Геометрия. 16 Гордин. Ежедневно, 10. 0020. 00, кроме воскресеньяабрис рф Москва 8 (495) 2296759СанктПетербург 8 (812) 3270450
 Скачать 1.76 Mb.
|
|
§ . Отношение площадей Решение задачи из диагностической работы. В треугольнике ABC медиана AD и биссектриса BE перпендикулярны и пересекаются в точке F. Известно, что площадь треугольника равна 5. Найдите площадь треугольника Ответ Решение. Треугольник ABD равнобедренный, так как его биссектриса является высотой. Поэтому = FD ⇒ Кроме того, BC = 2BD = 2AB. Тогда по свойству биссектрисы треугольника, S ∆ ABC = 2S ∆ ADC = 60. Ã * * При решении большинства задач этого раздела применяются два простых утверждения) если точка M лежит на стороне BC треугольника ABC, то площади треугольников AMB и AMC пропорциональны отрезками те) если прямая пересекает стороны AB и AC треугольника или их продолжения) в точках P и Q соответственно, то S ∆ APQ S ∆ ABC = AP AB · AQ AC Первое из этих утверждений вытекает непосредственно из формулы площади треугольника по стороне и опущенной не неё высоте утре- угольников AMB и AMC одна и та же высота, опущенная из общей вершины A. Решение задачи из диагностической работы A B C M A B C P Q Второе утверждение можно легко вывести из формулы площади треугольника по двум сторонами углу между ними у треугольников и ABC углы при общей вершине A либо равны, либо в сумме составляют Напомним также, что отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. Пример . Докажите, что медианы треугольника разбивают его на шесть равновеликих треугольников. Д ока за тел ь ст во. Пусть M — точка пересечения медиан, BB 1 , треугольника ABC. Тогда 3 S ∆ B 1 BC = 1 3 · 1 2 S ∆ ABC = 1 6 · Аналогично для остальных пяти треугольников. Таким образом, площадь каждого из шести треугольников равна шестой части площади исходного треугольника. Пример . Через середину M стороны BC параллелограмма площадь которого равна 1, и вершину A проведена прямая, пересекающая диагональ BD в точке O. Найдите площадь четырёхугольника OMCD. Ответ: 5 Решение. Из подобия треугольников BOM и DOA находим, что 2 § . Отношение площадей Поэтому BO BD = 1 3 , атак как 2 , то S ∆ BCD = 1 3 · 1 2 · 1 2 = 1 Следовательно S ∆ BOM = 1 2 − 1 12 = 5 Пример . Диагонали разбивают выпуклый четырёхугольник на треугольники с площадями S 1 , S 2 , и и S 3 — площади треугольников, прилежащих к противоположным сторонам четырёх- угольника. Докажите, что Доказательств о. Пусть диагонали выпуклого четырёх- угольника ABCD пересекаются в точке O, S ∆ AOB = S 1 , S ∆ BOC = S 2 , S ∆ COD = S 3 , S ∆ AOD = S 4 A B C D O S 1 S 2 S 3 S 4 Тогда S 1 S 2 = AO OC и S 4 S 3 = AO OC , поэтому. Следовательно, Подготовительные задачи. Найдите площадь треугольника, вершины которого — середины сторон треугольника площади 4. Тренировочные задачи. Точки M и N расположены на стороне BC треугольника а точка K — на стороне AC, причём BM : MN : NC = 1 : 1 : 2 и CK : AK = = 1 : 4. Известно, что площадь треугольника ABC равна 1. Найдите площадь четырёхугольника AMNK. .. На стороне AB треугольника ABC взяты точки M и N, причём AM : MN : NB = 2 : 2 : а на стороне AC — точка K, причём AK : KC = 1 : 2. Найдите площадь треугольника MNK, если площадь треугольника ABC равна 1. .. Через точки M и N, делящие сторону AB треугольника натри равные части, проведены прямые, параллельные стороне Найдите площадь части треугольника, заключённой между этими прямыми, если площадь треугольника ABC равна 1. .. На сторонах AB, BC и AC треугольника ABC взяты точки и соответственно, причём AC 1 C 1 B = BA 1 A 1 C = CB 1 B 1 A = 1 Найдите площадь треугольника A 1 B 1 C 1 , если площадь треугольника равна 1. .. Сторона треугольника равна 36. Прямая, параллельная этой стороне, делит площадь треугольника пополам. Найдите длину отрезка этой прямой, заключённого между сторонами треугольника. Из середины основания треугольника площади S проведены прямые, параллельные боковым сторонам. Найдите площадь полученного таким образом параллелограмма. Тренировочные задачи. Из точки на основании