O 1 O 2 = 2 p rR · 2 p rR r + R = 4rR r + R Ã § . Касающиеся окружности Подготовительные задачи. Три равные окружности радиуса R касаются друг друга внешним образом. Найдите стороны и углы треугольника, вершинами которого служат точки касания. Две равные окружности касаются изнутри третьей и касаются между собой. Соединив три центра, получим треугольник с периметром, равным 18. Найдите радиус большей окружности. Три окружности радиусов 6, 7 и 8 попарно касаются друг друга внешним образом. Найдите площадь треугольника с вершинами в центрах этих окружностей. Окружности радиусов 8 и 3 касаются внутренним образом. Из центра большей окружности проведена касательная к меньшей окружности. Найдите расстояние от точки касания до центра большей окружности. Две окружности радиуса r касаются друг друга. Кроме того, каждая из них касается извне третьей окружности радиуса R в точках и B соответственно. Найдите радиус r, если AB = 12, R = 8. .. Две окружности радиуса r касаются друг друга. Кроме того, каждая из них касается изнутри третьей окружности радиуса R в точках и B соответственно. Найдите радиус R, если AB = 11, r = 5. .. Дана окружность радиуса R. Четыре окружности равных радиусов касаются данной внешним образом, и каждая из этих четы- рёх окружностей касается двух других. Найдите радиусы этих четырёх окружностей. Три окружности разных радиусов попарно касаются друг друга внешним образом. Отрезки, соединяющие их центры, образуют прямоугольный треугольник. Найдите радиус меньшей окружности, если радиусы большей и средней равны 6 и 4. .. На прямой, проходящей через центр O окружности радиуса взята точка A на расстоянии a от центра. Найдите радиус второй окружности, которая касается прямой OA в точке A, а также касается данной окружности. Даны окружности радиусов 1 и 3 с общим центром O. Третья окружность касается их обеих. Найдите угол между касательными к третьей окружности, проведёнными из точки O. .. В угол, равный 60 ◦ , вписаны две окружности, касающиеся друг друга внешним образом. Радиус меньшей окружности равен Найдите радиус большей окружности Тренировочные задачи. Две окружности касаются друг друга внутренним образом. Известно, что два радиуса большей окружности, угол между которыми равен 60 ◦ , касаются меньшей окружности. Найдите отношение радиусов окружностей. В равносторонний треугольник вписана окружность. Этой окружности и двух сторон треугольника касается меньшая окружность. Найдите сторону треугольника, если радиус малой окружности равен r. .. В круговой сектор с центральным углом вписана окружность. Найдите её радиус, если радиус данной окружности равен R. .. Две окружности касаются внешним образом в точке K. Одна прямая касается этих окружностей в различных точках A и B, авто- рая — соответственно в различных точках C и D. Общая касательная к окружностям, проходящая через точку K, пересекается с этими прямыми в точках M и N. Найдите MN, если AC = a, BD = Тренировочные задачи. Окружность радиуса 2 касается внешним образом другой окружности в точке A. Общая касательная к обеим окружностям, про- ведённая через точку A, пересекается с другой их общей касательной в точке B. Найдите радиус второй окружности, если AB = 4. .. Две окружности касаются друг друга внешним образом в точке. Радиусы окружностей равны 2 и 7. Общая касательная к обеим окружностям, проведённая через точку C, пересекается с другой их общей касательной в точке D. Найдите расстояние от центра меньшей окружности до точки D. .. Окружность радиуса r касается некоторой прямой в точке На этой прямой по разные стороны от M взяты точки A и B, причём MA = MB = a. Найдите радиус окружности, проходящей через точки и B и касающейся данной окружности. Одна окружность описана около равностороннего треугольника, а вторая вписана в угол A и касается первой окружности. Найдите отношение радиусов окружностей. В окружность вписан равнобедренный треугольник с основанием и углом при основании α. Кроме того, построена вторая окружность, касающаяся первой окружности и основания треугольника, причём точка касания является серединой основания. Найдите радиус второй окружности § . Касающиеся окружности. Две окружности с центрами O 1 , и радиусами 32, пересекаясь, делят