треугольника проведены прямые, параллельные боковым сторонам. Они разбивают треугольник на параллелограмм и два треугольника с площадями и S 2 . Найдите площадь параллелограмма. В треугольнике ABC проведены биссектрисы CF и AD. Найдите отношение площадей треугольников AFD и ABC, если : AC : BC = 21 : 28 : 20. .. Треугольники вписанный в него ромб имеют общий угол. Стороны треугольника, заключающие этот угол, относятся как m : Найдите отношение площади ромба к площади треугольника § . Отношение площадей. Две прямые, параллельные основаниям трапеции, делят каждую из боковых сторон натри равные части. Вся трапеция разделена ими натри части. Найдите площадь средней части, если площади крайних равны и S 2 .. Четырёхугольник разделён диагоналями на четыре треугольника. Площади трёх из них равны 10, 20 и 30, и каждая меньше площади четвёртого треугольника. Найдите площадь данного четырёх- угольника. Площади треугольников, образованных отрезками диагоналей трапеции и её основаниями, равны и S 2 . Найдите площадь трапеции. Площадь трапеции ABCD равна 30. Точка P — середина боковой стороны AB. Точка R на стороне CD выбрана так, что 2CD = Прямые AR и PD пересекаются в точке Q. Найдите площадь треугольника, если AD = 2BC. .. Дан выпуклый четырёхугольник площади S. Найдите площадь четырёхугольника с вершинами в серединах сторон данного. Дан выпуклый четырёхугольник площади S. Внутри него выбирается точка и отображается симметрично относительно середин его сторон. Получаются четыре вершины нового четырёхугольника. Найдите его площадь. В трапеции ABCD (BC k AD) диагонали пересекаются в точке. Найдите отношение площади треугольника к площади трапеции ABCD. .. В равнобедренном треугольнике ABC боковые стороны ив два раза больше основания AB. Биссектрисы углов при основании пересекаются в точке M. Какую часть треугольника ABC составляет площадь треугольника AMB? .. В треугольнике ABC, площадь которого равна S, проведены биссектриса CE и медиана BD, пересекающиеся в точке O. Найдите площадь четырёхугольника ADOE, зная, что BC = a, AC = b. .. В прямоугольном треугольнике синус меньшего угла равен Перпендикулярно гипотенузе проведена прямая, разбивающая треугольник на две равновеликие части. В каком отношении эта прямая делит гипотенузу. На сторонах AB и AD параллелограмма ABCD взяты точки итак, что прямые MC и NC разбивают параллелограмм натри равновеликие части. Найдите MN, если BD = d. Тренировочные задачи. В треугольнике ABC угол A равен 45 ◦ , а угол C острый. Из середины стороны BC опущен перпендикулярна сторону AC. Площади треугольников NMC и ABC относятся как 1 : 8. Найдите углы треугольника ABC. .. В треугольнике ABC из точки E стороны BC проведена прямая, параллельная высоте BD и пересекающая сторону AC в точке Отрезок EF делит треугольник ABC на две равновеликие фигуры. Найдите EF, если BD = 6, AD DC = 2 7 .. Через некоторую точку, взятую внутри треугольника, проведены три прямые, параллельные сторонам. Эти прямые разбивают треугольник на шесть частей, три из которых — треугольники с площадями. Найдите площадь данного треугольника. В равнобедренном треугольнике ABC (AB = BC) проведена биссектриса AD. Площади треугольников ABD и ADC равны соответственно и S 2 . Найдите AC. .. Диагонали выпуклого четырёхугольника ABCD пересекаются в точке E. Известно, что площадь каждого из треугольников и DCE равна 1, площадь всего четырёхугольника не превосходит 4, AD = 3. Найдите сторону BC. .. Из точки P, расположенной внутри остроугольного треугольника, опущены перпендикуляры на его стороны. Длины сторон и опущенных на них перпендикуляров соответственно равны a и k, и m, c и n. Найдите отношение площади треугольника ABC к площади треугольника, вершинами которого служат основания перпендикуляров. Из точки P, расположенной внутри остроугольного треугольника, опущены перпендикуляры на стороны AB, BC и CA. Перпендикуляры соответственно равны l, m, n. Вычислите площадь треугольника, если углы BAC, ABC и ACB соответственно равны α, β и γ. .. Дан параллелограмм ABCD. Прямая, проходящая через вершину, пересекает прямые AB ив точках K и L. Площади треугольников и CDL равны p и q. Найдите площадь параллелограмма. На боковых сторонах AD и BC трапеции ABCD взяты точки и Q соответственно, причём AP : PD = 3 : 2. Отрезок PQ разбивает трапецию на части, одна из которых по площади вдвое больше другой. Найдите отношение CQ : QB, если AB : CD = 3 : 2. § . Отношение площадей. На сторонах AB, AC и BC правильного треугольника расположены соответственно точки C 1 , итак, что треугольник A 1 B 1 C 1 правильный. Отрезок пересекает сторону в точке O, причём BO OB 1 = k. Найдите отношение площади треугольника к площади треугольника A 1 B 1 C 1 .. На сторонах AB, BC и AC треугольника ABC взяты соответственно точки C 1 , и B 1 , причём AC 1 C 1 B = BA 1 A 1 C = CB 1 B 1 A = 2 1 . Найдите площадь треугольника, вершины которого — попарные пересечения отрезков, если площадь треугольника ABC равна Задачи на доказательство и вычисление. На каждой стороне равностороннего треугольника взято по точке. Стороны треугольника с вершинами в этих точках соответственно перпендикулярны сторонам исходного треугольника. а) Докажите, что треугольник с вершинами в этих точках также равносторонний. б) Найдите отношение площади этого треугольника к площади исходного. На каждой стороне равностороннего треугольника взято по точке, причём треугольник с вершинами в этих точках также равно- сторонний. а) Докажите, что эти точки делят стороны исходного треугольника водном и том же отношении. б) Найдите это отношение, если отношение площади полученного треугольника к площади исходного равно 16 ... Точки и лежат на сторонах соответственно AC и треугольника ABC, причём AB 1 : B 1 C = AC 1 : C 1 B. Прямые и пересекаются в точке а) Докажите, что прямая AO делит пополам сторону б) Найдите отношение площади четырёхугольника к площади треугольника ABC, если AB 1 : B 1 C = AC 1 : C 1 B = 1 : 2. ... Точки и лежат на сторонах соответственно BC и треугольника ABC. Прямые и пересекаются в точке O, прич м AO : OA 1 = BO : а) Докажите, что прямая CO проходит через середину отрезка б) Найдите отношение площади четырёхугольника к площади треугольника ABC, если AO : OA 1 = BO : OB 1 = 4. Задачи на доказательство и вычисление. На стороне BC треугольника ABC как на диаметре построена окружность, пересекающая отрезок AB в точке D. При этом ABC = а) Докажите, что прямая CD разбивает треугольник ABC на два подобных треугольника. б) Найдите отношение площадей этих подобных треугольников, если AC = 15, BC = 20. ... На стороне AB треугольника ABC как на диаметре построена окружность, пересекающая отрезок AC в точке P. При этом ABP = а) Докажите, что прямая BP разбивает треугольник ABC на два подобных треугольника. б) Найдите отношение площадей этих подобных треугольников, если tg ∠BAC = 2. ... На диагонали BD параллелограмма ABCD отмечены точки и Q, причём BP = PQ = а) Докажите, что прямые AP и AQ проходят через середины M и сторон BC и CD соответственно. б) Найдите отношение площади пятиугольника CMPQN к площади параллелограмма ABCD. ... На диагонали AC параллелограмма ABCD отмечены точки и N, причём AM : MN : NC = 1 : 2 : 1. Прямые DM и DN пересекают стороны AB ив точках E и F соответственно. а) Докажите, чтоб) Найдите отношение площади пятиугольника BEMNF к площади параллелограмма ABCD. ... На сторонах AB, BC, CD и AD параллелограмма ABCD отмечены точки K, L, M и N соответственно, причём AK KB = BL LC = CM MD = DN NA а) Докажите, что четырёхугольник KLMN — параллелограмма его центр совпадает с центром параллелограмма б) Найдите отношение площадей параллелограммов KLMN и, если AK : KB = 2. ... Через точку пересечения диагоналей параллелограмма проведена прямая, пересекающая стороны AB ив точках и M соответственно, и прямая, пересекающая стороны BC ив точках L и N соответственно. а) Докажите, что четырёхугольник KLMN — параллелограмм. б) Найдите отношение площадей параллелограммов KLMN и, если BK : AK = 2 : 1, BL : LC = 2 : 3. § . Отношение