отрезок натри равные части. Найдите радиус окружности, которая касается изнутри обеих окружностей и касается отрезка. Две окружности радиусов R и r касаются сторон данного угла и друг друга. Найдите радиус третьей окружности, касающейся сторон того же угла, центр которой находится в точке касания окружностей между собой. В треугольнике ABC сторона BC равна a, радиус вписанной окружности равен r. Найдите радиусы двух равных окружностей, касающихся друг друга, если одна из них касается сторон BC и BA, а другая сторон BC и CA. .. Две окружности радиусов 5 и 3 касаются внутренним образом. Хорда большей окружности касается меньшей окружности и делится точкой касания в отношении 3 : 1. Найдите длину этой хорды. Две окружности, радиусы которых относятся как 9 − 4 p 3 к касаются друг друга внутренним образом. В большей окружности проведены две равные хорды, касающиеся меньшей окружности. Одна из этих хорд перпендикулярна отрезку, соединяющему центры окружностей, а другая нет. Найдите угол между этими хордами. Две окружности касаются внутренним образом. Прямая, проходящая через центр большей окружности, пересекаете в точках и D, а меньшую окружность — в точках B и C. Найдите отношение радиусов окружностей, если AB : BC : CD = 3 : 7 : 2. .. Две окружности касаются внутренним образом. Прямая, проходящая через центр меньшей окружности, пересекает большую окружность в точках A и D, а меньшую — в точках B и C. Найдите отношение радиусов окружностей, если AB : BC : CD = 2 : 4 : 3. .. Две окружности радиусов R и r (R > r) касаются внешним образом в точке C. К ним проведена общая внешняя касательная где A и B — точки касания. Найдите стороны треугольника ABC. .. Две окружности радиусов R и r (R > r) касаются внешним образом. Прямая касается этих окружностей в различных точках A и Найдите радиус окружности, касающейся обеих данных окружностей и прямой AB. .. Две окружности касаются внешним образом в точке Общая внешняя касательная касается первой окружности в точке а второй — в точке B. Прямая AC пересекает вторую окружность в точке D, отличной от C. Найдите BC, если AC = 9, CD = 4. Тренировочные задачи. Две окружности касаются друг друга внешним образом в точке. Найдите радиусы окружностей, если хорды, соединяющие точку с точками касания с одной из общих внешних касательных, равны и 8. .. Три окружности радиусов 1, 2 и 3 касаются друг друга внешним образом. Найдите радиус окружности, проходящей через точки касания этих окружностей. Две окружности радиусов 5 и 4 касаются внешним образом. Прямая, касающаяся меньшей окружности в точке A, пересекает большую в точках B и C, причём AB = BC. Найдите AC. .. Точка B — середина отрезка AC, причём AC = 6. Проведены три окружности радиуса 1 с центрами A, B и C. Найдите радиус чет- вёртой окружности, касающейся всех трёх данных. Точка B — середина отрезка AC, причём AC = 6. Проведены три окружности радиуса 5 с центрами A, B и C. Найдите радиус чет- вёртой окружности, касающейся всех трёх данных. Дана окружность с центром в точке O и радиусом 2. Из конца отрезка OA, пересекающегося с окружностью в точке M, проведена касательная AK к окружности, ∠OAK = 60 ◦ . Найдите радиус окружности, вписанной в угол OAK и касающейся данной окружности внешним образом. В круге с центром O хорда AB пересекает радиус OC в точке, причём ∠CDA = 120 ◦ . Найдите радиус окружности, вписанной в угол ADC и касающейся дуги AC, если OC = 2, OD = p 3. .. Окружности радиусов r и R касаются друг друга внутренним образом. Найдите сторону равностороннего треугольника, у которого одна вершина находится в точке касания данных окружностей, а две другие лежат на разных данных окружностях. Радиусы окружностей и S 2 , касающихся в точке A, равны и r соответственно (R > r). Прямая, проходящая через точку лежащую на окружности S 1 , касается окружности в точке C. Найдите, если AB = a. .. Отношение радиусов окружностей и S 2 , касающихся в точке, равно k (k > 1). Из точки A, лежащей на окружности S 1 , проведена прямая, касающаяся окружности в точке C. Найдите если известно, что хорда, высекаемая окружностью на прямой равна b. .. Окружность радиуса 1 касается окружности радиуса 3 в точке. Прямая, проходящая через точку