площадей. Вершины ромба расположены (по одной) на сторонах па- раллелограмма. а) Докажите, что центры ромба и параллелограмма совпадают. б) Найдите отношение площадей ромба и параллелограмма, если стороны ромба параллельны диагоналям параллелограмма, а диагонали параллелограмма относятся как 2 : 3. ... Вершины параллелограмма расположены (по одной) на сторонах ромба. а) Докажите, что четырёхугольник с вершинами в точках пересечения сторон параллелограмма с диагоналями ромба также является ромбом. б) Найдите отношение площади этого ромба к площади исходного, если вершины параллелограмма делят стороны исходного ромба в отношении 1 : 2 (в направлении почасовой стрелке. Около окружности описана равнобедренная трапеция. а) Докажите, что её диагональ проходит через середину отрезка, концы которого — точки касания окружности с боковыми сторонами трапеции. б) Найдите отношение оснований трапеции, если площадь четы- рёхугольника с вершинами в точках касания окружности со сторонами трапеции составляет площади трапеции. Около окружности с центром O описана трапеция с основаниями AD и а) Докажите, чтоб) Найдите отношение оснований трапеции, если AB = CD, а площадь четырёхугольника с вершинами в точках касания окружности со сторонами трапеции составляет площади трапеции ABCD. ... Окружность с центром O вписана в равнобедренную трапецию с основаниями AD > а) Докажите, что прямая BO делит площадь трапеции пополам. б) Пусть M и N — точки касания окружности с боковыми сторонами трапеции. В каком отношении прямая MN делит площадь трапеции, если AD = 2BC? ... Окружность с центром O вписана в равнобедренную трапецию с основаниями AD > BC. Прямые AO и BC пересекаются в точке P, а прямые BO ив точке а) Докажите, что прямая PQ касается вписанной окружности трапеции Задачи на доказательство и вычисление б) Пусть M — точка касания окружности с боковой стороной трапеции. В каком отношении прямая AM делит площадь трапеции, если AD = 3BC? ... Диагонали AC и BD четырёхугольника ABCD пересекаются в точке O. Треугольники AOB и COD равновелики. а) Докажите, чтоб) Найдите площади треугольников, на которые диагонали разбивают четырёхугольник ABCD, если его площадь равна 27, BC = 8, AD = 16. ... Диагонали AC и BD выпуклого четырёхугольника ABCD пересекаются в точке O. Известно, что S 2 ∆ AOB = S ∆ BOC · а) Докажите, чтоб) Найдите отношение, если площадь треугольника COD составляет площади четырёхугольника ABCD, а BC < AD. ... Вершины A и D четырёхугольника ABCD соединены с серединой стороны BC, а вершины B и C — с серединой N стороны а) Докажите, что если середины отрезков AM, DM, BN, CN не лежат на одной прямой, то четырёхугольник с вершинами в этих серединах параллелограмм. б) Найдите площадь этого параллелограмма, если AD = 6, BC = а угол между прямыми BC и AD равен 30 ◦ ... Вершины A и D четырёхугольника ABCD соединены с серединой стороны BC, а вершины B и C — с серединой N стороны. Точки E, F, G, H — середины отрезков AM, CN, DM, BN соответст- венно. а) Докажите, что прямые EG, FH и MN пересекаются водной точке. б) Найдите стороны четырёхугольника EFGH, если BC = 20, AD = = 48 и BC ⊥ AD. ... Диагонали выпуклого четырёхугольника ABCD пересекаются в точке P. В треугольники APB, BPC, CPD и APD вписаны окружности с центрами O 1 , O 2 , и O 4 соответственно. а) Докажите, что прямые и O 2 O 4 перпендикулярны. б) Пусть прямая пересекает стороны AB ив точках M и соответственно. Найдите отношение площадей треугольников CPN и, если около четырёхугольника ABCD можно описать окружность и AM : MB = 1 : 2. § . Отношение площадей. Диагонали выпуклого четырёхугольника ABCD пересекаются в точке M. В треугольники AMB, BMC, CMD и AMD вписаны окружности с центрами O 1 , O 2 , и O 4 соответственно. а) Докажите, что площадь четырёхугольника равна 2 O 1 O 3 · б) Пусть прямая пересекает стороны BC ив точках P и соответственно. Найдите отношение AQ : QD, если известно, что около четырёхугольника ABCD можно описать окружность, а отношение площадей треугольников CMP и BMP равно 3 : 2. |