C, пересекает окружность § . Касающиеся окружности меньшего радиуса в точке A, а большего радиуса — в точке B. Найдите, если AB = 2 p 5. .. Окружность радиуса 2 касается окружности радиуса 4 в точке. Прямая, проходящая через точку B, пересекает окружность меньшего радиуса в точке A, а окружность большего радиуса — в точке Найдите BC, если AC = 3 p 2. .. В угол вписано несколько окружностей, радиусы которых возрастают. Каждая следующая окружность касается предыдущей окружности. Найдите сумму длин второй и третьей окружностей, если радиус первой окружности равен 1, а площадь круга, ограниченного чет- вёртой окружностью, равна 64π. .. На отрезке AB, равном 2R, как на диаметре построена окружность. Вторая окружность того же радиуса, что и первая, имеет центр в точке A. Третья окружность касается первой окружности внутренним образом, второй окружности — внешним образом, а также касается отрезка AB. Найдите радиус третьей окружности. В выпуклом четырёхугольнике ABCD заключены две окружности одинакового радиуса r, касающиеся друг друга внешним образом. Центр первой окружности находится на отрезке, соединяющем вершину A с серединой F стороны CD, а центр второй окружности находится на отрезке, соединяющем вершину C с серединой E стороны. Первая окружность касается сторон AB, AD и CD, а вторая окружность касается сторон AB, BC и CD. Найдите AC. .. В прямоугольном секторе AOB из точки B как из центра проведена дуга OC (C — точка пересечения этой дуги с дугой AB) радиуса. Окружность касается дуги AB, дуги OC и прямой OA, причём точки касания различны, а окружность касается дуги AB, прямой и окружности точки касания также попарно различны. Найдите отношение радиуса окружности к радиусу окружности S 2 . ∗ . На отрезке AC взята точка B, и на отрезках AB, BC, CA как на диаметрах построены полуокружности S 1 , S 2 , по одну сторону от AC. Найдите радиус окружности, касающейся всех трёх полуокружностей, если известно, что её центр удален от прямой AC на расстояние. Две окружности радиусов r и R (r < R) касаются друг друга внешним образом. Прямая касается этих окружностей в точках и N. В точках A и B окружности касаются внешним образом третьей окружности. Прямые AB и MN пересекаются в точке C. Из точки проведена касательная к третьей окружности (D — точка касания). Найдите CD. Задачи на доказательство и вычисление Задачи на доказательство и вычисление. Окружность с центром O и окружность вдвое меньшего радиуса касаются внутренним образом в точке A. Хорда AB большей окружности пересекает меньшую окружность в точке а) Докажите, что M — середина б) Луч OM пересекает большую окружность в точке P. Найдите расстояние от центра большей окружности до хорды AP, если радиус большей окружности равен 13, а OM = 5. ... Окружность с центром O и окружность вдвое меньшего радиуса касаются внутренним образом в точке E. Диаметр PQ большей окружности пересекает меньшую окружность в точке H, отличной от O. Луч EH пересекает большую окружность в точке а) Докажите, что H — середина б) Найдите расстояния от точки O до хорд EP и EQ, если радиус большей окружности равен 169, а OH = 119. ... Окружности с центрами и касаются внешним образом в точке C. К окружностям проведены общая внешняя касательная и общая внутренняя касательная. Эти касательные пересекаются в точке а) Докажите, что треугольник O 1 DO 2 прямоугольный. б) Найдите радиусы окружностей, если DO 1 = p 5 и DO 2 = 2 p 5. ... Окружности с центрами и касаются внешним образом в точке C. К окружностям проведена общая внешняя касательная (A и B — точки касания). а) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный. б) Найдите радиусы окружностей, если AC = 10 и BC = 24. ... Окружности с центрами и касаются в точке A внешним образом. Прямая, проходящая через точку A, вторично пересекает первую окружность в точке B, а вторую — в точке а) Докажите, чтоб) Найдите площадь треугольника BCO 2 , если радиусы первой и второй окружностей равны 5 и 8 соответственно, а ∠ABO 1 = 15 ◦ ... Окружности с центрами и касаются в точке A внутренним образом. Прямая, проходящая через точку A, вторично пересекает первую окружность в точке B, а вторую — в точке а) Докажите, чтоб) Найдите площадь треугольника BCO 2 , если радиусы окружностей равны 3 и 5 соответственно, а ∠ABO 1 = 15 ◦ § . Касающиеся окружности. В треугольник ABC помещены две касающиеся окружности с центрами и O 2 , причём первая из них касается сторон AB и а вторая — сторон AB и а) Докажите, что прямые и пересекаются в центре окружности, вписанной в треугольник б) Найдите радиусы окружностей, если они равны, аи. В треугольник ABC помещены две касающиеся окружности с центрами и O 2 , причём первая из них касается сторон AB и BC, а вторая — сторон AC и BC. Прямые и пересекаются в точке а) Докажите, чтоб) Найдите радиусы окружностей, если они равны, аи. Окружности с центрами и касаются внешним образом прямая касается первой окружности в точке A, а второй — в точке. Известно, что точка M пересечения диагоналей четырёхуголь- ника лежит на первой окружности. а) Докажите, что треугольник MBO 2 равнобедренный. б) Найдите отношение радиусов окружностей. Окружности с центрами и касаются внешним образом прямая касается первой окружности в точке A, а второй — в точке. Известно, что радиус первой окружности вдвое меньше радиуса второй. а) Докажите, что треугольник BO 1 O 2 равнобедренный. б) Пусть M — точка пересечения отрезка O 1 B с первой окружностью. Найдите площадь треугольника O 1 MO 2 , если площадь треугольника равна 10. ... В полуокружности расположены две окружности, касающиеся друг друга, полуокружности и её диаметра. а) Докажите, что периметр треугольника с вершинами в центрах окружностей и полуокружности равен диаметру полуокружности. б) Известно, что радиус полуокружности равен 8, а радиус одной из окружностей равен 4. Найдите радиус другой. В полуокружности с диаметром MN расположены окружности с центрами и O 2 , касающиеся друг друга, полуокружности в точках A и B соответственно, а также прямой а) Докажите, что прямые O 1 A и O 2 B пересекаются на прямой б) Известно, что радиусы окружностей равны 12 и 6. Найдите радиус полуокружности Задачи на доказательство и вычисление. Две окружности касаются внутренним образом. Третья окружность касается первых двух и их линии центров. а) Докажите, что периметр треугольника с вершинами в центрах трёх окружностей равен диаметру наибольшей из этих окружностей. б) Найдите радиус третьей окружности, если радиусы первых двух равны 6 и 2. ... В окружности проведены два диаметра. В каждый из двух соседних получившихся секторов вписана окружность. а) Докажите, что треугольник с вершинами в центрах трёх окружностей прямоугольный. б) Найдите отношение радиусов двух меньших окружностей, если угол между диаметрами равен 60 ◦ ... В равнобедренной трапеции ABCD с основаниями и BC расположены две окружности, каждая из которых касается другой окружности, двух боковых сторон и одного из оснований. Пусть P и Q — точки касания окружностей с боковой стороной AB, а общая касательная окружностей, проходящая через их точку касания, пересекает боковые стороны в точках M и а) Докажите, чтоб) Найдите площадь трапеции ABCD, если AD = 18 и BC = 2. ... В равнобедренной трапеции KLMN с основаниями LM и расположены две окружности с центрами и O 2 , каждая из которых касается другой окружности, двух боковых сторон и одного из оснований. Пусть общая касательная окружностей, проходящая через их точку касания, пересекает боковые стороны в точках A и а) Докажите, чтоб) Найдите площадь трапеции KLMN, если AB = 4 p 2, а радиус одной окружности вдвое больше радиуса другой. В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C известны стороны AC = 15, BC = 8. Окружность радиуса 2,5 с центром на стороне BC проходит через вершину C. Вторая окружность касается катета AC, гипотенузы треугольника, а также внешним образом касается первой окружности. а) Докажите, что радиус второй окружности меньше, чем длины катета б) Найдите радиус второй окружности. В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C известны стороны AC = 12, BC = 5. Окружность радиуса 0,5 с центром на стороне BC проходит через вершину C. Вторая окружность каса- § . Касающиеся окружности ется катета AC, гипотенузы треугольника, а также внешним образом касается первой окружности. а) Докажите, что радиус второй окружности меньше, чем длины катета б) Найдите радиус второй окружности |